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2013年北京市高考数学(理)答案


2013 年北京市高考数学(理)答案
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)B (5)D (2)D (6)B (3)A (7)C (4)C (8)B

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。有两空的小题,第一空 2 分,第二空 3 分) (9)1 (12)96 (10)2,2 (13)4
n+1

﹣2

(11) ,4 (14)

三、解答题(共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ )由条件在△ ABC 中,a=3, 即 解得 cosA= = .
2 2 2

,∠ B=2∠ A,利用正弦定理可得





(Ⅱ )由余弦定理可得 a =b +c ﹣2bc?cosA,即 9=

+c ﹣2×2

2

×c×

,即 c ﹣

2

8c+15=0. 解方程求得 c=5,或 c=3. 2 2 2 当 c=3 时,此时 B=90°,A=C=45°,△ ABC 是等腰直角三角形,但此时不满足 a +c =b ,故舍 去. 综上,c=5.

(16) (共 13 分) 解: (I)设“此人到达当日空气重度污染”为事件 A. 因为此人随机选择某一天到达该城市且停留 2 天,因此他必须在 3 月 1 日至 13 日的某一天到 达该城市,由图可以看出期间有 2 天属于重度污染,故 P(A)= .

(II)由题意可知 X 所有可能取值为 0,1,2. 由图可以看出在 3 月 1 日至 14 日属于优良天气的共有 7 天. ① 当此人在 3 月 4 号,5 号,8 号,9 号,10 号这 5 天的某一天到达该城市时,停留的 2 天都 不是优良天气,故 P(X=0)= ;

② 当此人在 3 月 3 号,6 号,7 号,11 号,这 4 天的某一天到达该城市时,停留的 2 天中的 1 天不是优良天气 1 天是优良天气,故 P(X=1)= ;

-1-

③ 当此人在 3 月 1 号,2 号,12 号,13 号,这 4 天的某一天到达该城市时,停留的 2 天都是优 良天气,故 P(X=2)= 故 X 的分布列为 X P 0 1 2 .

∴E(X)= D(X)=

=

. + = .

(III)由图判断从 3 月 5 天开始连续三天的空气质量指数波动最大,因此方差最大. (17) (共 14 分) (I)证明:∵ AA1C1C 是正方形,∴ AA1⊥ AC. 又∵ 平面 ABC⊥ 平面 AA1C1C,平面 ABC∩ 平面 AA1C1C=AC, ∴ AA1⊥ 平面 ABC. (II)解:由 AC=4,BC=5,AB=3. 2 2 2 ∴ AC +AB =BC ,∴ AB⊥ AC. 建立如图所示的空间直角坐标系,则 A1(0,0,4) ,B(0,3,0) ,B1(0,3,4) ,C1(4, 0,4) , ∴ , , . = (x2, y2, z2) .

设平面 A1BC1 的法向量为

, 平面 B1BC1 的法向量为



,令 y1=4,解得 x1=0,z1=3,∴



,令 x2=3,解得 y2=4,z2=0,∴



=

=

=



∴ 二面角 A1﹣BC1﹣B1 的余弦值为



(III)设点 D 的竖坐标为 t, (0<t<4) ,在平面 BCC1B1 中作 DE⊥ BC 于 E,可得 D ∴ = ∵ ,∴ , , , =(0,3,﹣4) ,

-2-

∴ ∴ .

,解得 t=



(18) (共 13 分) 解: (I)∵

∴ ∴ l 的斜率 k=y′ |x=1=1 ∴ l 的方程为 y=x﹣1 证明: (II)令 f(x)=x(x﹣1)﹣lnx, (x>0) 则 f′ (x)=2x﹣1﹣ = ∴ f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,又 f(1)=0 ∴ x∈(0,1)时,f(x)>0,即 x∈(1,+∞)时,f(x)>0,即 <x﹣1 <x﹣1

即除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 l 的下方 (19) (共 14 分) 解: (I)∵ 四边形 OABC 为菱形,B 是椭圆的右顶点(2,0) ∴ 直线 AC 是 BD 的垂直平分线,可得 AC 方程为 x=1 设 A(1,t) ,得 ,解之得 t= (舍负)

-3-

∴ A 的坐标为(1, 因此,|AC|=

) ,同理可得 C 的坐标为(1,﹣

) ;

,可得菱形 OABC 的面积为 S= |AC|?|BD|=

(II)∵ 四边形 OABC 为菱形,∴ |OA|=|OC|, 2 2 2 设|OA|=|OC|=r(r>1) ,得 A、C 两点是圆 x +y =r 与椭圆 的公共点,解之得 =r ﹣1
2

设 A、C 两点横坐标分别为 x1、x2,可得 A、C 两点的横坐标满足 x1=x2= ① 当 x1=x2= ② 若 x1= ? ? ? ,或 x1= ? 且 x2=﹣ ? ,

时,可得若四边形 OABC 为菱形,则 B 点必定是右顶点(2,0) ; 且 x2=﹣ ? ,则 x1+x2=0,

可得 AC 的中点必定是原点 O,因此 A、O、C 共线,可得不存在满足条件的菱形 OABC 综上所述,可得当点 B 不是 W 的顶点时,四边形 OABC 不可能为菱形.

(20) (共 13 分) 解: (Ⅰ )若{an}为 2,1,4,3,2,1,4,3…,是一个周期为 4 的数列,∴ d1=A1﹣B1=2﹣1=1, d2=A2﹣B2=2﹣1=1,d3=A3﹣B3=4﹣1=3,d4=A4﹣B4=4﹣1=3. (Ⅱ ) 充分性: 设 d 是非负整数, 若{an}是公差为 d 的等差数列, 则 an=a1+ (n﹣1) d, ∴ An=an=a1+ (n﹣1)d, Bn=an+1=a1+nd,∴ dn=An﹣Bn=﹣d, (n=1,2,3,4…) . 必要性:若 dn=An﹣Bn=﹣d, (n=1,2,3,4…) .假设 ak 是第一个使 ak﹣ak﹣1<0 的项, 则 dk=Ak﹣Bk=ak﹣1﹣Bk≥ak﹣1﹣ak>0,这与 dn=﹣d≤0 相矛盾,故{an}是一个不减的数列. ∴ dn=An﹣Bn=an﹣an+1=﹣d,即 an+1﹣an=d,故{an}是公差为 d 的等差数列. (Ⅲ )证明:若 a1=2,dn=1(n=1,2,3,…) ,则{an}的项不能等于零,否则 d1=2﹣0=2,矛盾. 而且还能得到{an}的项不能超过 2,用反证法证明如下: 假设{an}的项中,有超过 2 的,设 am 是第一个大于 2 的项,则 dm=Am﹣Bm=am﹣1>1,这与 已知 dn=1 相矛盾,故假设不对, 即{an}的项不能超过 2,故{an}的项只能是 1 或者 2. 下面用反证法证明{an}的项中,有无穷多项为 1. 若 ak 是最后一个 1,则 dk=Ak﹣Bk=2﹣2=0,矛盾,故{an}的项中,有无穷多项为 1. 综上可得,{an}的项只能是 1 或者 2,且有无穷多项为 1.
-4-


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