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直线和椭圆的位置关系公开课课件


直线与椭圆的位置关系

回忆:直线与圆的位置关系

相离

相切

相交

怎么判断它们之间的位置关系?
几何法: d>r 代数法: ?<0

d=r

d<r ?>0

?=0

回忆:直线与圆的位置关系
1.位置关系:相交、相切、相离 2.判别方法 几何法: 代数法: 联立直线与圆的方程 消元得到一元二次方程组 (1)△>0?直线与圆相交?有两个公共点; (2)△=0 ?直线与圆相切?有且只有一个公共点; (3)△<0 ?直线与圆相离?无公共点.

问题1:椭圆与直线的位置关系?

问题2:怎么判断它们之间的位置关系?能用几何法吗? 不能! 因为他们不像圆一样有统一的半径。 所以只能用代数法 ---求解直线与二次曲线有关问题的通法

考点一:直线和椭圆的位置关系
x2 y2 已知 Ax ? By ? C ? 0与 ? 2 ?1 2 a b

[1]将直线方程代入椭圆方程,得到 x (或 y) 的一元二次方程 [2]计算一元二次方程的判别式△ [3]若△ ? 0 ,说明直线与椭圆相交 若△ = 0 ,说明直线与椭圆相切 若△ < 0 ,说明直线与椭圆相离

1 例1.已知直线y=x- 与椭圆x2+4y2=2,判断它们 2 的位置关系。
解:联立方程组 1 y ? x ? 消去y 2 5 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 ----- (1) x2+4y2=2 因为 ?=36>0, 所以方程(1)有两个根, 则原方程组有两组解. 所以该直线与椭圆相交.

y 例2:当m取何值时,直线l: ? x ? m 2 2 与椭圆 2x ? 3y ? 6 相交、相切、相离? 解:联立方程组
y?x?m
2 2
2

消去y

? ? ?6m? ? 4 ? 5 ? 3m2 ? 6

2x ? 3y ? 6

5x ? 6mx? 3m ? 6 ? 0
2 2

?

?

? 36m2 ? 60m2 ? 120 ? ?24m 2 ? 120

相离 相切

? ? 0, 则m ? ? 5或m ? 5 ? ? 0, 则m ? ? 5
? ? 0, 则 ? 5 ? m ? 5

相交

一.直线与椭圆的位置关系的判定
代数法
Ax+By+C=0 由方程组: x 2 y2 ? 2 ?1 2 a b

这是求解直线与二 mx2+nx+p=0(m≠ 0) 次曲线有关问题的 通法。 2
= n -4mp
方程组有两解 方程组有一解 方程组无解 两个交点 一个交点 无交点 相交 相切 相离

>0 =0 <0

x2 y2 例 4:已知椭圆 ? ? 1 ,直线 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 ,椭圆 25 9 上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少?

分析:设 P( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 的距离的表达式.

4 ?5 尝试遇到困难怎么办?
2 2

d?

4 x0 ? 5 y0 ? 40

?

4 x0 ? 5 y0 ? 40 41
l


m

x0 2 25

?

y0 2 9
m

?1

作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.

x2 y 2 例2:已知椭圆 ? ? 1,直线l:x - 5 y ? 40 ? 0.椭圆上 4 25 9 是否存在一点,它到直线l的距离最小? y 最小距离是多少?
解:设直线m平行于l,

则m可写成:x ? 5 y ? k ? 0 4

x
o

?4 x ? 5 y ? k ? 0 ? 2 2 2 2 消去y,得25x ? 8kx ? k - 225 ? 0 由方程组 ? x y ?1 ? ? ? 25 9 由? ? 0,得64k 2 - 4 ? 25 k 2 - 225) 0 ( ?
解得k1 =25,k 2 =-25

由图可知k ? 25.

x y 例2:已知椭圆 ? ? 1,直线l:x - 5 y ? 40 ? 0.椭圆上 4 25 9 是否存在一点,它到直线l的距离最小? y 最小距离是多少?
?直线m为:x ? 5 y ? 25 ? 0 4
x

2

2

直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近。 15 且d ? ? 41 42 ? 52 41 40 ? 25

o

dmax

思考:最大的距离是多少?

65 ? ? 41 42 ? 52 41

40 ? 25

?x ? x ? ? 1 解:联立方程组 1 ? 1 2 5 ? y ? x ? 消去y 2 5 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 ----- (1) x2+4y2=2 因为 ?=36>0, 所以方程(1)有两个根, 则原方程组有两组解. 所以该直线与椭圆相交.

1 4 ? 例1.已知直线y=x- 与椭圆x2+4y2=2,判断它们 ? x1 ? x2 ? 5 2 由韦达定理 ? 的位置关系。 ?

1 1 7 变式1:交点坐标是什么? A(1, ), B ( ? , ? ) 2 5 10

变式2:相交所得的弦的弦长是多少?
2

6 AB ? 2 5
2

| 弦长公式:AB |? 1 ? k x1 ? x2 ? 1 ? k (x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 k表示弦的斜率,x1、x2表示弦的端点坐标
2

考点二:弦长公式 设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 直线AB的斜率为k. 弦长公式:

AB ? 1 ? k · x1 ? x2) ? 4 x1 x2 (
2 2

1 2 ? 1 ? 2 ? (y1 ? y 2) ? 4 y1 y 2 k 适用于任意二次曲线

题型二:弦长问题
例1:已知斜率为1的直线l过椭圆 交椭圆于A,B两点,求弦AB之长.
解 :由椭圆方程知 : a ? 4, b ? 1, c ? 3.
2 2 2

的右焦点,

右焦点F ( 3,0).
?y ? x ? 3 ? 2 ?x ? y2 ? 1 ? ?4

直线l方程为: y ? x ? 3. 消y得: 2 ? 8 3x ? 8 ? 0 5x
设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

8 3 8 ? x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? 5 5
? AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2

8 ? 2 ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 ? x2 5

题型二:弦长问题
2 2

x y 例 2:已知点 F1 、F2 分别是椭圆 ? ? 1 的左、右 2 1 ? 焦点,过 F2 作倾斜角为 的直线交椭圆于 A、B 两点, 4 求 △F1 AB 的面积.

分析:先画图熟悉题意,
点 F1 到直线 AB 的距离易知,

要求 S△F1 AB ,关键是求弦长 AB. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组

x2 y2 ? 1 的左、右 例 2:已知点 F1 、F2 分别是椭圆 ? 2 1 ? 焦点,过 F2 作倾斜角为 的直线,求 △F1 AB 的面积. 4 2
x ? y 2 ? 1 的两个焦点坐标 F1 (?1, 0), F2 (1, 0) 解:∵椭圆 2

∴直线 AB 的方程为 y ? x ? 1 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
? y ? x ?1 ? 由 ? x2 消去 y 并化简整理得 2 ? y ?1 ? ? 2
2

3x ? 4x ? 0

4 ∴ AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 2( x1 ? x2 )2 ? 2 ?( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? = ? ? 3 2

4 ∴ x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 0 3
0 ? ( ?1) ? 1 2

∵点 F1 到直线 AB 的距离 d ?
∴ S F1 AB

= 2

1 1 4 4 4 ? ? d ? AB = ? 2 ? 2= . 答: △F1 AB 的面积等于 2 2 3 3 3

体验高考

小结
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法; 解方程组消去其中一元得一元二次型方程 △< 0 相离 △= 0 相切 △> 0 2、弦长的计算方法: 弦长公式:
2 |AB|= 1 ? k 2 · x1 ? x 2) ? 4 x1 x 2 (

相交

1 ( ? = 1 ? 2 · y1 ? y2) 4 y1 y2 k

(适用于任何二次曲线)


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