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100分类加法计数原理与分步乘法计数原理


高三数学

序号 100 高三 年级 8 班 教师 方雄飞 分类计数原理与分步计数原理

学生

3. 现有 4 名同学去听同时进行的 5 个课外知识讲座, 每名同学可自由选择其中的一个讲座, 不同选法的种数是 ( ) A.54 B.65 C、

5? 6 ? 5? 4 ? 3? 2 2

D.6×5×4×3×2

学习目的:理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理,并会用其解决一些简单的实际问题. 学习重难点:分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理解及应用. 学习过程 1.分类计数原理 完成一件事,有 n 类方式,在第 1 类方式中有 m1 种不同的方法,在第 2 类方式中有 m2 种不同 的方法,??,在第 n 类方式中有 mn 种不同的方法,则完成这件事情,共有 N= 种不同的方法. 2.分步计数原理 完成一件事情,需要分成 n 个步骤,完成第 1 步有 m1 种不同的方法,完成第 2 步有 m2 种不同 的方法,??,完成第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事情共有 N= 种不同的方法. 3、两个原理的联系与区别 联系:两个原理都是对完成一件事的方法种数而言的. 区别:(1)分类计数原理是“分类”,分步计数原理是“分步”; (2)分类计数原理中每类办法中的每一种方法都能独立完成一件事; 分步计数原理中每步中每种方法都只能做这件事的一步,不能独立完成这件事.这些步骤彼此间也不能 有重复和遗漏. 例 1、用 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个无重复数字的比 2000 大的 4 位偶数?

例 2、如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有 5 种颜色可供使 用,求不同的染色方法总数.

练习 4.如图 14-1-1,一环形花坛分成 A,B,C,D 四块,现有 4 种不同的花供选种,要求在每块里种 1 种花, 且相邻的 2 块种不同的花,则不同的种法总数为( ) A、96 B、84 C、80 D、48

小结:处理具体问题时,首先要弄清楚是“分类”还是“分步”,简单地说是“分类互斥、分步互依”,因此在解题时,要 搞清题目的条件与结论,还要注意分类时,要不重不漏,分步时合理设计步骤、顺序,使各步互不干扰.对于复杂的 题目,往往既要分类又要分步. 练习:1、在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有 个;

练习 5、 用红,黄,绿,黑四种不同的颜色涂入下图中的五个区域内,要求相邻的两个区域的颜色都不相同,则有多少种不同 的涂色方法? A B C D E

2、已知集合 M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面上的点(a,b∈M),P 可表示平面上 点;P 可表示 个不在直线 y=x 上的点?

个第二象限的

课后作业(请同学们独立认真完成作业) 7、如图所示,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有 4 种颜色可供选择,则不 1.已知集合 M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从两个集合 M、N 中各选一个数分别作为点的横坐标和纵坐标, 同的着色方法有多少种.(以数字作答) 则在第一、二象限内不同的点个数为( ) A、4 B、6 C、8 D、12 2、在某种信息传输过程中,用 4 个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数 字只有 0 和 1,则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为________.

3、高三一班有学生 50 人,男生 30 人,女生 20 人;高三二班有学生 60 人,男生 30 人,女生 30 人;高三三班有学 生 55 人,男生 35 人,女生 20 人. (1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席,有多少种不同的选法? (2)从高三一班、二班男生中,或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长,有多少种不同的选法?

8、用 0, 1, 2, 3, 4, 5 这六个数字, (1)可以组成多少个各位数字不允许重复的六位的自然数? (2)可以组成多少个各位数字不允许重复的三位的奇数? (3)可以组成多少个各位数字不重复的小于 1000 的自然数? (4)可以组成多少个大于 3000,小于 5421 且各位数字不允许重复的四位数?

4、已知集合 M={-3,-2,-1,0,1,2},若 a,b,c∈M,则: (1)、y=ax2+bx+c 可以表示多少个不同的二次函数; (2)、y=ax2+bx+c 可以表示多少个图象开口向上的二次函数.

5、同室 4 人各写 1 张贺年卡,先集中起来,然后每人从中各拿 1 张别人送出的贺年卡,则 4 张贺年卡不同的分配方 式有多少种.

9、随着人们生活水平的提高,某城市家庭汽车拥有量迅速增长,汽车牌照号码需要扩容.交通管理部门出台了一种汽 车牌照组成办法, 每一个汽车牌照都必须有 3 个不重复的英文字母和 3 个不重复的阿拉伯数字,并且 3 个字母必须合成 一组出现,3 个数字也必须合成一组出现,那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照?

6、如图,要给地图 A, B, C, D 四个区域分别涂上 3 种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂 不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?

10、一个口袋里有 5 封信,另一个口袋里有 4 封信,各封信内容均不同, (1)从两个口袋里各取一封信,共有多少种不同的取法? (2)把这两个口袋里的 9 封信,分别投入 4 个邮箱,有多少种不同的投法?


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