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11.2.4直角三角形全等的判定


沈阳市光荣中学 林 琳

如图,舞台背景的形状是两个直角三角形,工作人员想 如图,舞台背景的形状是两个直角三角形, 知道这两个直角三角形是否全等, 知道这两个直角三角形是否全等,但每个三角形都有一 条直角边被花盆遮住无法测量. 条直角边被花盆遮住无法测量.

你能帮他想个办法吗? 你能帮他想个办法吗?

方法一:测量斜边和一个对应的锐角 方法一:测量斜边和一个对应的锐角. (AAS) 方法二:测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角 方法二:测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角. ASA)或 (ASA)或(AAS)

如果他只带了一个卷尺,能完成这个任务吗? 如果他只带了一个卷尺,能完成这个任务吗?
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边, 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边,发现它 直角边 们分别对应相等 于是他就肯定“两个直角三角形是全等的” 对应相等, 们分别对应相等,于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.

你相信他的结论吗? 你相信他的结论吗?

已知线段a 已知线段a,c(a﹤c)和一个直角α,利用尺 和一个直角α 规作一个Rt△ABC,使 一个Rt ∠α CB=a, 规作一个Rt△ABC,使∠C= ∠α,CB=a,AB=c. a
作法: 作法 ⑴ 作∠MCN=∠α=90°; ∠ ° 在射线CM上截取线段 上截取线段CB=a; ⑵ 在射线 上截取线段 为圆心,C为半径画弧 ⑶ 以B为圆心 为半径画弧,交 为圆心 为半径画弧, 射线CN于点 于点A; 射线 于点 连接AB. ⑷ 连接 即为所求作的三角形. 即为所求作的三角形 M △ABC即为所求作的三角形 B c a C A N

c

α

如何判断你所作的三角形和其他同 学所作的三角形是否全等? 学所作的三角形是否全等?

M B a C

c A N

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角 形全等,简写成“斜边、直角边” 形全等,简写成“斜边、直角边”或“HL”。 。

M B a C

c A N

剪下这个三角形,和其他同学所作的三角形进行比较, 剪下这个三角形,和其他同学所作的三角形进行比较, 完全重合说明这两个三角形全等。(全等三角形定义) 。(全等三角形定义 完全重合说明这两个三角形全等。(全等三角形定义) 测量AC的长度,若相等,说明这两个三角形全等。(SSS) 测量 的长度,若相等,说明这两个三角形全等。( 的长度 。( ) 测量∠CBA的大小,若相等,说明这两个三角形全等。 测量∠ 的大小,若相等,说明这两个三角形全等。 的大小 (SAS或ASA或AAS) 或 或 )

你现在能够用几种方法说明两个直角三角形全等? 你现在能够用几种方法说明两个直角三角形全等?

SSS AAS HL ASA

SAS

前四个判定方法都需要三个条件, 前四个判定方法都需要三个条件,而 HL”只有两个条件,你怎么看? “HL”只有两个条件,你怎么看?
“HL”即“斜边、直角边”的前提是直 即 斜边、直角边” 角三角形,所以也需要三个条件。 角三角形,所以也需要三个条件。

因此, 只适合判定直角三角形全等。 因此,“HL” 只适合判定直角三角形全等。

把下列说明 Rt△ABC≌Rt△DEF的条件或 △ ≌ △ 的条件或 根据补充完整. 根据补充完整
AC=DF (1) _______,∠A=∠D ( ASA ) BC=EF (2) AC=DF,________ (SAS)

A

(3) AB=DE,BC=EF ( HL
AB=DE (4) AC=DF, ______ ( HL )

)

C D

B

(5) ∠A=∠D, BC=EF ( AAS )
∠B=∠E ∠ (6) ________,AC=DF ( AAS ) E

F

如图,AC=AD,∠C,∠D是直角,将上述条件标注在图中, 如图,AC=AD,∠C,∠D是直角,将上述条件标注在图中, 是直角 你能说明BC BD相等吗 BC与 相等吗? 你能说明BC与BD相等吗?
C 解:BC=BD ∵在Rt△ACB和Rt△ADB中 △ 和 △ 中 AB=AB, A B AC=AD. ∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL). △ ≌ △ ∴BC=BD D

有一正方形窗架,盖房时为了稳定, 有一正方形窗架,盖房时为了稳定,在上面钉了两 个等长的木条GF GE, GF与 分别是AD BC的中点 AD, 的中点。 个等长的木条GF与GE,E,F分别是AD,BC的中点。 AB的中点吗 的中点吗? G是AB的中点吗? G A B

E

F

D

C

如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度 与右边 如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边 滑梯水平方向的长度DF相等 相等, 滑梯水平方向的长度 相等, (1)△ABC≌△DEF吗? △ABC≌△DEF吗 (2)两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系? 两个滑梯的倾斜角∠ 的大小有什么关系? 两个滑梯的倾斜角 和 的大小有什么关系

解: (1)∵在R t△ABC和Rt△DEF中 ∵ △ 和 △ 中 BC=EF AC=DF ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL) △ ≌ △ (2) ∵Rt△ABC≌Rt△DEF △ ≌ △ ∴∠ABC=∠DEF ∠ ∴∠ (全等三角形对应角相等 全等三角形对应角相等) 全等三角形对应角相等 又∵∠DEF+∠DFE=90° ∠ ° (直角三角形的两个锐角互余 直角三角形的两个锐角互余) 直角三角形的两个锐角互余 ∴∠ABC+∠DFE=90° ∠ ∴∠ °

如图,∠ACB=∠BDA=90° 如图,∠ACB=∠BDA=90°。要说明 ACB≌△BDA,需要再补充几个条件 需要再补充几个条件, △ACB≌△BDA,需要再补充几个条件, 应补充什么条件?把它们分别写出来。 应补充什么条件?把它们分别写出来。
D C

A

B


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