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吉林省舒兰市第一中学2014-2015学年高中数学必修4学案 3.2 简单的三角恒等变换导学案

第三章

§ 3.2 简单的三角恒等变换

编号 047

【学习目标】 1、会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明。 2、会推导半角公式,积化和差、和差化积公式(公式不要求记忆) 。 3、进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。 【学习重点】三角函数式的化简、求值和证明 【基础知识】 复习: Cos(α+β)= Cos(α-β)= sin(α+β)= sin(α-β)= tan(α+β)= tan(α-β)= sin2α= tan2α= cos2α= 【例题讲解】 例1、 试以 cos? 表示 sin
2

?
2

, cos 2

?
2

, tan 2

?
2



sin
点评:⑴以上结果还可以表示为:

?
2

?? ??

1 ? cos ? 2 1 ? cos ? 2

cos

?
2
2

tan

?

??

1 ? cos ? 1 ? cos ?

-1-

? 并称之为半角公式(不要求记忆) ,符号由 2 角的象限决定.
⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明. ⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换,三角恒等变换常常首先寻找式子所包含 的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系他们的适当公式,这是三角式恒等变换的 重要特点. 例 2 求证:

1 ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ?; 2? ? ?? ? ?? cos (2) sin ? ? sin ? ? 2sin . 2 2
(1) sin ? cos ? ?

点评:在例2证明 中用到了换元思想, (1)式是积化和差的形式, (2)式是和差化积 的形式,在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式. 例3 求函数 y ? sin x ? 3 cos x 的周期,最大值和最小值.

例 4:已知 OPQ 是半径为 1,圆心角为 60 度的扇形,C 是扇形弧上的一动点,ABCD 是 扇形的内接矩形,且 AB 在半径 OP 上,记 ?COP ? ? ,求当 ? 为何值时,矩形 ABCD 的面积 最大,并求出这个最大值?

【达标检测】
-2-

1 1.已知 cos(α+β)cos(α-β)= ,则 cos2α-sin2β 的值为( ) 3 1 1 C. 3 3 C 2.在△ABC 中,若 sinAsinB=cos2 2 ,则△ABC 是( )
A.- B.- A.等边三角形 3.sinα+sinβ= B.等腰三角形 C.不等边三角形

2 3

D.

2 3

D.直角三角形

3 (cosβ-cosα) ,且 α∈(0,π) ,β∈(0,π) ,则 α-β 等于( ) 3 2π π π 2π A.- B.- C. D. 3 3 3 3

4.已知 sin(α+β)sin(β-α)=m,则 cos2α-cos2β 等于( ) A.-m 二、填空题 5.sin20° cos70° +sin10° sin50° =_________. 6.已知 α-β= B.m C.-4m D.4m

2π 1 ,且 cosα+cosβ= ,则 cos(α+β)等于_________. 3 3

三、解答题

5 sin x 1 2 ,x∈(0,π) 7.已知 f(x)=- + . (1)将 f(x)表示成 cosx 的多项式; 2 2 sin x 2
(2)求 f(x)的最小值.

8.已知△ABC 的 三个内角 A、B、C 满足:A+C=2B, 值.

1 1 2 A?C ? ?? ,求 cos 的 cos A cos C cos B 2

-3-

9.已知 sinA+sin3A+sin5A=a,cosA+cos3A+cos5A=b,求证: (2cos2A+1)2=a2+b2.

10.求证:cos2x+cos2(x+α)-2cosxcosαcos(x+α)= sin2α.

【问题与收获】

参考答案 例1 解析:我们可以通过二倍角 cos ? ? 2 cos 角公式中以?代 2?,
2

?
2

? 1 和 cos ? ? 1 ? 2sin 2

?
2

来做此题. (二倍

1 ? cos ? ; 2 2 2 ? 1 ? cos ? 2? ? 1 ,可以得到 cos 2 ? 因为 cos ? ? 2 cos . 2 2 2
解:因为 cos ? ? 1 ? 2sin
2

? 代?) 2

?

,可以得到 sin

2

?

?

两式相除可以得到 tan

2

?
2

?

2 ? 1 ? cos ? . 1 ? cos ? cos 2
2?

sin 2

?

例 2: 解析:回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式,观察公式与所证式子的联系.

-4-

证明: (1)因为 sin ?? ? ? ? 和 sin ?? ? ? ? 是我们所学习过的知识,因此我们从等式右 边着手.

sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? .
两式相加得 2sin ? cos ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ; 即 sin ? cos ? ?

1 ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ?; 2?


(2)由(1)得 sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? 2sin ? cos ? ①;设 ? ? ? ?? ? , ?? ?? 那么 ? ?

? ??
2

,? ?

? ??
2



把 ? , ? 的值代入①式中得 sin ? ? sin ? ? 2sin 例3、

? ??
2

cos

? ??
2



解析:利用三角恒等变换,先把函数式化简,再求相应的值. 解: y ? sin x ? 3 cos x ? 2 ? 所以,所求的周期 T ?

?1 ? 3 ?? ? sin x ? cos x ? 2sin x ? ? ? ?, ?2 ? 2 3 ? ? ? ?

2?

?

? 2? ,最大值为2,最小值为 ?2 .
2. B 3. D 4. B

【达标检测】一、选择题:1.C 二、填空题:5. 三、解答题

1 4

6.-

7 9

sin
7.解: (1)f(x)=

5x x 3x ? sin 2 cos sin x 3x x 2 2 ? 2 ? 2 cos cos =cos2x+cosx=2cos2x+cosx-1. x x 2 2 2 sin 2 sin 2 2

(2)∵f(x)=2(cosx+ ∴当 cosx=-

1 2 9 ) - ,且-1≤cosx≤1, 4 8

1 9 时,f(x)取得最小值- . 4 8

8 分析:本小题考查三角函数的基础知识,利用三角公式进行恒等变形和运算的能力. 解:由题设条件知 B=60° ,A+ C=120° ,
2 =-2 2 , cos 60? 1 1 ∴ =-2 2 . ? cos A cos C

∵-

-5-

将上式化简为 cosA+cosC=-2 2 cosAcosC, 利用和差化积及积化和差公式,上式可化为 2cos

A?C A?C cos =- 2 [cos(A+C)+cos(A-C) ] , 2 2
2 1 1 A?C A?C =cos60° = ,cos(A+C)=cos120° =- 代入上式得 cos = - 2 cos 2 2 2 2 2

将 cos (A-C) ,

将 cos(A-C)=2cos2( 3 2 =0, 即[2cos

A?C A?C A?C )-1 代入上式并整理得 4 2 cos2( )+2cos - 2 2 2

A?C A?C - 2] [2 2 cos +3]=0. 2 2 A?C A?C +3≠0,∴2cos - 2 =0. 2 2

∵2 2 cos ∴cos

2 A?C = . 2 2

9.证明:由已知得
?2 sin 3 A cos 2 A ? sin 3 A ? a, ? ?2 cos 3 A cos 2 A ? cos 3 A ? b, ?sin 3 A(2 cos 2 A ? 1) ? a, ∴? ?cos 3 A(2 cos 2 A ? 1) ? b.

两式平方相加得(2cos2A+1)2=a2+b2. 10.证明:左边= =1+

1 1 (1+cos2x)+ [1+cos(2x+2α) ]-2cosxcosαcos(x+α) 2 2

1 [cos2x+cos(2x+2α) ]-2cosxcosαcos(x+α) 2

=1+cos(2x+α)cosα-cosα[cos(2x+α)+cosα] =1+cos(2x+α)cosα-cosαcos(2x+α)-cos2α =1-cos2α=sin2α =右边, ∴原不等式成立.

-6-


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