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双曲线定义与方程(带动画)_图文

画双曲线
演示实验:用拉链画双曲线

画双曲线
演示实验:用拉链画双曲线

①如图(A), |MF1|-|MF2|=常数 ②如图(B),
|MF2|-|MF1|=常数

由①②可得: | |MF1|-|MF2| | =常数 (差的绝对值)
上面 两条合起来叫做双曲线

根据实验及椭圆定义,你能给双曲线下定义吗?

2.双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值 等于常数2a (小于︱F1F2︱) 的点的轨迹叫做双曲线. ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距. 注意
M

(1)距离之差的绝对值

| |MF1| - |MF2| | = 2a
|MF1| - |MF2| = 2a

F

1

o

F2

思考:

(双曲线的右支)

|MF2| - |MF1| = 2a

(双曲线的左支)

双曲线定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等 于常数2a(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线. 说明

(2)常数要小于|F1F2|大于0

0<2a<2c
思考: (1)若2a=2c,则轨迹是什么? (2)若2a>2c,则轨迹是什么? (3)若2a=0,则轨迹是什么?
(1)F1F2延长线和反向延长线(两条射线) (2)轨迹不存在 (3)线段F1F2的垂直平分线
F
1

M

o

F

2

3.双曲线的标准方程
1. 建系. 以F1,F2所在的直线为X轴, 如何求这优美的曲线的方程? 线段F1F 2的中点为原点建立直角坐 标系 2.设点. 设M(x , y),双曲线的焦 距为2c(c>0),F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式. |MF1|
F1

y
M

o

F2

x

- |MF2|= ? 2a _ 2a (x-c)2 + y2 = +



(x+c)2 + y2 -

4.化简.

(x ? c)2 ? y2 ? (x ? c)2 ? y2 ? ?2a
( (x ? c)2 ? y2 )2 ? ( (x ? c)2 ? y2 ? 2a)2

y
M F1

o

cx ? a ? ?a (x ? c) ? y
2 2

2

(c ? a ) x ? a y ? a (c ? a )
2 2 2 2 2 2 2 2

令c2-a2=b2

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

双曲线的标准方程
y
M

y
M F2 x

F

O
1

F

2

x

O

F1

2 2 x y y x ? 2 ?1 ? 2 ?1 2 2 a b a b (a ? 0,b ? 0) 2 2 2 c ? a ?b

2

2

思考:如何由双曲线的标准方程来判断它的焦点 是在X轴上还是Y轴上?
x2 y2 y2 x2 ? ? 1与 判断: ? ? 1 的焦点位置? 16 9 9 16

结论: 看

x , y 前的系数,哪一个为正,则

2

2

焦点在哪一个轴上。

练习1:根据方程指出焦点坐标: x2 y 2 ( 1) ? ?1 16 9 x2 y 2 ( 2) ? ?1 16 9 x2 y 2 ( 3) ? ? ?1 64 36 ( 4) 4 x ? 9 y ? 36
2 2

F1 (? 7,0) F2 ( 7,0)

F1 ( ?5,0) F2 (5,0)
F1 (0, ?10) F2 (0,10)

把椭圆方程化成标准 形式后, x2项的分母较大,焦点 在x轴上; y2项的分母较大,焦 点在y轴上.
把双曲线方程化成标 准形式后, x2项的系数为正,焦 点在x轴上; y2项的系数为正,焦 点在y轴上.

F1 (? 13,0) F2 ( 13,0)

探究一、求双曲线的标准方程

归纳:焦点定型,a、b、c三者之二定量
例1:求适合下列条件的双曲线的标准方程。
y 2 x2 1、a ? 4, c ? 5 焦点在y轴上 16 ? 9 ? 1 x2 y 2 ? ?1 2、焦点为 (?5, 0), (5, 0) 且 b ? 3 16 9
x2 y 2 3.以椭圆 ? ? 1的焦点为焦点,且过点A( 15,4) 27 36 2 2

y x ? ?1 4 5 4.双曲线过两点P1 (3,0), P 2 (?6, ?3)

x2 y 2 ? ?1 9 3

x2 y2 练习: 如果方程 2 ? m ? m ? 1 ? 1 表示焦点在x轴上

的双曲线, 求m的取值范围.

变式:若表示双曲线呢?

变 式 练 习

x2 y2 2.已知方程 ? ?1 9?k k ?3 (1)方程表示椭圆,则 k的取值范围是__________ ______ ; (2)方程表示双曲线,则 k的取值范围是 __________ _____ .

1. 已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),平面上一动点P, PF1-PF2= 6,求点P的轨迹方程.

3.已知双曲线8kx 2 ? ky 2 ? 8的一个焦点为( 0,3 ), 则k的值为           (   ) 65 65 A.1  B.-1   C.    D.- 3 3

1. 已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),平面上一动点P, PF1-PF2= 6,求点P的轨迹方程.

变 解: 由题知点P的轨迹是双曲线的右支, 式 根据双曲线的焦点在 x 轴上,设它的标准方 练 程为: 2 2 x y 习 ? ? 1( x ? 0) (a ? 0, b ? 0)
∵ ∴

a2

2a = 6,

b2

c=5

a = 3, c = 5

x2 y2 ? ? 1 (x>0) 所以点P的轨迹方程为: 9 16



b2 = 52-32 =16

变 式 k ? 3或k _____ ?9 . (2)方程表示双曲线,则 k的取值范围是 __________ 练 习 2 2
3.已知双曲线8kx ? ky ? 8的一个焦点为( 0,3 ), 则k的值为           (   ) B 65 65 A.1  B.-1   C.    D.- 3 3

x2 y2 2.已知方程 ? ?1 9?k k ?3 3 ? k ? 9且 k ?6; (1)方程表示椭圆,则 k的取值范围是 __________ ______

小结 ----双曲线定义及标准方程
定义

| |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|)
y
M
M F2

y

图象

F1

o

F2

x
F1

x

方程 焦点
a.b.c 的关 系

x y ? 2 ?1 2 a b
F ( ±c, 0)

2

2

y2 x2 ? 2 ?1 2 a b
F(0, ± c)
2 2

c ?a ?b
2

探究二、双曲线定义的应用
x2 y2 2.(1)若双曲线 - =1 上的一点 P 到它的右焦 4 12 点 F2 的距离为 8, 则点 P 到它的左焦点 F1 的距离是__________ x2 y2 (2)已知双曲线 - =1,F1、F2 是其两个焦点,点 M 在双曲 4 9 线上.若∠F1MF2=90°,求△F1MF2 的面积.

解:(1)选 C.由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2a=4, 所以||PF1|-8|=4, 所以|PF1|=4 或 12. (2)由双曲线方程知 a=2,b=3,c= 13, 不妨设|MF1|=r1,|MF2|=r2(r1>r2). 由双曲线定义得 r1-r2=2a=4.
2 两边平方得 r2 1+r2-2r1?r2=16,

即|F1F2|2-4 S△F1MF2=16, 即 4 S△F1MF2=52-16, 所以 S△F1MF2=9.

探究点三 利用双曲线的定义求轨迹问题 动圆 M 与圆 C1:(x+3)2+y2=9 外切,且与圆 C2:(x -3)2+y2=1 内切,求动圆圆心 M 的轨迹方程.
[解] 设动圆半径为 R, 因为圆 M 与圆 C1 外切,且与圆 C2 内切, 所以|MC1|=R+3,|MC2|=R-1, 所以|MC1|-|MC2|=4. 所以点 M 的轨迹是以 C1、C2 为焦点的双曲线的右支, 且有 a=2,c=3,b2=c2-a2=5, x 2 y2 所以所求轨迹方程为 - =1(x≥2). 4 5