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标题-2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版选修2-1:模块综合检测

模块综合检测
(时间 120 分钟 满分 150 分) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) π 1.命题“若△ABC 有一内角为 ,则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( 3 A.与原命题同为假命题 B.与原命题的否命题同为假命题 C.与原命题的逆否命题同为假命题 D.与原命题同为真命题 解析:选 D 原命题显然为真,原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列, π 则△ABC 有一内角为 ” ,它是真命题. 3 2.抛物线 y=ax2 的准线方程是 y=2,则 a 的值为( 1 A. 8 C.8 B.- 1 8 ) )

D.-8

1 1 解析:选 B 由 y=ax2 得 x2=ay, ∴a=-8, 1 ∴a=- . 8 3.下列说法中正确的是( )

A.一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真 B.“a>b”与“a+c>b+c”不等价 C. “a2+b2=0,则 a,b 全为 0”的逆否命题是“若 a,b 全不为 0,则 a2+b2≠0” D.一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真 解析:选 D 否命题和逆命题互为逆否命题,有着一致的真假性,故选 D. 4.已知空间向量 a=(1,n,2),b=(-2,1,2),若 2a-b 与 b 垂直,则|a|等于( 5 A. C. 3 2 37 2 B. 3 D. 21 2 5 2 )

解析:选 D 由已知可得 2a-b=(2,2n,4)-(-2,1,2)=(4,2n-1,2). 又∵(2a-b)⊥b,∴-8+2n-1+4=0. 5 ∴2n=5,n= .∴|a|= 2 25 3 5 1+4+ = . 4 2

x2 y2 5.双曲线 - =1(mn≠0)的离心率为 2,它的一个焦点与抛物线 y2=4x 的焦点重合, m n 则 mn 的值为( 3 A. 16 16 C. 3 x2 y2 故双曲线 - =1 中, m n m>0,n>0 且 m+n=c2=1.① 又双曲线的离心率 e= c = m 1 m+n m =2,② ) 3 B. 8 8 D. 3

解析:选 A 抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),

?m=4, 联立方程①②,解得? 3 ?n=4.
围为( )

故 mn=

3 . 16

x2 y2 6.若直线 y=2x 与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)有公共点,则双曲线的离心率的取值范 a b

A.(1, 5) C.(1, 5 ]

B.( 5,+∞) D.[ 5,+∞)

b b 解析:选 B 双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为 y= x.由条件知,应有 >2, a a a2+b2 c 故 e=a= a = b?2 1+? ?a? > 5.

x2 y2 7.已知 F1(-3,0),F2(3,0)是椭圆m+ n =1 的两个焦点,点 P 在椭圆上,∠F1PF2=α. 当 α= 2π 时,△F1PF2 面积最大,则 m+n 的值是( 3 B.15 D.1 )

A.41 C.9

1 解析:选 B 由 S△F1PF2= |F1F2|· yP=3yP, 2 知 P 为短轴端点时,△F1PF2 面积最大. 2π 此时∠F1PF2= , 3 得 a= m=2 3,b= n= 3,故 m+n=15. )

8.正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直,则二面角 ABDC 的正弦值为(

A.

5 5

B. D.

3 3 6 3

2 5 C. 5

解析:选 C 取 BC 中点 O,连接 AO,DO.建立如图所示坐标系,设 BC =1, 则 A 0,0, D

? ?

1 3? ? ,B? ?0,-2,0?, 2?

? 3,0,0?. ?2 ?
= 0,0,

∴ 由于

? ?

3? , 2?

3? ? 1 = 0, , , ? 2 2?



? 3,1,0?. ?2 2 ?

= 0,0,

? ?

3? 为平面 BCD 的一个法向量,可进一步求出平面 ABD 的一个法 2?

向量 n=(1,- 3,1), ∴cos〈n, 〉= 5 ,∴sin〈n, 5 2 5 〉= . 5

二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每空 3 分,单空题每题 4 分,共 36 分) 9.在平面直角坐标系 xOy 中,若定点 A(1,2)与动点 P(x,y)满足 P 的轨迹方程是________. 解析:由 · =4 得 x×1+y×2=4,因此所求动点 P 的轨迹方程为 x+2y-4=0. · =4,则动点

答案:x+2y-4=0 10.点 F 是抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点,l 是准线,A 是抛物线在第一象限内的点, 直线 AF 的倾斜角为 60° ,AB⊥l 于 B,△ABF 的面积为 3,则 p 的值为________,点 A 坐 标为________. p? 解析:设 A(x,y),∵直线 AF 的倾斜角为 60° ,∴y= 3? ?x-2?①,∵△ABF 的面积为 1 ? p? x+ · 3,∴ · y= 3②,∵A 是抛物线在第一象限内的点,∴y2=2px③,∴由①②③可 2 ? 2? 3 得 p=1,x= ,y= 3. 2 3 ? 答案:1 ? ?2, 3? 11.已知 P 为抛物线 C:y2=4x 上的一点,F 为抛物线 C 的焦点,其准线方程为 ____________,若准线与 x 轴交于点 N,直线 NP 与抛物线交于另一点 Q,且|PF|=3|QF|, 则点 P 坐标为____________. 解析:∵y2=4x,∴焦点坐标 F(1,0),准线方程 x=-1.过 P,Q 分别作准线的射影分 别为 A, B, 则由抛物线的定义可知: |PA|=|PF|, |QF|=|BQ|, ∵|PF|=3|QF|, ∴|AP|=3|QB|,

2 y2 ? ? y ,y?,N(-1,0), ,y ,y≠0, 即|AN|=3|BN|, ∴P, Q 的纵坐标满足 yP=3yQ, 设 P? 则 Q ?4 ? ?36 3?

y2 12 ∵N,Q,P 三点共线,∴ 2 = 2 ,解得 y2=12,∴y=± 2 3,此时 x= = =3,即 y y 4 4 +1 +1 4 36 y 点 P 的坐标为(3,± 2 3). 答案:x=-1 (3,± 2 3)

y 3

x2 y2 x2 y2 3 12.若椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,则双曲线 2- 2=1 的离心率为________, a b 2 a b 渐近线方程为________. x2 y2 3 解析:因为椭圆 2+ 2=1 的离心率 e1= , a b 2 b2 b2 1 x2 y2 b2 3 2 所以 1- 2=e2 1= ,即 2= ,而在双曲线 2- 2=1 中,设离心率为 e2,则 e2=1+ 2= a 4 a 4 a b a 1 5 1+ = , 4 4 所以 e2= 答案: b 5 1 .渐近线方程为 y=± x. ax,即 y=± 2 2

5 1 y=± x 2 2

13.已知双曲线 C 的离心率为 2,焦点为 F1,F2,点 A 在 C 上.若|F1A|=2|F2A|,则 cos∠AF2F1=________. 解析:由题意得?
?|F1A|-|F2A|=2a, ? ? ?|F1A|=2|F2A|,

解得|F2A|=2a,|F1A|=4a,

c 又由已知可得a=2,所以 c=2a,即|F1F2|=4a, ∴cos∠AF2F1= = |F2A|2+|F1F2|2-|F1A|2 2|F2A|· |F1F2|

4a2+16a2-16a2 1 = . 4 2×2a×4a 1 4

答案:

x2 y2 14.过双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点作圆 x2+y2=a2 的两条切线,切点分 a b 别为 A,B.若∠AOB=120° (O 是坐标原点),则双曲线 C 的离心率为________. 解析:由题意,如图,在 Rt△AOF 中,∠AFO=30° , AO=a,OF=c,∴sin 30° = 答案:2 OA a 1 c = = .∴e= =2. OF c 2 a

15.正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F 分别是 BB1,CD 的中点,则 EF 与平面 CDD1C1 所成角的正弦值为________,EF 与 AB 所成角的正切值为________. 解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为 2,则 E(2,0,1),F(1,2,0), ∴ =(-1,2,-1). =(0,2,0),cos〈 〉=

又平面 CDD1C1 的一个法向量为

4 6 6 = ,故所求角的正弦值为 .EF 与 AB 所成角为∠EFC,tan 3 3 6×2 ∠EFC= 5. 答案: 6 3 5

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 16.(本小题满分 14 分)已知 P={x|x2-8x-20≤0},非空集合 S={x|1-m≤x≤1+m}. (1)是否存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的充要条件,若存在,求出 m 的范围; (2)是否存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的必要条件,若存在,求出 m 的范围. 解:(1)由 x2-8x-20≤0 得-2≤x≤10, ∴P={x|-2≤x≤10}, ∵x∈P 是 x∈S 的充要条件, ∴P=S,
? ? ?1-m=-2, ?m=3, ∴? ∴? ?1+m=10 ? ? ?m=9,

这样的 m 不存在. (2)由题意 x∈P 是 x∈S 的必要条件,则 S?P. 1-m≥-2, ? ? ∴?1+m≤10, ? ?1-m≤1+m

∴m≤3.

综上,可知 0≤m≤3 时,x∈P 是 x∈S 的必要条件. 17.(本小题满分 15 分)如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,AB=1, AC=AA1= 3,∠ABC=60° .

(1)证明:AB⊥A1C; (2)求二面角 AA1CB 的正切值大小. 解:法一:(1)证明:∵三棱柱 ABCA1B1C1 为直三棱柱,

∴AB⊥AA1. 在△ABC 中,AB=1,AC= 由正弦定理得∠ACB=30° , ∴∠BAC=90° ,即 AB⊥AC, ∴AB⊥平面 ACC1A1. 又 A1C?平面 ACC1A1, ∴AB⊥A1C. (2)如图,作 AD⊥A1C 交 A1C 于 D 点,连接 BD. ∵AB⊥A1C,AD∩AB=A, ∴A1C⊥平面 ABD, ∴BD⊥A1C, ∴∠ADB 为二面角 AA1CB 的平面角. 在 Rt△AA1C 中, 3× 3 AA1· AC 6 AD= = = . A1C 2 6 AB 6 在 Rt△BAD 中,tan∠ADB=AD= , 3 ∴二面角 AA1CB 的正切值为 6 . 3 3,∠ABC=60° .

法二:(1)证明:∵三棱柱 ABCA1B1C1 为直三棱柱, ∴AA1⊥AB,AA1⊥AC. 在△ABC 中, AB=1,AC= 3,∠ABC=60° .

由正弦定理得∠ACB=30° , ∴∠BAC=90° , 即 AB⊥AC.如图,建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(0, 3,0),A1(0,0, 3), ∴ ∵ =(1,0,0), · =(0, 3,- 3). 3)=0,∴AB⊥A1C.

=1×0+0× 3+0×(-

(2)取 m= 由(1)知: 则?

=(1,0,0)为平面 AA1C1C 的法向量. =(-1, 3,0),设平面 A1BC 的法向量 n=(x,y,z),

? ? n· ? n· ?

=0, =0,

?-x+ 3y=0, ∴? ? 3y- 3z=0,
∴x= 3y,y=z.令 y=1,则 n=( 3,1,1), ∴cos 〈m,n〉= = m· n |m|· |n|
2 2 2

3×1+1×0+1×0 ? 3? +1 +1 · 1 +0 +0 1- 6 . 3
2 2 2



15 , 5

∴sin〈m,n〉= ∴tan〈m,n〉=

? 15?2= 10, 5 ? 5 ?

∴二面角 AA1CB 的正切值为

6 . 3

18.(本小题满分 15 分)如图,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,AA1C1C 是边长为 4 的正方形, 平面 ABC⊥平面 AA1C1C,AB=3,BC=5. (1)求证:AA1⊥平面 ABC; (2)求二面角 A1BC1B1 的余弦值. 解:(1)证明:因为 AA1C1C 为正方形,所以 AA1⊥AC. 因为平面 ABC⊥平面 AA1C1C,且 AA1 垂直于这两个平面的交线 AC, 所以 AA1⊥平面 ABC. (2)由(1)知 AA1⊥AC,AA1⊥AB. 由题知 AB=3,BC=5,AC=4, 所以 AB⊥AC. 如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系 Axyz,则 B(0,3,0), A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4). 设平面 A1BC1 的法向量为 n=(x,y,z),

? ?n· 则? ?n· ?

=0, =0.

? ?3y-4z=0, 即? ?4x=0. ?

令 z=3,则 x=0,y=4,所以 n=(0,4,3). 同理可得,平面 B1BC1 的一个法向量为 m=(3,4,0). n· m 16 所以 cos〈 n,m〉= = . |n||m| 25 由题知二面角 A1BC1B1 为锐角, 16 所以二面角 A1BC1B1 的余弦值为 . 25

19.(本小题满分 15 分)如图所示,在四棱锥 PABCD 中,PC⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=BC=2CD=2,AD= 3,PE=2BE. (1)求证:平面 PAD⊥平面 PCD; (2)若二面角 PACE 的大小为 45° ,求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值. 解:(1)证明:∵PC⊥平面 ABCD,AD?平面 ABCD, ∴PC⊥AD, 又 CD⊥AD,PC∩CD=C,∴AD⊥平面 PCD, 又 AD?平面 PAD,∴平面 PAD⊥平面 PCD. (2)取 AB 的中点 F,连接 CF,则 CF⊥AB, 如图,以 C 为坐标原点,CF 为 x 轴,CD 为 y 轴,CP 为 z 轴, 建立空间直角坐标系,设 PC=a, 则 P(0,0,a)(a>0), E

?2 3,-2,a?,A( 3,1,0), 3 3? ? 3
=( 3,1,0), =(0,0,a), =

?2 3,-2,a?, 3 3? ? 3

设 m=(x,y,z)是平面 PAC 的一个法向量,

?m· 则? ?m·

= 3x+y=0, =az=0,

取 x=1,得 m=(1,- 3,0), 设平面 EAC 的法向量 n=(x1,y1,z1),

? ? n· 则? ? ?n·

= 3x1+y1=0, = a 2 3 2 x - y + z =0, 3 1 3 1 31

4 3? ? 取 x1=1,得 n= 1,- 3,- , a

?

?

∵二面角 PACE 的大小为 45° , ∴cos 45° =|cos〈m,n〉|= |m· n| = |m|· |n| 2 = , 48 2 4+ 2 a 4

2

解得 a=2 3,此时 n=(1,- 3,-2), ∴ =( 3,1,-2 3),

设直线 PA 与平面 EAC 所成角为 θ, 则 sin θ=|cos〈 ,n〉|= | | 4 3 6 = = . 4 2 2 |· |n| 4· · n|

∴直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值为

6 . 4

x2 y2 20.(本小题满分 15 分)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左顶 a b 1 点为(-2,0),离心率为 . 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知直线 l 过点 S(4,0),与椭圆 C 交于 P,Q 两点,点 P 关于 x 轴的对称点为 P′, P′与 Q 两点的连线交 x 轴于点 T,当△PQT 的面积最大时,求直线 l 的方程. a=2, ? ? 解:(1)由题意可得? c 1 ? ?e=a=2, 可得 c=1,b= a2-c2= 3. x2 y2 所以椭圆的方程为 + =1. 4 3 (2)设直线 l 的方程为 x=my+4,P(x1,y1),Q(x2,y2),则 P′(x1,-y1),
? ?x=my+4, 联立? 2 2 ?3x +4y =12 ?

得(4+3m2)y2+24my+36=0, 则 Δ=(24m)2-144(4+3m2)=144(m2-4)>0, 即 m2>4. 24m 又 y1+y2=- , 4+3m2 y1y2= 36 , 4+3m2 y2+y1 (x-x1)-y1, x2-x1

直线 P′Q 的方程为 y= 则 xT= =

x1y2+x2y1 ?my1+4?y2+?my2+4?y1 = y1+y2 y1+y2

2my1y2+4?y1+y2? 72m = +4=1, y1+y2 -24m

则 T(1,0),故|ST|=3, 所以 S△PQT=S△SQT-S△SPT 18 m2-4 3 3 = |y1-y2|= · ?y1+y2?2-4y1y2= , 2 2 4+3m2 令 t= m2-4>0,

则 S△PQT=

18t 18 = ≤ 16 3t +16 3t+ t 2
2

18 16 3t·t



3 3 , 4

16 28 当且仅当 t2= ,即 m2= , 3 3 2 21 即 m=± 时取到“=” , 3 故所求直线 l 的方程为 3x± 2 21-12=0.


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