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人教A版数学必修五1.1.3 《正弦定理和余弦定理》教案2

课题: §1.1.3 解三角形的进一步讨论 ●教学目标 知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情 形;三角形各种类型的判定方法;三角形面积定理的应用。 过程与方法:通过引导学生分析,解答三个典型例子,使学生学会综合运用正、余弦定理,三角函 数公式及三角形有关性质求解三角形问题。 情感态度与价值观:通过正、余弦定理,在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的 关系,反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能,从而从本质上反映了事物之间的 内在联系。 ●教学重点 在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形; 三角形各种类型的判定方法;三角形面积定理的应用。 ●教学难点 正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情景] 思考:在 ? ABC 中,已知 a ? 22 cm , b ? 25cm , A ? 133 ,解三角形。 (由学生阅读课本第 9 页解答过程) 从此题的分析我们发现,在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,在某些条件下会 出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。 Ⅱ.讲授新课 [探索研究] b ,A ,讨论三角形解的情况 例 1.在 ? ABC 中,已知 a , 0 分析:先由 sin B ? 0 则 C ? 180 ?(A ? B ) b sin A 可进一步求出 B; a 从而 c ? 1.当 A 为钝角或直角时,必须 a ? b 才能有且只有一解;否则无解。 2.当 A 为锐角时, 如果 a ≥ b ,那么只有一解; 如果 a ? b ,那么可以分下面三种情况来讨论: (1)若 a ? b sin A ,则有两解; (2)若 a ? b sin A ,则只有一解; (3)若 a ? b sin A ,则无解。 (以上解答过程详见课本第 9 ? 10 页) 评述:注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,只有当 A 为锐角且 b sin A ? a ? b 时,有两解;其它情况时则只有一解或无解。 [随堂练习 1] (1)在 ? ABC 中,已知 a ? 80 , b ? 100 , ?A ? 45 ,试判断此三角形的解的情况。 0 a sinC A 1 0 , ?C ? 40 ,则符合题意的 b 的值有_____个。 2 (3)在 ? ABC 中, a ? xcm , b ? 2 cm , ?B ? 450 ,如果利用正弦定理解三角形有两解,求 x 的取 (2)在 ? ABC 中,若 a ? 1 , c ? 值范围。 (答案:(1)有两解;(2)0;(3) 2 ? x ? 2 2 ) 例 2.在 ? ABC 中,已知 a ? 7 , b ? 5 , c ? 3 ,判断 ? ABC 的类型。 分析:由余弦定理可知 a 2 ? b 2 ? c 2 ? A是直角 ? ?ABC是直角三角形 a 2 ? b 2 ? c 2 ? A是钝角 ? ?ABC是钝角三角形 a 2 ? b 2 ? c 2 ? A是锐角? ?ABC是锐角三角形 (注意: A是锐角? ?ABC是锐角三角形 ) 2 2 2 2 2 2 解:? 7 ? 5 ? 3 ,即 a ? b ? c , ∴ ?ABC是钝角三角形 。 [随堂练习 2] (1)在 ? ABC 中,已知 sin A:sin B :sinC ? 1:2:3 ,判断 ? ABC 的类型。 (2)已知 ? ABC 满足条件 a cosA ? b cosB ,判断 ? ABC 的类型。 (答案:(1) ?ABC是钝角三角形 ;(2) ? ABC 是等腰或直角三角形) a ? b ?c 3 ,求 的值 sin A ? sin B ? sinC 2 1 1 1 分析:可利用三角形面积定理 S ? ab sinC ? ac sin B ? bc sin A 以及正弦定理 2 2 2 a b c a ? b ?c ? ? ? sin A sin B sinC sin A ? sin B ? sinC 1 3 解:由 S ? bc sin A ? 得c ? 2 , 2 2 2 2 2 则 a ? b ? c ? 2bc cos A =3,即 a ? 3 , a ? b ?c a 从而 ? ?2 sin A ? sin B ? sinC sin A 0 例 3.在 ? ABC 中, A ? 60 , b ? 1 ,面积为 Ⅲ.课堂练习 (1)在 ? ABC 中,若 a ? 55 , b ? 16 ,且此三角形的面积 S ? 220 3 ,求角 C (2)在 ? ABC 中,其三边分别为 a、b、c,且三角形的面积 S ? 0 a 2 ? b 2 ?c 2 4 ,求角 C (答案:(1) 60 或 120 ;(2) 45 ) Ⅳ.课时小结 (1)在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形; (2)三角形各种类型的判定方法; (3)三角形面积定理的应用。 Ⅴ.课后作业 (1)在 ? ABC 中,已知 b ? 4 , c ? 10 , B ? 30 ,试判断此三角形的解的情况。 (2)设 x、x+1、x+2 是钝角三角形的三边长,求实数 x 的取值范围。 0 0 0 0 (3)在 ? ABC 中, A ? 60 , a ? 1 , b ?c ? 2 ,判断 ? ABC 的形状。 2 (4)三角形的两边分别为 3cm,5cm,它们所夹的角的余弦为方程 5x ? 7x ? 6 ? 0 的根, 求这个三角形的面积。 ●板书设计 ●授后记

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