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经济数学微积分微分方程的基本概念_图文

第一节 微分方程的基本概念
一、问题的提出 二、微分方程的定义 三、主要问题—求方程的解 四、小结 思考题

一、问题的提出
例 1 一曲线通过点 (1,2), 且在该曲线上任一点

M ( x , y ) 处的切线斜率为2 x ,求这曲线的方程.


设所求曲线为y ? y( x ), 由题有 dy ? 2x 且满足:当 x ? 1时, y ? 2 dx

积分,得 y ? ? 2 xdx 即 y ? x 2 ? C , 求得C ? 1,
所以,所求曲线方程为 y ? x2 ? 1 .

例 2 列车在平直的线路上以 20 米/ 秒的速度行驶, 当制动时列车获得加速度? 0.4 米/秒 2 , 问开始制动 后多少时间列车才能停住?以及列车在这段时间内 行驶了多少路程?



设制动后t 秒钟行驶 s 米, s ? s(t )
ds d2 s t ? 0, s ? 0, v ? ? 20, ? ?0.4 2 dt dt ds v? ? ?0.4t ? C1 s ? ?0.2t 2 ? C1t ? C 2 dt

代入条件后知

C1 ? 20, C 2 ? 0

ds v? ? ?0.4t ? 20, dt

故 s ? ?0.2t ? 20t ,
2

20 开始制动到列车完全停住共需 t ? ? 50(秒), 0 .4

列车在这段时间内行驶了
s ? ?0.2 ? 50 ? 20 ? 50 ? 500(米).
2

二、微分方程的定义
微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程,
叫做微分方程.



y?? ? 2 y? ? 3 y ? e x , ? z 2 (t ? x )dt ? xdx ? 0, ? x ? y, ?x

y? ? xy ,

实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的
某些导数(或微分)之间的关系式.

分类1: 常微分方程, 偏微分方程.

微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最
高阶导数的阶数. 分类2: 一阶微分方程 F ( x , y, y?) ? 0, y? ? f ( x , y );

高阶微分方程 F ( x , y , y?,?, y ( n ) ) ? 0,

y ( n ) ? f ( x , y, y?,?, y ( n?1) ).

分类3: 线性微分方程.

y? ? P ( x ) y ? Q( x ),

2 ? x ( y ) ? 2 yy? ? x ? 0; 非线性微分方程.

分类4: 单个微分方程与微分方程组.

? dy ? 3 y ? 2z, ? ? dx ? ? dz ? 2 y ? z , ? ? dx

三、主要问题---求方程的解
微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式
的函数.
设y ? ?( x )在区间 I 上有 n 阶导数, 满足
( n) ? F ( x,? ( x ),? ( x ),?,? ( x )) ? 0. 则称 y ? ( x)为微分方程在区间 I 上的解。

微分方程的解的分类: (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任 意常数的个数与微分方程的阶数相同.

例如 y ? ? y, 通解 y ? Ce x ;

y?? ? y ? 0, 通解 y ? C1 sin x ? C2 cos x;
(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解.

解的图像:

微分方程的积分曲线.
积分曲线族.

通解的图像:

初始条件:

用来确定任意常数的条件.

初值问题:求微分方程满足初始条件的特解的问题.

? y? ? f ( x , y ) 一阶: ? ? y x ? x0 ? y 0

过定点的积分曲线;

? y ?? ? f ( x , y , y ? ) 二阶: ? ? ? y ? y , y ? y 0 0 x ? x x ? x ? 0 0
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.

例 3 验证:函数 x ? C1 cos kt ? C2 sin kt 是微分方程

d2 x 2 ? k x?0 2 dt
的解. 并求满足初始条件 x t ? 0
dx ? A, ? 0 的特解. dt t ? 0

解:

dx ? ? kC1 sin kt ? kC 2 cos kt , dt

d2 x 2 2 ? ? k C cos kt ? k C 2 sin kt , 1 2 dt d2 x 将 2 和x的表达式代入原方程 , 得 dt

? k 2 (C1 cos kt ? C 2 sin kt ) ? k 2 (C1 cos kt ? C 2 sin kt ) ? 0.

故 x ? C1 cos kt ? C2 sin kt 是原方程的解 .
x t ?0 dx ? A, ? 0, dt t ? 0

? C1 ? A, C2 ? 0.

所求特解为 x ? A cos kt . 补充: 微分方程的初等解法: 初等积分法.

求解微分方程

求积分

(通解可用初等函数或积分表示出来)

四、小结
本节基本概念:
微分方程; 微分方程的阶; 微分方程的解; 通解; 初始条件; 特解; 初值问题; 积分曲线.

思考题
函数 y ? 3e 的什么解?
2x

是微分方程 y ?? ? 4 y ? 0

思考题解答
? y? ? 6e 2 x , y?? ? 12e 2 x ,

y?? ? 4 y ?12e 2 x ? 4 ? 3e 2 x ? 0,
? y ? 3e 2 x 中不含任意常数,
故为微分方程的特解.

练 习 题
一、 填空题: 1. xy ??? ? 2 y ?? ? x 2 y ? 0 是______阶微分方程;

d 2Q dQ Q 2. L 2 ? R ? ? 0是______阶微分方程; dt dt c d? ? ? ? sin 2 ? 是______阶微分方程; 3. d?
4. 一个二阶微分方程的通解应含有____个任意常数 . 二、确定函数关系式 y ? C1 sin( x ? C2 ) 所含的参数,使 其满足初始条件 y x ? ? ? 1, y?x ? ? ? 0 .

三、设曲线上点 P ( x , y ) 处的法线与 x 轴的交点为 Q , 且线段 PQ 被 y 轴平分,试写出该曲线所满足的微 分方程.

a , b 为任意常 四、已知函数 y ? ae x ? be ? x ? x ? 1 ,其中 数,试求函数所满足的微分方程 .

练习题答案
一、1. 3; 2. 2; 3. 1; 4. 2.

? 二、C1 ? 1, C 2 ? . 2
三、 yy? ? 2 x ? 0. 四、 y?? ? y ? 1 ? x .

⒉ 从横向研究技术进步:部门之间、企业之 间技术进步水平的比较分析
⑴ 建立并估计某行业的企业确定性统计 边界生产函数模型
⑵ 确定技术效率为1的企业

⑶ 计算每个企业的技术效率
⑷ 实例

六、建立生产函数模型过程中的问题一 例:数据质量问题

⒈ 样本数据的一致性问题
? 一致性问题在生产函数模型中的具体体现。

? 为什么建立某个行业的生产函数模型必须采用时 间序列数据? ? 为什么建立某个行业的企业生产函数模型必须采 用截面数据?
? 为什么建立某个特定企业的生产函数模型必须采 用时间序列数据?

⒉ 样本数据的准确性问题

? 样本数据的准确性的两层含义。

? 什么样的要素投入量数据才是“准确”的?
? 用部分的数据代替全体的数据必须满足什 么假设?

⒊ 样本数据的可比性问题

? 可比性的极端重要性。 ? 如何才能保证产出量数据的可比性?

? 如何才能保证资本投入量数据的可比性?

经济数学

(Demand Function,D.F.)
一、几个重要概念 二、几个重要的单方程需求函数模型及 其参数估计 三、线性支出系统需求函数模型及其参 数估计 * 四、交叉估计 * 五、大类商品的数量与价格

§7.2需求函数

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一、几个重要概念

⒈ 需求函数 ⑴ 定义
? 需求函数是描述商品的需求量与影响因素,例 如收入、价格、其他商品的价格等之间关系的 数学表达式。

qi ? f ( I , p1 ,?, pi ,?, pn )
? 特定情况下可以引入其他因素。

? 需求函数与消费函数是两个完全不同的概念。 为什么? ? 单方程需求函数模型和需求函数模型系统 哪类更符合需求行为理论?

⑵ 单方程需求函数模型是经验的产物
? 与需求行为理论不符

? 经常引入其他因素
? 参数的经济意义不明确

⑶ 需求函数模型系统来源于效用函数 ? 由效用函数在效用最大化下导出,符合需求 行为理论

? 只包括收入和价格
? 参数有明确的经济意义

⒉ 从效用函数到需求函数 ⑴ 从直接效用函数到需求函数
? 直接效用函数为:

U ? u(q1 , q2 ,?, qn )
? 预算约束为:

?q p
i ?1 i

n

i

?I

? 在预算约束下使效用最大,即得到需求函数模型。

构造如下的拉格朗日函数:

L(q1 , q2 ,?, qn , ? ) ? u(q1 , q 2 ,?, q n )

? ? ( I ? ? qi pi )
i ?1

n

极值的一阶条件:
? u ?? L ? ? ? pi ? 0 ? ? qi ? ? qi ?? L n ? ? I ? ? q i pi ? 0 ? i ?1 ?? ?

求解即得到需求函数模型。

⑵ 从间接效用函数到需求函数
? 间接效用函数为:

V ? v( p1 , p2 ,?, pn , I )
? 利用公式

?V qi ? ? ? pi

?V ?I

i ? 1,2,?, n

? 可以得到所求的使效用达到最大的商品需求 函数。

⒊ 需求函数的0阶齐次性
⑴ 需求的收入弹性

?qi ?i ? qi

?I ??0 ? qi ?? ?? I ?I

I qi

?生活必须品的需求收入弹性? ?高档消费品的需求收入弹性?

?低质商品的的需求收入弹性?

⑵ 需求的自价格弹性

?qi ? ii ? qi

?pi ??0 ? qi ?? ?? pi ? pi

pi qi

?生活必须品的需求自价格弹性? ?高档消费品的需求自价格弹性?

?“吉芬品” 的的需求收入弹性?

⑶ 需求的互价格弹性

?qi ? ij ? qi

?p j

? qi ?? ?? pj ? pj
??0

pj qi

?替代品的需求互价格弹性? ?互补品的需求互价格弹性?

?互相独立商品的需求互价格弹性?

⑷ 需求函数的0阶齐次性条件

? 当收入、价格、其他商品的价格等都增长倍 时,对商品的需求量没有影响。即:

f (? I , ? p1 ,?, ? pi ,?, ? pn ) ? ?
? 需求函数模型的重要特征 ? 模型的检验

0

f ( I , p1 ,?, pi ,?, pn )

二、几种重要的单方程需求函数模型 及其参数估计


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