金堂中学高2013级数学周练测试题

金堂中学高 2013 届文科数学周练（24） 一、选择题：10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 (1) 设 U=R，集合 A ? ?y y ? 2 , x ? R ?, B ? ?x ? Z x ? 4 ? 0 ? ，则下列结论正确的是
x 2

A

A ? B ? ?0 , ?? ? B

?C U A ? ? B

? ?? ? ,0 ? C

?C U A ? ? B
z1 z2

? ?? 2 ,1, 0? D
z1 z2

?C U A ? ? B
的虚

? ?1, 2 ?

（2）已知 a ? R ，复数 z1 ? 2 ? ai , z 2 ? 1 ? 2 i ，若 部为 A1 B
i

为纯虚数，则复数

开始

C

2 5

D0

S=0，i=0

（3）已知函数 f ( x ) ? x 3 ? 2 x ? 2 有唯一零点，则存在零点的区间是
3? ? A ? ? 2,? ? 2? ? ? 3 ? B ? ? ,? 1 ? ? 2 ? 1? ? C ? ? 1, ? ? 2? ? ? 1 ? D ? ? ,0 ? ? 2 ?

S=S+2i-1

i=i+2 否 i≥8 是

(4) 右图的程序框图输出结果 S= A 20 B 35 (5) 设 F 是椭圆
x
2

C 40

D 45

输出 S

? y

2

? 1 的右焦点，椭圆上的点与点 F 的最大距离为 M，最

4

结束

小距离为 N，则椭圆上与点 F 的距离等于 A ?0 , ? 2 ? B ?0 , ? 1 ?
a sin B
? ?

1 2

( M ? N ) 的点的坐标是
1? ? 2? ? ? 1? ? 2?

C ? 3 ,?
b sin C c

D ? 0,?

(6) 在 ? ABC 中，设命题 p : 是命题 q 的 A 充分不必要条件

?

?

,命题 q : ? ABC 是等边三角形，那么命题 p

sin A

B 必要不充分条件

C 充分必要条件 D 既不充分又不必要条件
An Bn ? 7 n ? 45 n?3

（7）已知等差数列 ?a n ? 和 ?b n ? 的前 n 项和分别为 A n 和 B n ，且 整数的正偶数时，n 的值是 A 1 B 3 或 11 (8) 若对于 x ? ? 0 ,
? ?

，则使得

an bn

为

C 5

D2

? ?

1 p ? ? 9 恒成立，则正实数 p 的取值范围为 ? ，不等式 2 2 2? sin x cos x

A

p?4

B p?4

C p?3

D p?3

（9）已知 m、n 是不同的直线， ? 、β 是不同的平面，下列命题中真命题的个数为 ① ? //β , m ? ? , n ? ? ,则 m // n ；
文周练 24

② ? ? ? , m ? ? , n // ? ,则 m ? n ；
1

③ m ? n ， m // ? ， n // ? ，则 ? ? ? ； ④若 m 与 n 异面直线， m ? ? ， m //β ， n //β ，则 ? //β 。 A 0 B 1 C 2 D 3

（10）设非空集合 S ? { x | m ? x ? l } 满足：当 x ? S 时，有 x 2 ? S 。给出如下三个命题：①若
1 2 1 4 1 2
2 2

m ? 1 ，则 S ? {1} ；②若 m ? ?

，则

? l ? 1 ；③若 l ?

，则 ?

? m ? 0 。其中

正确命题的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3

二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 （11）某单位 200 名职工的年龄分布情况如下图，现要从中抽取 40 名职工作样本，用系统抽样 法， 将全体职工随机按 1－200 编号， 并按编号顺序平均分为 40 组 （1－5 号， 6－10 号…， 196－200 号）.若第 5 组抽出的号码为 22，则第 8 组抽出的号码应是 样方法，则 40 岁以下年龄段应抽取 人. 。若用分层抽

（12）一个几何体的三视图如图所示：其中，正视图中△ABC 的边长是 2 的正三角形，俯视图 为正六边形，那么该几何体的体积为 .

（13）若直线 x ? ky ? 1 ? k ? 0 与圆 ( x ? 2 ) ? ( y ? 2 ) ? 4 相交于 A,B 两点，则弦 AB 长的最
2 2

小值为__________. （14）已知 a , b 是两个非零向量，且 a ? b ? a ? b ，则 a 与 a ? b 的夹角大小为_________. (15) 过点 O (0, 0) 作直线与圆 ( x ? 4 5 ) ? ( y ? 8) ? 169 相交，在弦长均为整数的所有直线
2 2

中，等可能的任取一条直线，则长度超过 14 的概率为

__ .

文周练 24

2

三、解答题：共 6 小题,共 75 分。 (16) (本题满分 14 分) 设 ? ABC 的内角 A , B , C 所对的边长分别为 a , b , c ，且
(2 b ? 3 c ) cos A ? 3 a cos C ．

（1）求角 A 的大小； ? （2）若角 B ? ， BC 边上的中线 AM 的长为 7 ，求 ? ABC 的面积．
6

(17) 某地区有小学 21 所，中学 14 所，大学 7 所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查。 （I）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目。 （II）若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析， （1）列出所有可能的抽取结果； （2）求抽取的 2 所学校均为小学的概率。

文周练 24

3

(18) ( 本 题 满 分 14 分 ) 设 数 列 { a n } 的 前 n 项 和 为 Sn=2n ， {b n } 为 等 比 数 列 ， 且
a 1 ? b1 , b 2 ( a 2 ? a 1 ) ? b1 .

2

（Ⅰ）求数列 { a n } 和 {b n } 的通项公式； （Ⅱ）设 c n ?
an bn

，求数列 { c n } 的前 n 项和

(19) 已知 ? ABC 与 ? DBC 都是边长为
A 作 P A ? 平面 ABC ，且 AP ? 2 ．

2 3 3

的等边三角形，且平面 ABC ? 平面 DBC ，过点
P

（Ⅰ）求证： PA / / 平面 D BC ； （Ⅱ）求直线 P D 与平面 ABC 所成角的大小．

D

B

C

A

文周练 24

4

(20)已知函数 f ( x ) ?

a 3

x ?
3

b 2

x ?a x
2 2

( a ? 0, b ? R ) ．

（Ⅰ）当 a ? 1 时，判断函数 f ? x ? 在 R 上的单调性，并证明你的结论； （Ⅱ）若 x 1 , x 2 是函数 f ? x ? 的两个不同的极值点，且 | x1 ? x 2 |? 取值范围.

2 a

? 1 ，求实数 a , b 的

文周练 24

5

(21) 已知抛物线 C ： x 2 ? 2 py ( p ? 0) 上一点 A ( m , 4) 到其焦点的距离为 （I）求 p 与 m 的值；

17 4

．

（II）设抛物线 C 上一点 P 的横坐标为 t ( t ? 0) ，过 P 的直线交 C 于另一点 Q ，交 x 轴于点
M ，过点 M 作抛物线的切线 MN，N（非原点）为切点，以 MN 为直径作圆 A，若圆

A 恰好经过点 Q，求 t 的最小值． y N

Q\ Q

P O M x

文周练 24

6

金堂中学高 2013 届文科数学周练（24） 一、选择题：本大题共 10 小题 ，每小题 5 分，共 50 分 题号 答案 1 C 2 A 3 C 4 A 5 B 6 C 7 B 8 B 9 A 10 D

二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分 11． 37 , ___20____ 12． 三、解答题： (16) （Ⅰ）因为 (2 b ? 3 c ) cos A ? 所以 (2 sin B ?
2 sin B cos A ?
2 sin B cos A ? 3 a cos C ， 3 sin A cos C

3 2

13．__ 2? _

14．

30 17．

?

23 32

3 sin C ) cos A ?

3 sin A cos C ?

3 sin C cos A 3 sin B ，

3 sin( A ? C ) ， 则 2 sin B cos A ?

所以 cos A ?

3 2

，于是 A ?

?
6

（II）由（Ⅰ）知 A ? B ? 设 AC ? x ，则 M C ?
1 2

?
6

，所以 AC ? BC ， C ?
7.

2? 3

x 又 AM ?

在 ? AMC 中由余弦定理得
AC
2

? MC

2

? 2 AC ? MC cos C ? AM

2

,
3.

x 2 x 1 2 2? 2 ? 2 即 x ? ( ) ? 2 x ? ? cos 120 ? ( 7 ) , 解得 x ? 2 , 故 S ? ABC ? x sin ? 2 2 2 3

(17)

文周练 24

7

（18） （Ⅰ）当 n ? 1时 , a 1 ? S 1 ? 2 ;
当 n ? 2时 , a n ? S n ? S n ? 1 ? 2 n ? 2 ( n ? 1 )
2 2

? 4 n ? 2,

故{an}的通项公式为 a n ? 4 n ? 2 , 即{ a n }是 a 1 ? 2 , 公差 d ? 4 的等差数列. 设{bn}的通项公式为 q , 则 b1 qd ? b1 , d ? 4 ,? q ? 故 b n ? b1 q n ? 1 ? 2 ?
1 4
n ?1

1 4

. 2 4
n ?1

, 即{b n }的通项公式为

bn ?

.

（II）? c ? a n ? 4 n ? 2 ? ( 2 n ? 1) 4 n ?1 , n
bn 2 4
n ?1

? T n ? c 1 ? c 2 ? ? ? c n ? [1 ? 3 ? 4 ? 5 ? 4 ? ? ? ( 2 n ? 1) 4
1 2

n ?1

],

4T n ? [1 ? 4 ? 3 ? 4 ? 5 ? 4 ? ? ? ( 2 n ? 3 ) 4
2 3

n ?1

? ( 2 n ? 1) 4 ]
n

两式相减得
3T n ? ? 1 ? 2 ( 4 ? 4 ? 4 ? ? ? 4
1 2 3 n ?1

) ? ( 2 n ? 1) 4

n

?

1 3

[( 6 n ? 5 ) 4 ? 5 ]
n

? Tn ?

1 9

[( 6 n ? 5 ) 4 ? 5 ].
n

(19) （Ⅰ）取 BC 的中点 O ，连接 D O ，则 DO ? BC 又∵平面 DBC ? 平面 ABC ，∴ DO ? 平面 ABC ． 而 AP ? 平面 ABC ，∴ DO / / PA ，又∵ D O 在平面 D BC 内， ∴ PA / / 平面 D BC ． （Ⅱ）∵ D 在平面 ABC 的射影是 O ， P 在平面 ABC 的射影 是
A，

∴ D P 在平面 ABC 的射影是 OA ，即直线 P D 与 平面 ABC 所成角就是直线 P D 与直线
OA 所成的角，

过 D 作 DM / / OA 交 P A 于 M ， （Ⅰ） 由 可知 DO / / PA ， ∴ DM ? OA ? 1, DO ? M A ? 1 ? PM ? 1
DM PD 2 2

∴ co s ? P D M ?

?

即 ? PDM ? 45 0
文周练 24 8

(20) （Ⅰ）当 a ? 1 时， f ( x ) ?

1 3

x ?
3

b 2

x ? x ，则 f '( x ) ? x ? bx ? 1
2
2

而方程 x 2 ? bx ? 1 ? 0 的判别式 ? ? b 2 ? 4 ? 0 恒成立，所以 f '( x ) ? x 2 ? bx ? 1 ? 0 恒成 立，即函数 f ? x ? 在 R 上的单调递增． （II）∵ f ( x ) ?
a 3 x ?
3

b 2

x ? a x ，∴ f '( x ) ? ax ? bx ? a ．
2 2
2 2

x 1 , x 2 是函数 f ? x ? 的两个不同的极值点， x 1 , x 2 是方程 ax 2 ? bx ? a 2 ? 0 的两个不同的 则

实数根， 即 x1 ? x 2 ? ?
b a , x1 x 2 ? ? a ，且 ? ? b ? 4 a ? ? a
2 2

??b

2

? 4a ? 0
3

∵

| x1 ? x 2 |?
2

2 a
2

?1 ?0 ? a ? 2?

，

即

| x1 ? x | ?
2

2 a

? 1 ? ? x2 ? x

?

? 4x x ?

2 a

?1
3

1

2

? 2 ??4a ? a ? 2a ? 0 ? b? ∴ ? ? ? ? 4 a ? ? 1 ，即 b 2 ? 4 a 3 ? 2 a ? a 2 ，则 ? 2 a ? a? ?2a ? a ? 0 ?
2

?4a 2 ? a ? 2 ? 0 即? ? 0?a? 0?a?2 ?

33 ? 1 8
33 ? 1 ? ? ? 8 ?
1 2

? 又 b 2 ? g ? a ? ? ?4a 3 ? a 2 ? 2a ? 0 ? a ? ? ?
g ' ? a ? ? ? 12 a ? 2 a ? 2 ? 0 ? a ?
2

1 3

,a ? ?

（舍）

当0 ? a ?

1 3

时， g ' ? a ? ? 0 ，函数 g ? a ? 是增函数；
33 ? 1 8

当

1 3

? a?

时， g ' ? a ? ? 0 ，函数 g ? a ? 是减函数；
? 1 ? 11 ?? ? 3 ? 27

当a ?

1 3

时，函数 g ? a ? 取到最大值 g ?
? ? b ? ?? 27 ?

所以 0 ? b ?
2

11

33 9

? ? 33 ? , 0 ? ? ? 0, ?． ? ? 9 ? ? ?

文周练 24

9

（21） （Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程： y ? ?

p 2

，根据抛物线定义
p 2 ? 17 4

点 A (m , 4 ) 到焦点的距离等于它到准线的距离，即 4 ?

，解得 p ?

1 2

? 抛物线方程为： x 2 ? y ，将 A (m , 4 ) 代入抛物线方程，解得 m ? ? 2

（Ⅱ）由题意知，过点 P ( t , t 2 ) 的直线 PQ 斜率存在且不为 0，设其为 k 。
y ? 0, x ? ? t ? kt
2

则

l PQ : y ? t

2

? k (x ? t)

,

M(

? t ? kt
2

,0 )

，当

k

则

k

? y ? t 2 ? k (x ? t) ? 2 2 x ? y 联立方程 ? ，整理得： x ? kx ? t ( k ? t ) ? 0

即： ( x ? t )[ x ? ( k ? t )] ? 0 ，解得 x ? t , 或 x ? k ? t
? Q (k ? t, (k ? t ) )
2

而以 MN 为直径的圆 A 恰好经过点 Q
? QN ? QP ，? 直线 NQ 斜率为

?

1 k
1 ? 2 ? y ? ( k ? t ) ? ? [ x ? ( k ? t )] ? k 2 ? x ? y ?
2

? l NQ : y ? ( k ? t ) ? ?
2

1 k

[ x ? ( k ? t )]

，联立方程
2

整理得： x ?
2

1 k

x?

1 k

( k ? t ) ? ( k ? t ) ? 0 ，即： kx

? x ? ( k ? t )[ k ( k ? t ) ? 1] ? 0

[ kx ? k ( k ? t ) ? 1][ x ? ( k ? t )] ? 0 ，解得：
? N (? k ( k ? t ) ? 1 [ k ( k ? t ) ? 1] , ) 2 k k ，
2

x ? ?

k (k ? t ) ? 1 k

，或 x ? k ? t

[ k ( k ? t ) ? 1] ? K NM ? ? k k (k ? t ) ? 1 k
2

2

?

? t ? kt
2

?

(k

2 2

? kt ? 1)
2

2

k (t ? k

? 1)

k

k切 ? y?

而抛物线在点 N 处切线斜率：
(k
2

x??

k ( k ? t ) ?1 k

?

? 2k (k ? t ) ? 2 k

? ? 2 2 ? MN 是抛物线的切线， k ( t ? k ? 1)

? kt ? 1)

2

? 2k (k ? t ) ? 2 k

， 整理得 k ? tk ? 1 ? 2 t ? 0
2 2

文周练 24

10

? ? ? t ? 4 (1 ? 2 t ) ? 0 ，解得
2 2

t ? ?

2 3 （舍去） ，或

t ?

2

3，

? t min ?

2 3

文周练 24

11