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2011年江西高考文科数学试卷及答案详解WORD完美版 可直接打印(答案超级详细)


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年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷) 2011 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷) 文科数学(试题及答案详解) 文科数学(试题及答案详解)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 第 I 卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 考生注意: 考生注意 1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上,考生要认 真核对答题卡粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准 考证号、姓名是否一致. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用 0.5 毫米 的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上作答,答案无效. 3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回. 参考公式: 参考公式: 样本数据 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),..., ( xn , yn ) 的回归方程: y = a + bx

其中 b =

∑ ( x ? x )( y ? y )
i =1 i i

n

∑( x ? x )
i =1 i

n

, a = y ? bx

锥体体积公式

2

x=

x1 + x2 + ??? + xn y + y2 + ??? + yn ,y = 1 n n

1 V = Sh 3

其 中 S 为底面积, h 为高 第I卷 选择题: 小题, 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若 ( x ? i )i = y + 2i, x, y ∈ R ,则复数 x + yi =( A. ?2 + i 答案:B B. 2 + i C. 1 ? 2i D. 1 + 2i )

Q ( x ? i )i = y + 2i, xi ? i 2 = y + 2i

解析: ∴ y = 1, x = 2 ∴ x + yi = 2 + i 2.若全集 U = {1, 2, 3, 4,5, 6}, M = {2,3}, N = {1, 4} ,则集合 {5, 6} 等于( A. M ∪ N B. M ∩ N C. (CU M ) ∪ (CU N ) D. (CU M ) ∩ (CU N ) )

答案:D 解析:
1 M ∪ N = { ,2,3,4} , M ∩ N = Φ , (CU M ) ∪ (CU N ) = { ,2,3,4,5,6} , 1

(CU M ) ∩ (CU N ) = {5,6}
3.若 f ( x) =
1 A. (? , 0) 2

1 ,则 f ( x) 的定义域为( log 1 (2 x + 1)
2

)

1 1 1 B. (? , +∞) C. (? , 0) ∪ (0, +∞) D. (? , 2) 2 2 2 log 1 (2 x + 1) ≠ 0,∴ 2 x + 1 > 0,2 x + 1 ≠ 1

答案:C

解析:

2

? 1 ? ∴ x ∈ ? ? ,0 ? ∪ (0,+∞ ) ? 2 ?

4.曲线 y = e x 在点 A(0,1)处的切线斜率为( A.1 B.2 C. e D.
1 e



答案:A

解析: y ' = e x , x = 0, e 0 = 1 )

5.设{ an }为等差数列,公差 d = -2, Sn 为其前 n 项和.若 S10 = S11 ,则 a1 =( A.18 答案:B B.20 C.22 D.24
Q S10 = S11 ,∴ a11 = 0
a11 = a1 + 10d ,∴ a1 = 20

解析:

6.观察下列各式: 7 2 = 49, 73 = 343, 7 4 = 2401 , 则 7 2011 的末两位数字为 则 …, ( A.01 答案:B B.43 C.07 D.49
Q f ( x ) = 7 x , f (2 ) = 49, f (3) = 343, f (4 ) = 2401, f (5) = 16807
2011 ? 2 = 2009,∴ f (2011) = * * *343



解析:

7.为了普及环保知识,增强环保意识,某大 学随即抽取 30 名学生参加环保知识测试, 得分(十分制)如图所示,假设得分值的中 位数为 me , 众数为 mo , 平均值为 x , ( 则 A. me = mo = x C. me < mo < x )

B. me = mo < x D. mo < me < x

答案:D 计算可以得知,中位数为 5.5,众数为 5 所以选 D

8.为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取 5 对父子的身高数据如下: 父亲身高 x 174 176 176 176 178 (cm) 儿子身高 y 175 175 176 177 177 (cm) 则 y 对 x 的线性回归方程为 1 D.y = 176 A.y = x-1 B.y = x+1 C.y = 88+ x 2

解析: C

线性回归方程 y = a + bx ,b =

∑ (x ? x )(y
n i =1 i n i =1 i

i

?y
2

)

∑ (x ? x )

,a = y ? b x

9.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如右图所示,则该几何体的左视图为 ( )

答案:D 左视图即是从正左方看,找特殊位置的可视点,连起来就可以得到 答案。

10.如图,一个“凸轮”放置于直角坐标系 X 轴上方,其“底端”落在原点 O 处, 一顶点及 中心 M 在 Y 轴正半轴上,它的外围由以正三角形的顶点为圆心,以正三角形的边 长为半径的三段等弧组成.

今使 “凸轮” X 轴正向滚动前进, 沿 在滚动过程中 “凸轮” 每时每刻都有一个 “最 高点” ,其中心也在不断移动位置,则在“凸轮”滚动一周的过程中,将其“最 高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置,应大致为( )

答案: A 根据中心 M 的位置, 可以知道中心并非是出于最低与最高中间的位 置,而是稍微偏上,随着转动,M 的位置会先变高,当 C 到底时,M 最高,排 除 CD 选项,而对于最高点,当 M 最高时,最高点的高度应该与旋转开始前相 同,因此排除 B ,选 A。 第 II 卷 注意事项: 注意事项: 第Ⅱ卷 2 页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上作答, 答案无效. 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 填空题:本大题共 小题, 11、11. 已知两个单位向量 e1 ,e2 的夹角为 则 b1 ? b2 =___. 答案:-6. 解析:要求 b1 * b2 ,只需将题目已知条件带入,得:
b1 * b2 =( e1 -2 e2 )*(3 e1 +4 e2 )= 3 e1 ? 2 e1 ? e2 ? 8 e2
→ 2 → →
→ → o

π
3

, 若向量 b1 = e1 ? 2e2 ,b2 = 3e1 + 4e2 ,

















→ 2





→ 2

→ 1 1 其中 e1 =1, e1 ? e2 = = e1 ? e2 ? cos 60 =1*1* = , e2 = 1 , 2 2

2

带入,原式=3*1—2*

1 —8*1=—6 2

12.若双曲线

y 2 x2 ? = 1 的离心率 e=2,则 m=____. 16 m y2 x2 ? = 1 知, a 2 b2

答案:48.

解析:根据双曲线方程:

a 2 = 16, b 2 = m ,并在双曲线中有: a 2 + b 2 = c 2 ,∴ 离心率 e=
c c2 16 + m =2 ? 2 = 4 = , a a 16

? m=48 13.下图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是____.

答案:27. 解析:由框图的顺序,s=0,n=1,s=(s+n)n=(0+1)*1=1,n=n+1=2,依次循环 S=(1+2)*2=6,n=3,注意此刻 3>3 仍然是否,所以还 要循环一次 s=(6+3)*3=27,n=4,此刻输出,s=27. 14.已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若 p ( 4, y ) 是角 θ 终边上 一点,且 sin θ = ?
2 5 ,则 y=_______. 5

答案:—8. 解析:根据正弦值为负数,判断角在第三、四象限,再加上横坐标 为正,断定该角为第四象限角。 sin θ = 对边 y 2 5 = =? ? y = ?8 斜边 5 16 + y 2

15.对于 x ∈ R ,不等式 x + 10 ? x ? 2 ≥ 8 的解集为_______ 答案: {x x ≥ 0} 解析:两种方法,方法一:分三段, 当 x<-10 时, 当 ? 10 ≤ x ≤ 2 时, 当 x>2 时,
∴ 综上:x ≥ 0 -x-10+x-2 ≥ 8 ,
x+10-x+2 ≥ 8 , x+10-x+2 ≥ 8 ,

φ
0≤ x≤2 x>2

方法二:用绝对值的几何意义,可以看成到两点-10 和 2 的距离差大于等于 8 的 所有点的集合, 画出数轴线, 找到 0 到-10 的距离为 d1 = 10, 2 的距离为 d 2 = 2, 到 并当 x 往右移动, 距离差会大于 8, 所以满足条件的 x 的范围是 x ≥ 0 . d1 ? d 2 = 8 , 小题, 解答应写出文字说明、 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 解答题: 算步骤. 算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别. 公司准备了两种不同 的饮料共 5 杯,其颜色完全相同,并且其中 3 杯为 A 饮料,另外 2 杯为 B 饮料,公司要 求此员工

一一品尝后,从 5 杯饮料中选出 3 杯 A 饮料.若该员工 3 杯都选对,则评为 优秀;若 3 杯选对 2 杯,则评为良好;否则评为及格.假设此人对 A 和 B 两种饮料没有 鉴别能力. (1)求此人被评为优秀的概率; (2)求此人被评为良好及以上的概率.
3 C3 1 解: (1) 员工选择的所有种类为 C , 3 杯均选中共有 C 种, 而 故概率为 3 = . C5 10
3 5 3 3

3 3 (2) 员工选择的所有种类为 C5 , 良好以上有两种可能 : 杯均选中共有 C3 3

种;
1 :3 杯选中 2 杯共有 C32C2 种。故概率为 3 1 C3 + C32C2 7 = . 3 C5 10

解析:本题考查的主要知识是排列组合与概率知识的结合,简单题。 17.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,已知 3a cos A = c cos B + b cos C . (1)求 cos A 的值; (2)若 a = 1, cos B + cos C =
2 3 ,求边 c 的值. 3

解: 1)由 3a cos A = c cos B + b cos C 正弦定理得: (
3 sin A cos A = sin C cos B + sin B cos C = sin( B + C )
1 及: 3 sin A cos A = sin A 所以 cos A = 。 3

(2)由 cos B + cos C =

2 3 3 2 3 展开易得: 3 6 3

cos(π ? A ? C ) + cos C =

cos C + 2 sin C = 3 ? sin C =

正弦定理:

a c 3 = ?c= sin A sin C 2

【解析】本题考查的主要知识三角函数及解三角形问题,题目偏难。第一问主要 涉及到正弦

定理、诱导公式及三角形内角和为 180°这两个知识点的考查属于一般 难度;第二 问同样是对正弦定理和诱导公式的考查但形势更为复杂。

18.(本小题满分 12 分) 如图,在 ?ABC中,∠B = ,AB = BC = 2, P为AB边上一动点,PD//BC 交 AC 2
于 点 D,现将 ?PDA沿PD翻折至?PDA' , 使平面PDA ' ⊥ 平面PBCD. (1)当棱锥 A' ? PBCD 的体积最大时,求 PA 的长; (2)若点 P 为 AB 的中点,E 为 A'C的中点,求证:A ' B ⊥ DE.

π

解: (1)设 PA = x ,则 V A′

PBCD

1 1 x2 = PA ? S 底面PDCB = x(2 ? ) 3 3 x

令 f ( x) =

1 x2 2 x x3 x(2 ? ) = ? , ( x > 0) 3 2 3 6 2 x2 ? 3 2

则 f ′( x) =

x f ′( x) f ( x)

(0,

2 3 ) 3
+

2 3 3
0

(

2 3 ,+∞) 3
?

单调递增

极大值

单调递减

由上表易知:当 PA = x =

2 3 时,有 VA′ ^ 取最大值。 PBCD 3

证明: (2)作 A′B 得中点 F,连接 EF、FP 1 由已知得: EF // BC //PD ? ED // FP 2 ?A′PB 为等腰直角三角形, A′B ⊥ PF

所以 A′B ⊥ DE .

19.(本小题满分 12 分) 已 知 过 抛 物 线 y 2 = 2 px( p > 0 ) 的 焦 点 , 斜 率 为 2 2 的 直 线 交 抛 物 线 于

A ( x1 , y2 ) , B ( x2 , y2 ) ( x1 < x2 )两点,且 AB = 9 .
(1)求该抛物线的方程; (2) O 为坐标原点, C 为抛物线上一点,若 OC = OA + λ OB ,求 λ 的值. 解析: 1)直线 AB 的方程是 (
p y = 2 2 ( x ? ), 与y 2 = 2px联立,从而有4 x 2 ? 5 px + p 2 = 0, 2

所以: x1 + x2 =

5p ,由抛物线定义得: AB = x1 + x2 + p = 9 ,所以 p=4, 4

抛物线方程为: y 2 = 8 x (2)、 由
2 2 p=4 , 4 x ? 5 px + p = 0, 化 简 得 x 2 ? 5 x + 4 = 0 , 从 而

x1 = 1, x2 = 4, y1 = ?2 2 , y2 = 4 2 ,从而 A:(1, ? 2 2 ),B(4, 4 2 )

设 OC = ( x3, y3 ) = (1,?2 2 ) + λ (4,4 2 ) = (1 + 4λ ,?2 2 + 4 2λ ) , 又 y3 = 8 x3 , 即
2



[2

2 (2λ ? 1) = 8(4 λ + 1 ) ,即 (2λ ? 1) 2 = 4λ + 1 ,解得 λ = 0, 或λ = 2
2

]

20.(本小题满分 13 分) 1 设 f ( x ) = x 3 + mx 2 + nx . 3 (1)如果 g ( x ) = f ′( x ) ? 2 x ? 3 在 x = ?2 处取得最小值 ? 5 ,求 f ( x ) 的解析式; (2)如果 m + n < 10(m, n ∈ N + ) , f ( x ) 的单调递减区间的长度是正整数,试求
m 和n

的值.(注:区间 (a, b ) 的长度为 b ? a )
.解: 1)已知 f ( x ) = ( 1 3 x + mx 2 + nx ,∴ f ' (x ) = x 2 + 2mx + n 3

又Q g (x ) = f ' ( x ) ? 2 x ? 3 = x 2 + (2m ? 2 )x + n ? 3 在 x = ?2 处取极值, 则 g ' (? 2 ) = 2(? 2 ) + (2m ? 2 ) = 0 ? m = 3 ,又在 x = ?2 处取最小值-5. 则 g (? 2 ) = (? 2 ) + (? 2 ) × 4 + n ? 3 = ?5 ? n = 2
2

∴ f (x ) =

1 3 x + 3x 2 + 2 x 3 1 3 x + mx 2 + nx 单调递减,则∴ f ' (x ) = x 2 + 2mx + n < 0 3

(2)要使 f ( x ) =

又递减区间长度是正整数,所以 f ' ( x ) = x 2 + 2mx + n = 0 两根设做 a,b。即有:
b-a 为区间长度。又 b ? a =

(a + b )2 ? 4ab =

4m 2 ? 4n = 2 m 2 ? n (m, n ∈ N + )

又 b-a 为正整数,且 m+n<10,所以 m=2,n=3 或, m = 3, n = 5 符合。

21.(本小题满分 14 分) ( 1 ) 已 知 两 个 等 比 数 列

{an }, {bn }







a1 = a (a > 0 ), b1 ? a1 = 1, b2 ? a2 = 2, b3 ? a3 = 3 ,

若数列 {an }唯一,求 a 的值; (2)是否存在两个等比数列 {an }, {bn },使得 b1 ? a1 , b2 ? a2 , b3 ? a3 , b4 ? a4 成公差
不为0
?

的等差数列?若存在,求 {an }, {bn } 的通项公式;若 不 存在,说明理由.
?

解: 1){a n }要唯一,∴ 当公比 q1 ≠ 0 时,由 b1 = 1 + a = 2, b2 = 2 + a 2 , b3 = 3 + a 3 且 (

b2 = b1b3 ? (2 + aq1 )2 = (1 + a ) 3 + aq12 ? aq12 ? 4aq1 + 3a ? 1 = 0 ,
2

(

)

Q a > 0 ,∴ aq1 ? 4aq1 + 3a ? 1 = 0 最少有一个根(有两个根时,保证仅有一个正
2

根)
∴ (4a ) ? 4a (3a ? 1) ≥ 0 ? 4a (a + 1) ≥ 0 ,此时满足条件的 a 有无数多个,不符合。
2

∴ 当公比 q1 = 0 时,等比数列 {a n }首项为 a,其余各项均为常数 0,唯一,此时由

(2 + aq1 )2 = (1 + a )(3 + aq12 ) ? aq12 ? 4aq1 + 3a ? 1 = 0 ,可推得 3a ? 1 = 0, a = 1 符合
3

1 综上: a = 。 3 (2) 假设存在这样的等比数列 {a n }, {bn }, 公比分别为q 1,q 2 , 则由等差数列的性质 可 得 :

(b2 ? a2 ) + (b3 ? a3 ) = (b1 ? a1 ) + (b4 ? a4 )











(b1 ? b3 )(q2 ? 1) = (a1 ? a3 )(q1 ? 1)
要使该式成立,则 q2 ? 1 = q1 ? 1 = 0 ? q1 = q2 = 1 或 b1 = b3 = a1 = a 3 = 0 此时数列

b2 ? a2 , b3 ? a3 公差为 0 与题意不符,所以不存在这样的等比数列 {a n }, {bn }。


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