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高三数学第二轮专题复习系列(5)-

平面向量
一、本章知识结构:

二、高考要求 1、理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念。2、掌握向量的加法和减法的运算法 则及运算律。3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律,理解两个向量共线的充要条件。4、了解平面 向量基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算。5、掌握平面向量的数量积及其 几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件。6、 掌握线段的定比分点和中点坐标公式,并且能熟练运用;掌握平移公式。7、掌握正、余弦定理,并能初 步运用它们解斜三角形。8、通过解三角形的应用的教学,继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。 三、热点分析 对本章内容的考查主要分以下三类: 1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大,用以解决有关长度、夹角、垂 直、判断多边形形状等问题. 2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强,难度大,以解析几何中的常规题为主. 3.向量在空间中的应用(在 B 类教材中).在空间坐标系下,通过向量的坐标的表示,运用计算的方法 研究三维空间几何图形的性质. 在复习过程中,抓住源于课本,高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题,即源于课 本.因此,掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题,有关平面向量部分突出考查了向量 的基本运算。对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容,作为学习解析几何的基本工具, 在相关内容中会进行考查。本章的另一部分是解斜三角形,它是考查的重点。总而言之,平面向量这一章 的学习应立足基础,强化运算,重视应用。考查的重点是基础知识和基本技能。 四、复习建议 由于本章知识分向量与解斜三角形两部分,所以应用本章知识解决的问题也分为两类:一类是根据 向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算,并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问 题;另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形,并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间 的距离问题。 在解决关于向量问题时,一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换,正确地进行向量的 各种运算,进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识,并体会用向量处理问题的优越性。二是

向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想,所以要通过向量法和坐标法的运用,进一步体 会数形结合思想在解决数学问题上的作用。 在解决解斜三角形问题时,一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用,另一方面要体会解斜三角 形是重要的测量手段,通过学习提高解决实际问题的能力。 五、典型例题

平面向量
【例1】 在下列各命题中为真命题的是( ①若 a =(x1,y1)、 b =(x2,y2),则 a ? b =x1y1+x2y2 ②若 A(x1,y1)、B(x2,y2),则| AB |=
( x1 ? x 2 )
2

)

? ( y1 ? y 2 )

2

③若 a =(x1,y1)、 b =(x2,y2),则 a ? b =0 ? x1x2+y1y2=0 ④若 a =(x1,y1)、 b =(x2,y2),则 a ⊥ b ? x1x2+y1y2=0 A、①② B、②③ C、③④ D、①④

解:根据向量数量积的坐标表示;若 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则 a ? b =x1x2+y1y2,对照命题(1)的结论可 知,它是一个假命题、 于是对照选择支的结论、可以排除(A)与(D),而在(B)与(C)中均含有(3)、故不必对(3)进行判定,它一 定是正确的、对命题(2)而言,它就是两点间距离公式,故它是真命题,这样就以排除了(C),应选择(B)、 说明:对于命题(3)而言,由于 a ?b =0 ? a = 0 或 b = 0 或 a ⊥ b ? x1x2+y1y2=0,故它是一个真命题、 而对于命题(4)来讲, a ⊥ b ? x1x2+y1y2=0、但反过来,当 x1x2+y1y2=0 时,可以是 x1=y1=0,即 a = 0 , 而我们的教科书并没有对零向量是否与其它向量垂直作出规定,因此 x1x2+y1y2=0 ? a ⊥ b ),所以命题(4) ? 是个假命题、 【例2】 已知 a =(- 3 ,-1), b =(1, A、30° B、60° C、120°
3

),那么 a , b 的夹角θ =( D、150°

)

解: a ? b =(- 3 ,-1)?(1, 3 )=-2 3 | a |= | b |= ∴cosθ =
(? 3)
2

? ( ? 1)

2

=2

1 ? ( 3)
a?b a ? b

2

2

=2 =?
3 2

=

? 2 3 2?2

【例3】 已知 a =(2,1), b =(-1,3),若存在向量 c 使得:a ?c =4, b ?c =-9,试求向量 c 的坐标、

解:设 c =(x,y),则由 a ? c =4 可得: 2x+y=4;又由 b ? c =-9 可得:-x+3y=-9 于是有: ?
?2 x ? y ? 4 ?? x ? 3 y ? 9

(1 ) (2)

由(1)+2(2)得 7y=-14,∴y=-2,将它代入(1)可得:x=3 ∴ c =(3,-2)、 说明:已知两向量 a , b 可以求出它们的数量积 a ? b ,但是反过来,若已知向量 a 及数量积 a ? b , 却不能确定 b 、 【例4】 求向量 a =(1,2)在向量 b =(2,-2)方向上的投影、 解:设向量 a 与 b 的夹角θ 、 有 cosθ =
a?b a ? b

=
1
2

1 ? 2 ? 2 ? (?2) ? 2
2

=-
2

10 10

2

2

? (?2)

∴ a 在 b 方向上的投影=| a |cosθ = 5 ?(-

10 10

)=-

2 2

【例5】 已知△ABC 的顶点分别为 A(2,1),B(3,2),C(-3,-1),BC 边上的高 AD,求 AD 及 点 D 的坐标、 解:设点 D 的坐标为(x,y) ∵AD 是边 BC 上的高, ∴AD⊥BC,∴ AD ⊥ BC 又∵C、B、D 三点共线, ∴ BC ∥ BD 又 AD =(x-2,y-1), BC =(-6,-3)
BD =(x-3,y-2)

∴?

? ? 6 ( x ? 2 ) ? 3 ( y ? 1) ? 0 ? ? 6 ( y ? 2 ) ? 3( x ? 3) ? 0

解方程组,得 x=

9 5 9 5

,y= ,

7 5 7 5

∴点 D 的坐标为(

), AD 的坐标为(- ,
5

1

2 5

)

【例6】 设向量 a 、 b 满足:| a |=| b |=1,且 a + b =(1,0),求 a , b 、 解:∵| a |=| b |=1, ∴可设 a =(cosα ,sinα ), b =(cosβ ,sinβ )、 ∵ a + b =(cosα +cosβ ,sinα +sinβ )=(1,0),
? cos α ? cos β ? 1 ? ? (1 ) ? ? sin α ? sin β ? 0 ? ? ( 2 )

由(1)得:cosα =1-cosβ ??(3) 由(2)得:sinα =-sinβ ??(4) ∴cosα =1-cosβ = ∴sinα =±
3 2

1 2
3 2

,sinβ = ?

? ?1 3 ? ? ?a ? ? , ?2 2 ? ? ? ? ? ? ?1 3 ? ? ? ? ?b ? ? ,? 2 2 ? ? ? ? ?

? ?1 3 ? a ? ? ,? ?2 2 ? ? ? 或? ?1 3 ? ? ? ? ?b ? ? , 2 2 ? ? ? ? ?

? ? ? ?

【例7】 对于向量的集合 A={ v =(x,y)|x2+y2≤1}中的任意两个向量 v 1 、 v 2 与两个非负实数α 、 β ;求证:向量α v 1 +β v 2 的大小不超过α +β 、 证明:设 v 1 =(x1,y1), v 2 =(x2,y2) 根据已知条件有:x21+y21≤1,x22+y22≤1 又因为|α v 1 +β v 2 |= =
α ( x1
2 2

( α x1 ? β x 2 ) ( α y1 ? β y 2 )
2

2

2

? y1 ) ? β ( x 2
2

2

2

2

? y 2 ) ? 2 αβ ( x 1 x 2 ? y 1 y 2 )
2

其中 x1x2+y1y2≤ x 1 ? y 1 所以|α v 1 +β v 2 |≤

x 2 ? y 2 ≤1
2 2

α

2



2

? 2 αβ

=|α +β |=α +β
1 2

【例8】 已知梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠CDA=∠DAB=90°,CD=DA= 求证:AC⊥BC 证明:以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系、如图,设 AD=1 则 A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,1) ∴ B C =(-1,1), A C =(1,1)
???? ????

AB、

???? ???? B C ? A C =-1?1+1?1=0

∴BC⊥AC、 【例9】 已知 A(0,a),B(0,b),(0<a<b),在 x 轴的正半轴上求点 C,使∠ACB 最大,并求出最大 值、 解,设 C(x,0)(x>0) 则 CA =(-x,a), CB =(-x,b) 则 CA ? CB =x2+ab、 cos∠ACB= 令 t=x2+ab 故 cos∠ACB=
? ab ( a ? b )
2

CA ? CB CA ? CB

=
x
2

x

2 2

? ab x
2

? a

?b

2

1 1 t
2

? (a ? b)

2

?

1 t

?1

当 =
t

1

1 2 ab

即 t=2ab 时,cos∠ACB 最大值为

2

ab

a ? b


2 ab

当 C 的坐标为( ab ,0)时,∠ACB 最大值为 arccos

a ? b



【例10】 如图,四边形 ABCD 是正方形,P 是对角线 BD 上的一点,PECF 是矩形,用向量法证 明 (1)PA=EF (2)PA⊥EF

证明:建立如图所示坐标系,设正方形边长为 1, | OP |=λ ,则 A(0,1),P( λ ,0) ∴ PA =(-
2 2 2 2

λ ,

2 2

λ ),E(1,

2 2

λ ),F(

2 2

λ ,1-
2 2

2 2

λ ), EF =(
2 2

2 2

λ -1,-
2

2 2

λ )

(1)| PA |2=(- | EF |2=(
2 2

λ )2+(1-
2 2

λ )2=λ 2-

λ +1

λ -1)2+(-

λ )2=λ 2- 2 λ +1

∴| PA |2=| EF |2,故 PA=EF (2) PA ? EF =(- ∴ PA ⊥ EF
2 2

λ )(

2 2

λ -1)+(1-

2 2

λ )(-

2 2

λ )=0

∴PA⊥EF、

【例11】 已知 a ? (1, 0 ), b ? ( 2 ,1). ① 求 | a ? 3b | ; ②当 k 为何实数时,k a ? b 与 a ? 3 b 平行, 平行时它们是同向还是反向? 解:① a ? 3 b = (1,0) + 3(2,1) = ( 7,3) , ∴ | a ? 3 b | = ②k a ? b = k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1). 设 k a ? b =λ ( a ? 3 b ),即(k-2,-1)= λ (7,3),
1 ? ?k ? ? ? 3 ? ? 1 ?λ ? ? ? 3 ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

7

2

?3

2

=

58

.

?

?

?

?

?

?

?k ? 2 ? 7λ ∴? ?? 1 ? 3λ

.

故 k=

?

1 3

时, 它们反向平行.
? ?
?

【例12】 已知 | a |? 2 , | b |? 1, a 与 b 的夹角为 解: a ? b ? | a || b | cos ∵ 2 a ? k b 与 a ? b 垂直, ∴( 2 a ? k b ) ? ( a ? b ) = 0 , ∴2 a ? 2 a ? b ? k a b ? k b
?2 ? ? ?? ?
2

?

π 3

,若向量 2 a ? k b 与 a ? b 垂直, 求 k.

?

?

?

?

?

?

?

?

π 3

=2× 1× =1.
2

1

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? 0

?

k = - 5.

【例13】 如果△ABC 的三边 a、b、c 满足 b2 + c 2 = 5a2,BE、CF 分别为 AC 边与 AB 上的中线, 求 证:BE⊥CF. 解:
??? ? ? ? ? ? 1 ??? ???? ??? 1 ??? ??? B E ? ( B A ? B C ), C F ? ( C B ? C A ) 2 2 ??? ??? ? ? ???? ???? ???? ???? ???? 2 ??? ??? ? ? ? 1 ? B E ? C F ? ( ? B A ?B C ? A B ? A C ? B C ? C B ? C A ) ??? ? ??? ? 4 ∴ BE ⊥ C F , ? ? ???? 2 1 ??? 2 ??? 2 ??? 2 ? ? ? 1 1 ??? 2 ???? 2 ???? 2 1 ??? 2 ???? 2 ???? 2 ? [ ? ( B A ? B C ? A C ) ? ( A B ? A C ? B C ) ? B C ? ( C A ? C B ? B A )] 4 2 2 2 ??? 2 ???? 2 ? ???? 2 1 1 2 2 2 ? ( A B ? A C ? 5 B C ) ? (b ? c ? 5 a ) ? 0 , 8 8

即 BE⊥CF . 【例14】 是否存在 4 个平面向量,两两不共线,其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂 直? 解:如图所示,在正△ABC 中,O 为其内心,P 为圆周上一点,

满足 PA , PB , PC , PO 两两不共线,有 ( PA + PB )?( PC + PO ) =( PO + OA + PO + OB )?( PO + OC + PO ) =(2 PO + OA + OB )?(2 PO + OC ) =(2 PO - OC )?(2 PO + OC ) =4 PO 2- OC
2

=4 PO 2- OC 2=0 有( PA + PB )与( PC + PO )垂直、 同理证其他情况、从而 PA , PB , PC , PO 满足题意、故存在这样 4 个平面向量、

平面向量的综合应用
1.利用向量的坐标运算,解决两直线的夹角,判定两直线平行、垂直问题 【例1】 已知向量 OP 1 , OP 2 , OP 3 满足条件 OP 1 ? OP 2 ? OP 3 ? 0 , OP 1 ? OP 2 ? OP 3 ? 1 ,求证:
? P1 P2 P3 是正三角形

解:令 O 为坐标原点,可设 P1 ? cos ? 1 , sin ? 1 ?, P2 ? cos ? 2 , sin ? 2 ?, P3 ? cos ? 3 , sin ? 3 ? 由 OP 1 ? OP 2 ? ? OP 3 ,即 ?cos θ 1 , sin θ 1 ? ? ?cos θ 2 , sin θ 2 ? ? ? ? cos θ 3 ? sin θ 3 ?
? cos θ 1 ? cos θ 2 ? ? cos θ 3 ? ? sin θ 1 ? sin θ 2 ? ? sin θ 3

① ②
1 2
0

两式平方和为 1 ? 2 cos ?θ 1 ? θ 2 ? ? 1 ? 1 , cos ?θ 1 ? θ 2 ? ? ?
0



由此可知 ? 1 ? ? 2 的最小正角为 120 ,即 O P1 与 O P2 的夹角为 120 , 同理可得 OP 1 与 OP 3 的夹角为 120 , O P2 与 O P3 的夹角为 120 , 这说明 P1 , P2 , P3 三点均匀分部在一个单位圆上, 所以 ? P1 P2 P3 为等腰三角形. 【例2】 求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的度数 解:如图,分别以等腰直角三角形的两直角边为 x 轴、 y
0

????

????

????

????

0

轴建立直角坐标系,设 A ? 2 a , 0 ?, B ? 0 , 2 a ? ,则 D ? a , 0 ?, C ? 0 , a ? , 从而可求: AC ? ? ? 2 a , a ?, BD ? ? a , ? 2 a ? ,
cos θ ? AC ? BD AC BD ?

??

2 a , a ? ? ?a , ? 2 a ? 5a ? 5a

=

? 4a 5a
2

2

? ?

4 5

.

? 4? ? θ ? arccos ? ? ? ? 5?

.

2.利用向量的坐标运算,解决有关线段的长度问题 【例3】 已知 ? ABC ,AD 为中线,求证 AD
2

?

1 2

? AB

2

? AC

2

? ? ? BC ?

? ? 2 ? ?

2

证明:以 B 为坐标原点,以 BC 所在的直线为 x 轴建立如图 2 直角坐标系, 设 A ? a , b ?, C ? c , 0 ? , D ?
?c ? ,0 ? , ?2 ?
c
2



2

AD

?c ? ? ? ? a? ?2 ?

2

? ?0 ? b ?

2

?

? ac ? a

2

?b

2



4

1 ? ? AB 2 ?

2

? AC

2

? BC ? ? ? ? ??? ? ? ? 2 ? ? ?

2

.

=

2 2 1 ? 2 c ? c 2 2 2 2 2 ? a ? b ? ?c ? a ? ? b ? ? ? a ? b ? ac ? 2 ? 4 ? 4



从而 AD

2

?

1 ? ? AB 2?

2

2

? AC

? BC ? ? ? ? ??? ? ? ? 2 ? ? ?
2

2



AD

2

?

1 2

? AB

2

? AC

2

? ? ? BC ?

? ? 2 ? ?

.

3.利用向量的坐标运算,用已知向量表示未知向量 【例4】 已知点 O 是 ? ABC 内的一点,
? AOB ? 150 , ? BOC ? 90 ,
0 0

设 OA ? a , OB ? b , OC ? c , 且 a ? 2 , b ? 1, c ? 3 , 试用 a , 和 b 表示 c .

解:以 O 为原点,OC,OB 所在的直线为 x 轴和 y 轴建立如图 3 所示的坐标系. 由 OA=2, ? AOx ? 120 ,所以 A ?2 cos 120 , 2 sin 120
0

0

0

?, 即 A ?- 1, ,3 ? ,

易求 B ? 0, 1 ?, C ?3,0 ? ,设

???? ??? ? ???? O A ? ? 1 O B ? ? 2 O C , 即 -1 , 3 ? ? 1 ? 0 , ? ? ? 2 ? 3 ,0 ? , -1

?

?

?? ? - 3 ? -1 ? 3 ? 2 ? 1 ? , ? ? 1 . ? 3 ? - ?1 ? ? 2 ? ? 3 ?
? a ? ? ? 1? 3b ? c . 3

【例5】 如图,
??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ???? ???? ???? 0 0 O A ? O B ? 1, O A与 O B的 夹 角 为 1 2 0 , C 与 O A的 夹 角 为 3 0 , O C ? 5 , O

O 用 O A, B 表示 O C .

???? ??? ?

????

解:以 O 为坐标原点,以 OA 所在的直线为 x 轴,建立如图所示的直角坐标系,则 A ?1, 0 ? ,

由 ? COA ? 30 ,所以 C 5cos30
0

?

0

, 5 sin 30

0

?, 即 C ? 5 ?
?

?

3 2

5 , 2

? ?, ? ?

? 1 3 ? ? 同理可求 B ? ? , ? 2 2 ? ? ?

???? ??? ? ??? ? ?5 3 5? ? 1 3 ? O C ? ?1 O A ? ? 2 O B , 即 ? , ? ? ?1 ?1 , ? ? ? 2 ? - , 0 ? 2 ? ? 2 2 ? ? 2? ? ? ?
? ?5 3 10 3 1 ? λ1 - λ 2 ?λ1 ? ? ? 2 ? 3 2 , . ? ? 3 5 3 ?5 ? ? λ2 λ ? ?2 ? 2 2 3 ? ?
? OC ? 10 3 3 OA ? 5 3 3 OB

.

4.利用向量的数量积解决两直线垂直问题 【例6】 如图, 已知平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 的底面? ABCD 是 菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD. (1)求证:C1C⊥BD. (2)当
CD CC
1

的值为多少时,能使 A1C⊥平面 C1BD?请给出证明.
???? ???? ??? ?
???? ?

(1)证明:设 CD =a, C D =b, CC 1 =c,依题意,|a|=|b|, C D 、 C B 、? C C 1 中两两所成夹角为θ ,于是
BD ? CD ? DB

=a-b, CC 1 ? BD =c(a-b)=c?a-c?b=|c|?|a|cosθ -|c|?|b|cosθ =0,∴C1C⊥BD.

(2)解:若使 A1C⊥平面 C1BD,只须证 A1C⊥BD,A1C⊥DC1, 由 CA 1 ? C 1 D ? ( CA ? AA 1 ) ? ( CD ? CC 1 ) =(a+b+c)?(a-c)=|a|2+a?b-b?c-|c|2=|a|2-|c|2+|b|?|a|cosθ -|b|?|c|?cosθ =0,得 当|a|=|c|时,A1C⊥DC1,同理可证当|a|=|c|时,A1C⊥BD, ∴
CD CC
1

=1 时,A1C⊥平面 C1BD.

【例7】 如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1,底面△ABC 中,CA=CB=1, ∠BCA=90°,AA1=2,M、N 分别是 A1B1、A1A 的中点. (1)求 BN 的长; (2)求 cos< BA 1 , CB 1 >的值; (3)求证:A1B⊥C1M. 解:(1)如图,以 C 为原点建立空间直角坐标系 O-xyz. 依题意得:B(0,1,0),N(1,0,1) ∴| BN |= (1 ? 0 ) 2 ? ( 0 ? 1 ) 2 ? (1 ? 0 ) 2 ?
3

.

(2)解:依题意得:A1(1,0,2),C(0,0,0),B1(0,1,2). ∴ BA 1 = (1, ? 1, 2 ), CB 1 =(0,1,2)
BA 1 ? CB 1

=1?0+(-1)?1+2?2=3
6

| BA 1 |= (1 ? 0 ) 2 ? ( 0 ? 1 ) 2 ? ( 2 ? 0 ) 2 ?
| CB 1 |? ( 0 ? 0 ) ? (1 ? 0 ) ? ( 2 ? 0 )
2 2 2

?

5

? cos ? BA 1 , CB

1

??

BA 1 ? CB

1 1

| BC 1 | ? | CB

? |

3 6? 5

?

30 10

.

(3)证明:依题意得:C1(0,0,2),M( , , 2 )
2 2 C1M ? ( 1 1 , , 0 ), A1 B ? ( ? 1,1, ? 2 ) 2 2 1 2 ? 1? 1 2 ? ( ? 2 ) ? 0 ? 0 ,? A 1 B ? C 1 M ,

1 1

∴ A1 B ? C 1 M ? ( ? 1 ) ? ∴A1B⊥C1M.

5.利用向量的数量积解决有关距离的问题,距离问题包括点到点的距离,点的线的距离,点到面的距 离,线到线的距离,线到面的距离,面到面的距离.

【例8】 求平面内两点 A ( x1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) 间的距离公式 解:设点 A ( x1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,? AB ? ( x 2 ? x 1 , y 2 ? y 1 )
?| AB | ? ( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y1 )
2 2

,而 | AB | ? | AB |
( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y1 )
2 2

? 点 A 与点 B 之间的距离为: | AB | ?

6.利用向量的数量积解决线与线的夹角及面与面的夹角问题. 【例9】 证明:
cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

证明:在单位圆 O 上任取两点 A , B ,以 Ox 为始边,以
OA , OB 为 终 边 的 角 分 别 为 ? , ? , 则 A 点 坐 标 为
(cos ? , sin ? ), B 点坐标为 (cos ? , sin ? ) ;

则向量 OA ? (cos ? , sin ? ), OB ? (cos ? , sin ? ) ,它们的夹角为 ? ? ? ,
| OA | ? | OB | ? 1, OA ? OB ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ,由向量夹角公式得:
OA ? OB | OA || OB |

cos( α ? β ) ?

? cos

? cos ? ? sin ? sin ? ,从而得证.

注:用同样的方法可证明 cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 7.利用向量的数量积解决有关不等式、最值问题. 【例10】 证明柯西不等式 ( x1 ? y 1 ) ? ( x 2 ? y 2 ) ? ( x1 x 2 ? y 1 y 2 ) 证明:令 a ? ( x1 , y 1 ), b ? ( x 2 , y 2 ) (1) 当 a ? 0 或 b ? 0 时, a ? b ? x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 ,结论显然成立; (2) 当 a ? 0 且 b ? 0 时,令 ? 为 a , b 的夹角,则 ? ? [ 0 , ? ]
? ? ? ?
? ?
? ?
2 2 2 2 2

?

?

?

?

? ?

?

? ? ? ? a ? b ? x1 x 2 ? y 1 y 2 ? | a || b | cos ? . 又? | cos ? |? 1

? ? ? ? ? ? ?| a ? b |? | a || b | (当且仅当 a // b 时等号成立)
?| x1 x 2 ? y 1 y 2 |? x1 ? y 1 ?
2 2

2

2

x2 ? y2

2

2

?

( x1 ? y 1 ) ? ( x 2 ? y 2 ) ? ( x1 x 2 ? y 1 y 2 ) .(当且仅当
2

2

2

x1 y1

?

x2 y2

时等号成立)

【例11】 求 y ? sin

2

x ? 2 sin x cos x ? 3 cos

2

x 的最值

解:原函数可变为 y ? 2 ? sin 2 x ? cos 2 x , 所以只须求 y ? ? sin 2 x ? cos 2 x 的最值即可, 构造 a ? ?sin 2 x , cos 2 x ?, b ? ?1,1? , 那么 sin 2 x ? cos 2 x ? a ? b ? a b ? 故 y max ? 2 ?
2 , y min ? 2 ? 2 .

2 .

【例12】 三角形 ABC 中,A(5,-1)、B(-1,7)、C(1,2),求:(1)BC 边上的中线 AM 的长;(2)∠CAB 的平分线 AD 的长;(3)cosABC 的值. 解:(1)点 M 的坐标为 xM=
?1?1 2
9 2
2

? 0; y M ?

7?2 2

?

9 2

,? M ( 0 ,

9 2

)

?| AM |?

(5 ? 0 ) ? ( ? 1 ?

2

)

?

221 2

.

( 2 ) | AB |?

( 5 ? 1) ? ( ? 1 ? 7 )
2

2

? 10 , | AC |?

( 5 ? 1) ? ( ? 1 ? 2 )
2

2

?5

D 点分 BC 的比为 2. ∴xD=
?1? 2 ?1 1? 2
(5 ? 1 3

?

1 3

, yD ?

7?2?2 1? 2
2

?

11 3

| AD |?

) ? (?1 ?

2

11 3

)

?

14 3

2.

(3)∠ABC 是 BA 与 BC 的夹角,而 BA =(6,8) BC =(2,-5). ,
? cos ABC ? BA ? BC | BA | ? | BC | ?
2

6 ? 2 ? ( ? 8) ? ( ? 5) 6 ? (?8)
2

?
2

52 10 29

?

2629 145

?

2

2

? ( ? 5)

解斜三角形
【例1】 已知△ABC 的三个内角 A、B、C 满足 A+C=2B. 值. 解法一:由题设条件知 B=60°,A+C=120°. 设α =
A ?C 2
1 cos A ? 1 cos C ? ? 2 cos B

,求 cos

A?C 2



,则 A-C=2α ,可得 A=60°+α ,C=60°-α ,

所以

1 cos A

? 1

1 cos C

?

1 cos( 60 ? ? ? ) ? 1 1 2 cos ? ?
? ? 2

?

1 cos( 60 ? ? ? ) ? cos ? 1 4 cos
2

? 1 2

cos ? ?

3 2

sin ?
cos ?

3 2
,

sin ?

? ?

3 4

? sin
2

cos ? cos
2

?

? ?

3 4

,

依题设条件有

cos
? cos B ? 1 2 ,?

2

? ?

3 4

cos B

cos ? cos
2

? ?

3 4

? ?2

2.

整理得 4 2 cos2α +2cosα -3 2 =0(M) (2cosα - 2 )(2 2 cosα +3)=0,∵2 2 cosα +3≠0, ∴2cosα - 2 =0.从而得 cos
A ?C 2 ? 2 2

.

解法二:由题设条件知 B=60°,A+C=120°
? ? 2 cos 60 ? ? ?2 2 ,? 1 cos A ? 1 cos C ? ?2 2

①,把①式化为 ②,

cosA+cosC=-2 2 cosAcosC 利用和差化积及积化和差公式,②式可化为
2 cos A? C 2 cos A ?C 2 ? ? 1 2
? 2 2 ? 2 cos( A ? C )

2 [cos( A ? C ) ? cos( A ? C )]

③,

将 cos
cos

A ? C 2

=cos60°=

,cos(A+C)=-

1 2

代入③式得: ④
2

A?C 2

将 cos(A - C)=2cos2(
( 2 cos A ?C 2 ?2 2 cos A ?C 2 ? 2 2 )( 2

A?C 2
2 cos

)-1 代入 ④:4
A ?C 2 ? 3) ? 0, ?

cos2(

A ?C 2

)+2cos

A ?C 2

-3

2

=0 , (*) ,

? 3 ? 0 ,? 2 cos

A ?C 2

2 ? 0 , 从而得 : cos

A ?C 2

?

2 2

.

【例2】 在海岛 A 上有一座海拔 1 千米的山, 山顶设有一个观察站 P, 上午 11 时,测得一轮船在岛北 30°东,俯角为 60°的 B 处,到 11 时 10 分又测得该船在岛北 60°西、俯角为 30°的 C 处。 (1)求船的航行速度是每小时多少千米; (2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的 D 处,问此时船距岛 A 有多远? 解:(1)在 Rt△PAB 中,∠APB=60° PA=1,∴AB= 3 (千米)

在 Rt△PAC 中,∠APC=30°,∴AC= 在△ACB 中,∠CAB=30°+60°=90°
? BC ? 30 3 1 6
2

3 3

(千米)

AC

? AB

2

?

(

3 3

) ? ( 3)
2

2

?

30 3

?

? 2 30 ( 千米 / 时 )

(2)∠DAC=90°-60°=30° sinDCA=sin(180°-∠ACB)=sinACB=
AB BC ? 3 30 3 ? 3 10

10

sinCDA=sin(∠ACB-30°)=sinACB?cos30°-cosACB?sin30° ?
3 2 1 2 3 10 ( 3 3 ? 1 ) 10 20

3 10

10

.

?

? 1? (

10 )

2

?

在△ACD 中,据正弦定理得
3 ?

AD sin DCA
3 10 10

?

AC sin CDA
9? 13



∴ AD ?

AC ? sin DCA sin CDA

?

3

( 3 3 ? 1 ) 10 20

?

3

答:此时船距岛 A 为

9? 13

3

千米.
A ?C 2

【例3】 已知△ABC 的三内角 A、B、C 满足 A+C=2B,设 x=cos (1)试求函数 f(x)的解析式及其定义域; (2)判断其单调性,并加以证明; (3)求这个函数的值域. 解:(1)∵A+C=2B,∴B=60°,A+C=120°
A?C A?C 2 cos cos 1 cos A ? cos C 2 2 f (x) ? ? ? 2 cos A ? cos C cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) ? ? x 1 2 ? 2x
2

,f(x)=cosB(

1 cos A

?

1 cos C

).

? ?1

2x 4x
2

?3

,

∵0°≤|

A?C 2

|<60°,∴x=cos
3 2

A?C 2

∈(
1 2

1 2

,1 ]
3 2

又 4x2-3≠0,∴x≠

,∴定义域为(



)∪(

3 2

,1].

(2)设 x1<x2,∴f(x2)-f(x1)=

2 x2 4 x2 ? 3
2

?

2 x1 4 x1 ? 3
2

=

2 ( x 1 ? x 2 )( 4 x 1 x 2 ? 3 ) ( 4 x 1 ? 3 )( 4 x 2 ? 3 )
2 2

,若 x1,x2∈( ,
2

1

3 2

),则 4x12-3<0,4x22-3<0,4x1x2+3>0,x1-x2<0,

∴f(x2)-f(x1)<0 即 f(x2)<f(x1),若 x1,x2∈(
3 2

,1] ,则 4x12-3>0.

4x22-3>0,4x1x2+3>0,x1-x2<0,∴f(x2)-f(x1)<0. 即 f(x2)<f(x1),∴f(x)在( (3)由(2)知,f(x)<f(
1 2
1 2

,
1 2
1 2

3 2

)和(

3 2

,1 ] 上都是减函数.

)=-

或 f(x)≥f(1)=2. )∪[2,+∞ ) .
? 2 a cos ?60 ? ? C ? , 求角 A

故 f(x)的值域为(-∞,-

【例4】 在 ? ABC 中, A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c . b ? c 角 若 解:由正弦定理,将已知等式中的边转化为角.可得
sin B ? sin C ? 2 sin A ? cos ?60 ? ? C ? .



因为 A ? ∴ 又∵ ∴
? ?

B ?C ? π

,故有 sin ? A ? C ? ? sin .

C ? sin A cos C ?

3 sin A sin C



cos A sin C ? sin C ? ? 3 sin A sin C

sin C ? 0 ,
cos A ? 3 sin A ? 1 ,

即 sin ? A ?

π? 1 ? ? 6 ? 2


? 2 3 π

由 0 ? A ? ? ,可解得 A


? 2 ? cos C cos ? A ? B ? ? cos
2

【例5】 在△ABC 中,已知 y

C

.

(1)若任意交换 A , B , C 的位置, y 的值是否会发生变化?试证明你的结论; (2)求 y 的最大值. 解: (1)∵
y ? 2 ? cos C cos ? A ? B ? ? cos
2

C

? 2 ? cos ? A ? B ? cos ? A ? B ? ? cos

2

C

? 2?

1 2

?cos

2 A ? cos 2 B ? ? cos

2

C

? 2?

1 2

?2 cos
2

2

A ? 1 ? 2 cos
2

2

B ? 1 ? cos

?

2

C

? 3 ? cos ? sin
2

A ? cos
2

B ? cos
2

2

C

A ? sin

B ? sin

C



∴ 任意交换 A , B , C 的位置, y 的值不会发生变化. (2)解法 1:将 y 看作是关于 cos C 的二次函数.
y ? 2 ? cos C cos ? A ? B ? ? cos
2

C

1 ? ? ? ? ? cos C ? cos ? A ? B ? ? 2 ? ?

2

?

1 4

cos

2

?A ? B ? ? 2 .

所以,当 cos

C ?

1 2

cos ? A ? B ? ,且 cs o

2

? A ? B ? 取到最大值 1 时, 也即 A

? B ? C ?

π 3

时, y 取得最大值

9 4



解法 2:用调整的方法, 也即对于每个固定的 C 的值,去调整 A , B ,求出 y 取得最大值时 A , B 所满足 的条件. 对于
y ? 2 ? cos C cos ? A ? B ? ? cos
2

C

,如果固定 C ,则可将 y 看作是关于 cos ? A ? B ? 的一次或常数函

数.为了讨论其最大值,显然应该考虑 cos C 的符号,并由此展开讨论. 若 cos
C ? 0

,则

A? B ?

π 2

,所以, cos ? A ? B ? ?
2

0

,所以,

y ? A , B , C ? ? 2 ? cos C cos ? A ? B ? ? cos ? 2 ? cos
2

C

C ? 2 ? cos

2 2

?π ?π

?C? ?C

? 2 ? cos ? π ? C ? ? cos

?
2

C ? ?C ? 2 ? cos ? π ? C ? cos ? ? ? ? cos 2 ? ? 2 ?C C ? ? y? , ,π ? C ? ? 2 2 ?



?C

?

所以,只需考虑 cos C ? 0 的情形.此时 y 是关于 cos ? A ? B ? 的常数函数或单调递增的一次函数,因 此,最大值必可在 cos ? A ? B ? ? 1 (即 A
? B ? π?C 2
1? ? C ? ? ? cos C ? ? 2? ?
2

)时取得.所以,

y ? 2 ? cos C cos ? A ? B ? ? cos

2

C ? 2 ? cos C ? cos

2

?

9 4

?

9 4



等号当且仅当 A 六、专题练习

? B ? C ?

π 3

时取得.

【平面向量练习】
一、选择题:

1、下列各式中正确的是( C ) (1)(λ ?a) ?b=λ ?(a b)=a? (λ b), (2)|a?b|=|a|?|b|, (3)(a ?b)? c=a ? (b ?c), A. (3) (1) B. (4) (2) (4)(a+b) ? c= a?c+b?c C. (4) (1) D.以上都不对.

2、在Δ ABC 中,若( CA + CB )?( CA - CB )=0,则Δ ABC 为( C ) A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.无法确定

3、若|a|=|b|=|a-b|,则 b 与 a+b 的夹角为( A ) A.30° 4、已知|a|=1,|b|= A.60° 5、若 AB ? BC +
2

B.60°
2

C.150°

D.120°

,且(a-b)和 a 垂直,则 a 与 b 的夹角为( D ) B.30°
AB

C.135°

D.45°

= 0,则Δ ABC 为( A ) B.钝角三角形 C.锐角三角形 C )
37

A.直角三角形

D.等腰直角三角形

6、设|a|= 4,|b|= 3, 夹角为 60°, 则|a+b|等于( A.37 B.13

C.

D.

13

7、己知|a|=1,|b|=2, a 与 b 的夹角为 600,c =3a+b, d =λ a-b ,若 c⊥d,则实数λ 的值为( C A.
4 7



B.

5 7

C.

7 4

D.

7 5

8、设 a,b,c 是平面内任意的非零向量且相互不共线,则( D ) ①(ab)c-(ca)b=0 ③(bc)a-(ca)b 不与 c 垂直 其中真命题是 A.①② 二、填空题: 9、已知 e 是单位向量,求满足 a∥e 且 a?e=-18 的向量 a=__________.-18e 10、设 a=(m+1)i-3j, b=i+(m-1)j, (a+b) ⊥(a-b), 则 m=________.-2 11、|a|=5, |b|=3,|a-b|=7,则 a、b 的夹角为__________. 120° 12、 a 与 d=b- 三、解答题: 13、已知| a|=4,|b|=5,|a+b|=
21

②|a| -|b|< |a-b| ④(3a+2b)(3a-2b)= 9|a|2-4|b|2 ( B.②③ C.③④ D.②④ )

a ? (a ? b) |a |
2

关系为________. a⊥b

,求:① a?b ;②(2a-b) ?(a+3b)

解:①|a+b|2=(a+b)2=a2+2ab+b2=|a|2+2a?b+|b|2,
? ? ? ? 2 2 2 ? ? |a ?b | ? |a | ? |b | ? a ?b ? 2

= 21

? 16 ? 25 2

? ? 10

.

②(2a-b)(a+3b)=2a2+5a?b-3b2=2|a|2+5a?b-3|b|2 ? =2?42+5?(-10)-3?52=-93. 14、 四边形 ABCD 中, AB = a, 是什么图形? 分析:在四边形 ABCD 中,a+b+c+d=0,这是一个隐含条件, 对 a+b=-(c+d) ,两边平方后,用 a?b=b?c=d?c 代入, 从四边形的边长与内角的情况来确定四边形的形状. 解:∵a+b+c+d=0,∴a+b=-(c+d) , ∴(a+b)2=(c+d)2,即|a|2+2a?b+|b|2=|c|2+2c?d+|d|2, ∵a?b=c?d,∴|a|2+|b|2=|c|2+|d|2??① 同理:|a|2+|d|2=|b|2+|c|2??② ①,②两式相减得:|b|2=|d|2,|a|2=|c|2,即|b|=|d|,|a|=|c|. ∴ABCD 为平行四边形. 又∵a?b=b?c,即 b? (a-c)=0,而 a=-c, ∵b? (2a)=0 ∴a⊥b, ∴四边形 ABCD 为矩形. 15、已知:|a|=5,|b|=4,且 a 与 b 的夹角为 60°,问当且仅当 k 为何值时,向量 ka-b 与 a+2b 垂直? 解:? ( ka ? b ) ? ( a ? 2 b )
? ( ka ? b ) ? ( a ? 2 b ) ? 0 , 即 ka
2

BC

= b, CD = c,

DA

= d,且 a? b=b? c=c? d=d ? 判断四边形 ABCD a,

? ( 2 k ? 1 ) ab ? 2 b
14 15

2

? 0 ,? k ? 5

2

? ( 2 k ? 1 ) ? 5 ? 4 ? cos 60 ? 2 ? 4

2

? 0

? k ?

.

【平面向量的综合应用练习】
一、选择题 1.设 A、B、C、D 四点坐标依次是(-1,0),(0,2),(4,3),(3,1),则四边形 ABCD 为( A.正方形 B.矩形 )

C.菱形

D.平行四边形
15 4

2.已知△ABC 中,? AB =a, AC =b,a?b<0,S△ABC= A.30° 二、填空题 B.-150° C.150°

,|a|=3,|b|=5,则 a 与 b 的夹角是( D.30°或 150°

)

3.将二次函数 y=x2 的图象按向量 a 平移后得到的图象与一次函数 y=2x-5 的图象只有一个公共点(3, 1),则向量 a=_________. 4.等腰△ABC 和等腰 Rt△ABD 有公共的底边 AB, 它们所在的平面成 60°角, AB=16 cm,AC=17 cm, 若 则 CD=_________. 三、解答题 5.如图,在△ABC 中,设 AB =a, AC =b, AP =c, AD =λ a,(0<λ <1), AE =μ b(0<μ <1),试用向量 a,b 表示 c. 6.正三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面边长为 a,侧棱长为 2 a. (1)建立适当的坐标系,并写出 A、B、A1、C1 的坐标; (2)求 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角. 7.已知两点 M(-1,0),N(1,0),且点 P 使 MP ? MN , PM ? PN , NM ? NP 成公差小于零的等差数列. (1)点 P 的轨迹是什么曲线? (2)若点 P 坐标为(x0,y0),Q 为 PM 与 PN 的夹角,求 tanθ . 8.已知 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的?中点.? (1)用向量法证明 E、F、G、H 四点共面; (2)用向量法证明:BD∥平面 EFGH; (3)设 M 是 EG 和 FH 的交点,求证:对空间任一点 O,有 OM ? 一、1.解析: AB =(1,2) DC ,
1 4 ( OA ? OB ? OC ? OD )

.参考答案

=(1,2) ,∴ AB = DC ,∴ AB ∥ DC ,又线段 AB 与线段 DC 无公

共点,∴AB∥DC 且|AB|=|DC|,∴ABCD 是平行四边形,又| AB |= 5 , AC =(5,3) AC |= 34 ,∴| AB | ,| ≠| AC },∴? ABCD 不是菱形,更不是正方形;又 BC =(4,1) , ∴1?4+2?1=6≠0,∴ AB 不垂直于 BC ,∴ABCD 也不是矩形,故选 D. 答案:D 2.解析:∵
15 4 ? 1 2

?3?5sinα 得 sinα =

1 2

,则α =30°或α =150°.

又∵a?b<0,∴α =150°. 答案:C 二、3.(2,0) 4.13 cm 三、5.解:∵ BP 与 BE 共线,∴ BP =m BE =m( AE - AB )=m(μ b-a), ∴ AP = AB + BP =a+m(μ b-a)=(1-m)a+mμ b 又 CP 与 CD 共线,∴ CP =n CD =n( AD - AC )=n(λ a-b), ∴ AP = AC + CP =b+n(λ a-b)=nλ a+(1-n)b 由①②,得(1-m)a+μ mb=λ na+(1-n)b. ∵a 与 b 不共线,∴ ? 解方程组③得:m=
?1 ? m ? ? a ??n ? m ? 1 ? 0 即? ??m ? 1 ? n ?n ? ?m ? 1 ? 0






1 1 ? ??

1? ? 1 ? ??

,n ?

1? ? 1 ? ??

代入①式得 c=(1-m)a+mμ b=

[λ (1-μ )a+μ (1-λ )b].

6.解:(1)以点 A 为坐标原点 O,以 AB 所在直线为 Oy 轴,以 AA1 所在直线为 Oz 轴,以经过原点且与 平面 ABB1A1 垂直的直线为 Ox 轴,建立空间直角坐标系. 由已知,得 A(0,0,0) ,B(0,a,0),A1(0,0, 2 a),C1(-
a

3 2

a,

a 2

,

2

a).
3 2

(2)取 A1B1 的中点 M,于是有 M(0, , 2 a) ,连 AM,MC1,有 MC 1 =(-
2

a,0,0),

且 AB =(0,a,0), AA 1 =(0,0 2 a) 由于 MC 1 ? AB =0, MC 1 ? AA 1 =0,所以 MC1⊥面 ABB1A1,∴AC1 与 AM 所成的角就是 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角. ∵ AC 1 = ( ?
3 2 a, a 2 a
2

,

2 a ), AM ? ( 0 , ? 2a
2

a 2

,

2 a ),

? AC 1 ? AM ? 0 ?

?

9 4

a

4
? 1 4
2

而 | AC 1 |?

3 4

a

2

a

? 2a

2

?

3 a , | AM |?

a

2

? 2a ?

3 2

a

4

9 ? cos ? AC 1 , AM ?? 4

a

2

3a ?

3 2

? a

3 2

所以 AC 1 与 AM 所成的角,即 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为 30°. 7.解:(1)设 P(x,y),由 M(-1,0) ,N(1,0)得, PM =- MP =(-1-x,-y), PN ? ? NP =(1-x,-

y), MN

= - NM =(2,0), ∴ MP ? MN =2(1+x), PM ? PN =x2+y2 - 1, NM ? NP 是公差小于零的等差数列,等价于

=2(1 - x). 于 是 ,

MP ? MN , PM ? PN , NM ? NP

1 ? 2 2 ?x2 ? y ? 3 ? x ? y ? 1 ? [ 2 (1 ? x ) ? 2 (1 ? x )] 即? 2 ? ?x ? 0 ? 2 (1 ? x ) ? 2 (1 ? x ) ? 0 ?

所以,点 P 的轨迹是以原点为圆心, 3 为半径的右半圆. (2)点 P 的坐标为(x0,y0)
PM ? PN ? x 0 ? y 0 ? 1 ? 2 , | PM | ? | PN |? ? ( 4 ? 2 x 0 )( 4 ? 2 x 0 ) ? 2 PM ? PN | PM | ? PN 3 ,? 1 2
1 4 ? x0
2

2

2

(1 ? x ) ? y 0

2

2

?

(1 ? x 0 ) ? y 0

2

2

4 ? x0 1

2

? cos ? ?

?

4 ? x0

2

? 0 ? x0 ?

? cos ? ? 1, 0 ? ? ?

?
3

,

? sin ? ?

1 ? cos ? ?
2

1?

,? tan ? ?

sin ? cos ?

?

3 ? x0

2

?| y0 |

8.证明:(1)连结 BG,则 EG ? EB ? BG ? EB ?

1 2

( BC ? BD ) ? EB ? BF ? EH ? EF ? EH 1 2

由共面向量定理的推论知:E、F、G、H 四点共面,(其中 (2)因为 EH ? AH ? AE ?
1 2 AD ? 1 2 AB ? 1 2 ( AD ? AB ) ? 1 2

BD

= EH )

BD

.

所以 EH∥BD,又 EH ? 面 EFGH,BD ? 面 EFGH 所以 BD∥平面 EFGH. (3)连 OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG 由(2)知 EH ? M 平分,所以
OM ? ? 1 4 1 2 ( OE ? OG ) ? 1 2 OE ? 1 2 OG ? 1 1 1 1 [ ( OA ? OB )] ? [ ( OC ? OD )] 2 2 2 2

1 2

BD

,同理 FG ?

1 2

BD

,所以 EH ? FG ,EH

FG,所以 EG、FH 交于一点 M 且被

.

( OA ? OB ? OC ? OD ).

【解斜三角形练习】
一、选择题 1.给出四个命题:(1)若 sin2A=sin2B,则△ABC 为等腰三角形;(2)若 sinA=cosB,则△ABC 为直角三角 形; (3)若 sin2A+sin2B+sin2C<2, 则△ABC 为钝角三角形; (4)若 cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1, 则△ABC

为正三角形.以上正确命题的个数是( A.1 二、填空题 B.2

) C.3 D.4

2.在△ABC 中,已知 A、B、C 成等差数列,则 tan

A 2

? tan

C 2

? 4 3

3 tan

A 2

tan 4 5

C 2

的值为__________.

3.在△ABC 中,A 为最小角,C 为最大角,已知 cos(2A+C)=- 三、解答题

,sinB=

,则 cos2(B+C)=__________.

4.已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形 ABCD 的面积. 5.如右图,在半径为 R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯,桌子边缘一点处的照度和 灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ 的正弦成正比,角和这一点到光源的距离 r 的平方成反比,即 I=k?
sin ? r
2

,其中 k 是一个和灯光强度有关的常数,那么怎样选择

电灯悬挂的高度 h,才能使桌子边缘处最亮? 6.在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边, 4 sin 2 (1)求角 A 的度数; (2)若 a= 3 ,b+c=3,求 b 和 c 的值. 7.在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c,且 a、b、3c 成等比数列,又∠A-∠C= 试求∠A、∠B、∠C 的值. 8.在正三角形 ABC 的边 AB、AC 上分别取 D、E 两点,使沿线段 DE 折叠三角形时,顶点 A 正好落在 边 BC 上,在这种情况下,若要使 AD 最小,求 AD∶AB 的值.
?
2 B ?C 2 ? cos
2

A ?

7 2

.



参考答案
一、1.解析:其中(3)(4)正确. 答案: B 二、2.解析:∵A+B+C=π ,A+C=2B,
? A?C ? 故 tan A 2 2? 3 ? tan C 2 ? , tan( A?C 2 3 tan A 2 tan C 2 ? )? 3 , tan A 2 3. ? tan C 2 ? 3 (1 ? tan A 2 tan C 2 )

答案: 3 3.解析:∵A 为最小角∴2A+C=A+A+C<A+B+C=180°. ∵cos(2A+C)=-
4 5

,∴sin(2A+C)=

3 5

.

∵C 为最大角,∴B 为锐角,又 sinB= 即 sin(A+C)=
4 5

4 5

.故 cosB=

3 5

.

,cos(A+C)=-

3 5

.
24 25

∵cos(B+C)=-cosA=-cos[(2A+C)-(A+C)]=- ∴cos2(B+C)=2cos2(B+C)-1= 答案:
527 625 527 625



.

三、4.解:如图:连结 BD,则有四边形 ABCD 的面积:

S=S△ABD+S△CDB=

1 2

?AB?ADsinA+

1 2

?BC?CD?sinC

∵A+C=180°,∴sinA=sinC 故 S=
1 2

(AB?AD+BC?CD)sinA=

1 2

(2?4+6?4)sinA=16sinA

由余弦定理,在△ABD 中,BD2=AB2+AD2-2AB?AD?cosA=20-16cosA 在△CDB 中,BD2=CB2+CD2-2CB?CD?cosC=52-48cosC ∴20-16cosA=52-48cosC,∵cosC=-cosA, ∴64cosA=-32,cosA=-
1 2

,又 0°<A<180°,∴A=120°故 S=16sin120°=8 3 .
1 r ? cos ? R ,0 ? ? ? ? 2

5.解:R=rcosθ ,由此得:
I ? k ?
2


?) 2 3 2 ) ?( ) 3 R
2

sin ? r
2

? k ?
2

sin ? ? cos R
2

2

?

?
2

k R
2

? (sin ? ? cos
2

2

2I

?(

k R
2

) ? 2 sin k R
2

2

? ? (1 ? sin

? )( 1 ? sin 3 3

?) ? (

k

由此得 I ?

?

2 9

3 , 等号在 sin ? ?

时成立 , 此时 h ? R tan ? ?

2 2

R

6 . 解 : (1 )由 4 sin

2

B ?C 2

? cos 2 A ?
2

7 2

及 A ? B ? C ? 180 ? , 得 :
2

2 [1 ? cos( B ? C )] ? 2 cos 即 4 cos
2

A?1?

7 2

, 4 (1 ? cos A ) ? 4 cos 1 2 ,

A ? 5

A ? 4 cos A ? 1 ? 0 ,? cos A ?

? 0 ? ? A ? 180 ? ,? A ? 60 ? ( 2 )由余弦定理得 ? cos A ? 将a ? 1 2
2

: cos A ?
2

b ?c

2

2

?a

2

2 bc ? b ?c ?a
2

?

1 2

? (b ? c ) ? a

2

2

? 3 bc .

2 bc

3 , b ? c ? 3 代入上式得

?b ? c ? 3 ?b ? 1 ?b ? 2 : bc ? 2 由 ? 得 :? 或? . ? bc ? 2 ?c ? 2 ?c ? 1

7.解:由 a、b、3c 成等比数列,得:b2=3ac ∴sin2B=3sinC?sinA=3(-
1 2

)[cos(A+C)-cos(A-C)]
3 2

∵B=π -(A+C).∴sin2(A+C)=- 即 1-cos2(A+C)=-
3 2

[cos(A+C)-cos

? 2 1 2

] .
? 3

cos(A+C),解得 cos(A+C)=-
2 3

∵0<A+C<π ,∴A+C=

π .又 A-C=

? 2

∴A=

7 12

π ,B=

,C=

? 12

.

8.解:按题意,设折叠后 A 点落在边 BC 上改称 P 点,显然 A、P 两点关于折线 DE 对称,又设∠BAP= θ ,∴∠DPA=θ ,∠BDP=2θ ,再设 AB=a,AD=x,∴DP=x.在△ABC 中, ∠APB=180°-∠ABP-∠BAP=120°-θ ,? 由正弦定理知: 在△PBD 中,
BP sin BAP
DP sin DBP
?x ? a sin ? ? sin 60 ? sin 2 ? ? sin( 120 ? ? ? )

?
?

AB sin APB
BP

.∴BP=

a sin ? sin( 120 ? ? ? ) x ? sin ? sin 60 ? , 从而 a sin ? sin( 120 ? ? ? ) ? x sin 2 ? sin 60 ?

, 所以 BP ?

,

sin BDP
? 3a 2 sin( 60 ? ? 2 ? ) ?

. 3

∵0°≤θ ≤60°,∴60°≤60°+2θ ≤180°,∴当 60°+2θ =90°,即θ =15°时, sin(60°+2θ )=1,此时 x 取得最小值
3a 2? 3 ? (2 3 ? 3)

a,即 AD 最小,

∴AD∶DB=2 3 -3.


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