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高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结

圆锥曲线
1.圆锥曲线的两定义: 第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点 F 1 ,F 2 的距离的和等于常数 2a , 且此常数 2a 一定要大于 F1 F2 ,当常数等于 F1 F2 时,轨迹是线段 F 1 F 2 ,当常数小于 F1 F2 时,无 轨迹; 双曲线中, 与两定点 F 1 , 2 的距离的差的绝对值等于常数 2a , F 且此常数 2a 一定要小于|F 1 F 2 |, 定义中的“绝对值”与 2a <|F 1 F 2 |不可忽视。若 2a =|F 1 F 2 |,则轨迹是以 F 1 ,F 2 为端点的两条射 线,若 2a ﹥|F 1 F 2 |,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方程 ( x ? 6) 2 ? y 2 ? ( x ? 6) 2 ? y 2 ? 8 表示的曲线是_____(答:双曲线的左支) 2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程) : (1) 椭圆: 焦点在 x 轴上时
2 2

x2 y2 y2 x2 ? 2 ? 1 a ? b ? 0 ) 焦点在 y 轴上时 2 ? 2 =1 a ? b ? 0 ) ( , ( 。 a2 b a b

方程 Ax ? By ? C 表示椭圆的充要条件是什么?(ABC≠0,且 A,B,C 同号,A≠B) 。
2 2 若 x, y ? R ,且 3x2 ? 2 y 2 ? 6 ,则 x ? y 的最大值是____, x ? y 的最小值是___(答: 5, 2 )

(2)双曲线:焦点在 x 轴上:

x2 y2 y2 x2 ? 2 =1,焦点在 y 轴上: 2 ? 2 =1( a ? 0, b ? 0 ) 。方程 a2 b a b

。 Ax2 ? By 2 ? C 表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,且 A,B 异号) 如设中心在坐标原点 O ,焦点 F1 、 F2 在坐标轴上,离心率 e ? 则 C 的方程为_______(答: x ? y ? 6 )
2 2

2 的双曲线 C 过点 P(4,? 10) ,
2

( 3 ) 抛 物 线 : 开 口 向 右时 y ? 2 px( p ? 0) , 开 口 向 左 时 y ? ?2 px( p ? 0), 开 口 向 上 时
2

x2 ? 2 py( p? 0),开口向下时 x2 ? ?2 py( p ? 0) 。
3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断) : 2 2 (1)椭圆:由 x , y 分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。 如 已知 方程

x2 y2 ? ? 1 表 示 焦 点在 y 轴 上 的 椭 圆 , 则 m 的 取 值范 围 是__ ( 答: m ?1 2 ? m

3 ( ?? ,?1) ? (1, ) ) 2
(2)双曲线:由 x , y 项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上; (3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 提醒:在椭圆中, a 最大, a ? b ? c ,在双曲线中, c 最大, c ? a ? b 。
2 2 2 2 2 2
2 2

4.圆锥曲线的几何性质:

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )为例) :①范围: ?a ? x ? a, ?b ? y ? b ;②焦点:两 a2 b2 个焦点 (?c, 0) ;③对称性:两条对称轴 x ? 0, y ? 0 ,一个对称中心(0,0) ,四个顶点 (? a, 0), (0, ?b) ,
(1)椭圆(以 其中长轴长为 2 a , 短轴长为 2 b ; ④准线: 两条准线 x ? ?

c a2 ; ⑤离心率:e ? , 椭圆 ? 0 ? e ? 1 , a c

e 越小,椭圆越圆; e 越大,椭圆越扁。

如(1)若椭圆

25 x2 y2 10 ,则 m 的值是__(答:3 或 ) ; ? ? 1 的离心率 e ? 3 5 m 5

(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时,则椭圆长轴的最小值为 __(答: 2 2 )

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )为例) :①范围: x ? ?a 或 x ? a, y ? R ;②焦点: a 2 b2 两个焦点 (?c, 0) ;③对称性:两条对称轴 x ? 0, y ? 0 ,一个对称中心(0,0) ,两个顶点 (? a, 0) ,其 中实轴长为 2 a ,虚轴长为 2 b ,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为 c a2 x2 ? y 2 ? k , k ? 0 ;④准线:两条准线 x ? ? ; ⑤离心率: e ? ,双曲线 ? e ? 1 ,等轴双曲线 a c b ? e ? 2 , e 越小,开口越小, e 越大,开口越大;⑥两条渐近线: y ? ? x 。 a p (3)抛物线(以 y 2 ? 2 px( p ? 0) 为例) :①范围: x ? 0, y ? R ;②焦点:一个焦点 ( , 0) ,其中 p 2 的几何意义是: 焦点到准线的距离; ③对称性: 一条对称轴 y ? 0 , 没有对称中心, 只有一个顶点 (0,0) ; c p ④准线:一条准线 x ? ? ; ⑤离心率: e ? ,抛物线 ? e ? 1 。 a 2
(2)双曲线(以 如设 a ? 0, a ? R ,则抛物线 y ? 4ax 的焦点坐标为________(答: (0,
2

1 ; )) 16 a

x2 y 2 x2 y2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )的关系: (1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆外 ? 0 ? 0 ? 1 ; a 2 b2 a2 b 2 2 2 2 x0 y 0 x0 y0 (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆上 ? 2 ? 2 =1; (3)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆内 ? 2 ? 2 ? 1 a b a b
5、点 P( x0 , y0 ) 和椭圆 6.直线与圆锥曲线的位置关系: (1)相交: ? ? 0 ? 直线与椭圆相交; ? ? 0 ? 直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一 定有 ? ? 0 ,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故 ? ? 0 是直线与 双曲线相交的充分条件,但不是必要条件; ? ? 0 ? 直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定 有 ? ? 0 ,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故 ? ? 0 也仅是直线 与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。 (2)相切: ? ? 0 ? 直线与椭圆相切; ? ? 0 ? 直线与双曲线相切; ? ? 0 ? 直线与抛物线相 切; (3)相离: ? ? 0 ? 直线与椭圆相离; ? ? 0 ? 直线与双曲线相离; ? ? 0 ? 直线与抛物线相 离。 提醒: (1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果 直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点; 如果直线与抛物线的轴平行时,直线 与抛物线相交,也只有一个交点; (2)过双曲线

x2 y2 ? =1 外一点 P( x0 , y0 ) 的直线与双曲线只有一个 a2 b2

公共点的情况如下:①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线 和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时, 有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P 在两条渐近线上但非原 点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P 为原点时不存在这样的直线; (3) 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。

7、焦点三角形(椭圆一点与两焦点所构成的三角形)问题: S ? b tan
2

?
2

? c | y0 | ,当 | y0 |? b 即

P 为短轴端点时, S max 的最大值为 bc;
8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质: (1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切; (2)设 AB 为焦点弦, M 为准线与 x 轴的交点,则∠AMF=∠BMF; (3)设 AB 为焦点弦,A、B 在准线上的射影 分别为 A 1 ,B 1 ,若 P 为 A 1 B 1 的中点,则 PA⊥PB; (4)若 AO 的延长线交准线于 C,则 BC 平行于 x 轴, 反之,若过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C 点,则 A,O,C 三点共线。 9、弦长公式: 若直线 y ? kx ? b 与圆锥曲线相交于两点 A、 且 x1 , x2 分别为 A、 的横坐标, AB B, B 则 = 1? k
2

x1 ? x2 ,若 y1 , y2 分别为 A、B 的纵坐标,则 AB = 1 ?
2

1 y1 ? y 2 ,若弦 AB 所在直线 k2

方程设为 x ? ky ? b ,则 AB = 1 ? k

y1 ? y2 。特别地,焦点弦(过焦点的弦) :焦点弦的弦长的计

算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。 10、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。 在椭圆

b2 x x2 y2 ? 2 ? 1 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k=- 2 0 ; a2 b a y0

b2 x x2 y 2 ? 2 ? 1 中 , 以 P( x0 , y0 ) 为 中 点 的 弦 所 在 直 线 的 斜 率 k= 2 0 ; 在 抛 物 线 a2 b a y0 p y 2 ? 2 px( p ? 0) 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k= 。 y0 提醒:因为 ? ? 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别 忘了检验 ? ? 0 !
在双曲线 11.了解下列结论 2 2 2 2 (1)双曲线 x ? y ? 1 的渐近线方程为 x ? y ? 0 ; 2 2 2 2 a b a b b x2 y2 x2 y2 (2)以 y ? ? x 为渐近线(即与双曲线 ? 2 ? 1 共渐近线)的双曲线方程为 2 ? 2 ? ? (? 为 a a2 b a b 参数, ? ≠0)。 (3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 mx ? ny ? 1 ;
2 2

(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为 离)为

2b 2 ,焦准距(焦点到相应准线的距 a

b2 ,抛物线的通径为 2 p ,焦准距为 p ; c
2

(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦; (6)若抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦为 AB, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则① | AB |? x1 ? x2 ? p ; ② x1 x2 ?

p2 , y1 y2 ? ? p 2 4
2

(7)若 OA、OB 是过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 顶点 O 的两条互相垂直的弦,则直线 AB 恒经过定点

(2 p, 0)

12、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: (1)在 ?ABC 中,给出 AD ?
2

????

? 1 ??? ???? AB ? AC ,等于已知 AD 是 ?ABC 中 BC 边的中线; 2

?

?

(2)在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OC ,等于已知 O 是 ?ABC 的外心(三角形外接圆的圆 心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点) ; (3)在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OC ? 0 ,等于已知 O 是 ?ABC 的重心(三角形的重心是三 角形三条中线的交点) ; (4)在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,等于已知 O 是 ?ABC 的垂心(三角形 的垂心是三角形三条高的交点) ; ( 5 ) 给 出 以 下 情 形 之 一 : ① AB // AC ; ② 存 在 实 数 ?, 使AB ? ? AC ; ③ 若 存 在 实 数

2

2

?

?

? , ? , 且? ? ? ? 1, 使OC ? ? OA ? ? OB ,等于已知 A, B, C 三点共线.
(6) 给出 MA ? MB ? 0 ,等于已知 MA ? MB ,即 ?AMB 是直角,给出 MA ? MB ? m ? 0 ,等于已 知 ?AMB 是钝角, 给出 MA ? MB ? m ? 0 ,等于已知 ?AMB 是锐角,

??? ?

??? ?

??? ?

? ? ? MA MB ? (8)给出 ? ? ? ? ? MP ,等于已知 MP 是 ?AMB 的平分线/ ? MA MB ? ? ? (9)在平行四边形 ABCD 中,给出 ( AB ? AD) ? ( AB ? AD) ? 0 ,等于已知 ABCD 是菱形; ??? ???? ??? ???? ? ? (10) 在平行四边形 ABCD 中,给出 | AB ? AD |?| AB ? AD | ,等于已知 ABCD 是矩形;

13.圆锥曲线中线段的最值问题: 例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4 2 )与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为 ______________ (2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标为 分析: (1)A 在抛物线外,如图,连 PF,则 PH ? PF ,因而易发现, 当 A、P、F 三点共线时,距离和最小。 (2)B 在抛物线内,如图,作 QR⊥l 交于 R,则当 B、Q、R 三点共线 时,距离和最小。 解: (2, 2 ) ( (1) (2)
A Q H P F B



1 ,1 ) 4

1、 已知椭圆 C1 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ,双曲线 C2 的左、右焦点分别为 C1 的左、右顶点,而 C2 的左、右 4

顶点分别是 C1 的左、右焦点。 (1) 求双曲线 C2 的方程; (2) 若直线 l: y ? kx ? 2 与椭圆 C1 及双曲线 C2 恒有两个不同的交点,且 l 与 C2 的两个交点 A 和 B 满足 OA ? OB ? 6 (其中 O 为原点),求 k 的取值范围。
2 2 解: (Ⅰ)设双曲线 C2 的方程为 x ? y ? 1 ,则 a 2 ? 4 ? 1 ? 3, 再由a 2 ? b 2 ? c 2 得b 2 ? 1. a2 b2

故 C2 的方程为

x2 x2 ? y 2 ? 1. ? y 2 ? 1得(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8 2kx ? 4 ? 0. (II) y ? kx ? 2代入 将 3 4
k2 ? 1 . 4

由直线 l 与椭圆 C1 恒有两个不同的交点得

?1 ? (8 2 ) 2 k 2 ? 16(1 ? 4k 2 ) ? 16(4k 2 ? 1) ? 0, 即
将y ? kx ? 2代入



x2 ? y 2 ? 1得(1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0 .由直线 l 与双曲线 C2 恒有两个不 3

?1 ? 3k 2 ? 0, 1 ? 即k 2 ? 且k 2 ? 1. 同的交点 A,B 得 ? 2 2 2 3 ?? 2 ? (?6 2k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 36(1 ? k ) ? 0. ?
6 2k ?9 设A( xA , y A ), B( xB , yB ), 则x A ? xB ? , x A ? xB ? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 ??? ??? ? ? 由OA ? OB ? 6得xA xB ? y A yB ? 6, 而 xA xB ? y A yB ? xA xB ? (kxA ? 2)(kxB ? 2)
? (k 2 ? 1) x A xB ? 2k ( x A ? xB ) ? 2 ? (k 2 ? 1) ? ? 3k 2 ? 7 . 3k 2 ? 1


?9 6 2k ? 2k ? ?2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

3k 2 ? 7 15k 2 ? 13 13 1 于是 2 ? 6,即 ? 0. 解此不等式得 k 2 ? 或k 2 ? . 2 15 3 3k ? 1 3k ? 1
由①、②、③得

1 1 13 ? k 2 ? 或 ? k 2 ? 1. 4 3 15

故 k 的取值范围为 (?1, ?

13 3 1 1 3 13 ) ? (? ,? )?( , )?( ,1) 15 3 2 2 3 15

2.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,-1),B 点在直线 y = -3 上,M 点满足 MB//OA, MA?AB = MB ?BA,M 点的轨迹为曲线 C。

(Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处得切线,求 O 点到 l 距离的最小值。 (Ⅰ)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1).所以 MA =(-x,-1-y), MB =(0,-3-y), AB =(x,-2).再 由愿意得知( MA + MB )? AB =0,即(-x,-4-2y)? (x,-2)=0.

????

????

??? ?

???? ????

??? ?

1 2 1 2 ' 1 x -2. (Ⅱ)设 P(x 0 ,y 0 )为曲线 C:y= x -2 上一点,因为 y = x,所 4 4 2 1 1 以 l 的斜率为 x 0 因此直线 l 的方程为 y ? y0 ? x0 ( x ? x0 ) ,即 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? x2 ? 0 。 2 2
所以曲线 C 的方程式为 y= 则 O 点到 l 的距离 d ?
2 | 2 y0 ? x0 |

1 2 x0 ? 4 1 2 1 4 2 .又 y0 ? x0 ? 2 ,所以 d ? 2 ? ( x0 ? 4 ? ) ? 2, 2 2 2 4 x0 ? 4 x0 ? 4 2 x0 ? 4

2 当 x0 =0 时取等号,所以 O 点到 l 距离的最小值为 2.

3.设双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切,则该双曲线的离心率等于( a 2 b2

)

4. 过 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 的 左 焦 点 F1 作 x 轴 的 垂 线 交 椭 圆 于 点 P , F2 为 右 焦 点 , 若 a 2 b2

?F1PF2 ? 60? ,则椭圆的离心率为
5.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ,其一条渐近线方程为 y ? x ,点 2 b2
)0

P( 3, y0 ) 在双曲线上.则 PF · PF2 =( 1

2 6. 已 知 直 线 y ? k ? x ? 2?? k ? 0? 与 抛 物 线 C : y ? 8 x 相 交 于 A、B 两 点 , F 为 C 的 焦 点 , 若

| F A |? 2 | F B ,则 k ? ( |

)

7.设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点。若 AB 的中点为(2,2) ,则直线 l 的方程为_____________. 8.椭圆 小为

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若 | PF1 |? 4 ,则 | PF2 |? 9 2
.

; ?F PF2 的大 1


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