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2011年高考湖北省数学试卷-文科(含详细答案)


绝密. 试卷类型: 绝密.启用前 试卷类型:A 年普通高考学校招生全国统一考试(湖北卷) 2011 年普通高考学校招生全国统一考试(湖北卷) 数学(文史类) 数学(文史类)
选择题: 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一. 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 一项是符合题目要求的。 1. 已知 U = {1, 2,3, 4,5, 6,7,8} , A = {1,3,5, 7} , B = {2, 4,5} , 则 ? ( A ∪ B ) = U A. 2. 若向量 a = (1, 2 ) , b = (1, ?1) ,则 2a + b 与 a ? b 的夹角等于 A. ?

{6,8}
π

B. {5, 7}

C. {4, 6,7}

D. {1,3,5, 6,8}

3π 4 6 4 4 x 3. 若定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 和奇函数 g ( x ) 满足 f ( x) + g ( x) = e ,则 g ( x ) = ?x ?x ?x 1 x 1 ?x 1 x x x A. e ? e B. (e + e ) C. (e ? e ) D. (e ? e ) 2 2 2 2 4. 将两个顶点在抛物线 y = 2 px ( p > 0) 上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数 记为 n ,则 B. n = 1 C. n = 2 D. n ≥ 3 A. n = 0
B. C. D. 5. 有一个容量为 200 的样本,其频率分布直方图如图所示,根据样本的频率分布直方图估 计,样本数据落在区间 ?10,12 ) 内的频数为 ? A.18 C.54 B.36 D.72

π

π

6. 已知函数 f ( x ) = A. ? x | 2kπ +

3 sin x ? cos x, x ∈ R ,若 f ( x) ≥ 1 ,则 x 的取值范围为

π ? ? ≤ x ≤ 2k π + π , k ∈ Z ? 3 ? ? π ? ? B. ? x | kπ + ≤ x ≤ kπ + π , k ∈ Z ? 3 ? ? π 5π ? ? C. ? x | 2kπ + ≤ x ≤ 2kπ + ,k ∈Z? 6 6 ? ? π 5π ? ? D. ? x | kπ + ≤ x ≤ kπ + ,k ∈Z? 6 6 ? ? 7.设球的体积为 V1 ,它的内接正方体的体积为 V2 ,下列说法中最合适的是
A. V1 比 V2 大约多一半 B. V1 比 V2 大约多两倍半 C. V1 比 V2 大约多一倍 D. V1 比 V2 大约多一倍半

?x ≥ 0 ?y ≥ 0 ? 8. 直线 2 x + y ? 10 = 0 与不等式组 ? 表示的平面区域的公共点有 x ? y ≥ ?2 ? ?4 x + 3 y ≤ 20 ?
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.无数个 9. 《九章算术》 “竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列, 上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第五节的容积为 A.1 升

67 升 66 47 升 C. 44 37 D. 升 33
B. 那么 ? ( a, b) = 0 是 a 与 b 互补的 A.必要不充分条件 B.充分不必要的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 填空题: 小题, 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将答案填在答题卡对应题号的位 置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分。 置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分。 11. 某市有大型超市 200 家、中型超市 400 家、小型超市 1400 家。为掌握各类超市的营业 情况,现按分层抽样方法抽取一个容量为 100 的样本,应抽取中型超市__________家。 10.若实数 a, 满足 a ≥ 0, b ≥ 0 , ab = 0 , b 且 则称 a 与 b 互补, ? ( a, b) = 记

a 2 + b 2 ? a ? b,

1 ? ? 15 12. ? x ? (结果用数值表示) ? 的展开式中含 x 的项的系数为__________。 3 x? ?
13.在 30 瓶饮料中,有 3 瓶已过了保质期,从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶,则至少取到 1 瓶已 过保质期饮料的概率为__________。 14.过点(-1,2)的直线 l 被圆 x 2 + y 2 ? 2 x ? 2 y + 1 = 0 截得的弦长为 2 ,则直线 l 的斜率 为__________。 15.里氏震级 M 的计算公式为:M = lg A ? lg A0 , 其中 A 是测震仪记录的地震曲线的最大振 幅, A0 是相应的标准地震的振幅,假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是 1000,此 时标准地震的振幅为 0.001,则此次地震的震级为__________级;9 级地震的最大的振幅是 5 级地震最大振幅的__________倍。

18

小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 解答题: 16.( 16.(本小题满分 12 分) 设 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 a = 1, b = 2, cos C = (I) 求 ?ABC 的周长; (II)求 cos( A ? C ) 的值。

1 4

17.( 17.(本小题满分 12 分) 成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比数列 {bn } 中的 b3 、 b4 、 b5 。 (I) 求数列 {bn } 的通项公式; (II) 数列 {bn } 的前 n 项和为 S n ,求证:数列 ? S n + ? 是等比数列。

? ?

5? 4?

18. (本小题满分 12 分) 如图,已知正三棱柱 ABC - A1 B1C1 的底面边长为 2,侧棱长为 3 2 ,点 E 在侧棱 AA1 上, 点 F 在侧棱 BB1 上,且 AE = 2 2 , BF = (I) 求证: CF ⊥ C1 E ;

2.

(II) 求二面角 E ? CF ? C1 的大小。

19. (本小题满分 12 分) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况, 在一般情况下, 大桥上的车流速 度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆 /千米)的函数,当桥上的车流魔都达到 200 辆 /千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆 /千米时,车流速 度为 60 千米/小时,研究表明:当 20 ≤ x ≤ 200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数。 (I) 当 0 ≤ x ≤ 200 时,求函数的表达式; (II) 当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/ 小时) f ( x ) = x ? v ( x) 可以达到最大,并求出最大值。 (精确到 1 辆/小时) 。

20. (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x ) = x 3 + 2ax 2 + bx + a , g ( x ) = x 2 ? 3 x + 2 ,其中 x ∈ R ,a、b 为常数,已知曲 线 y = f ( x) 与 y = g ( x ) 在点(2,0)处有相同的切线 l。 (I) 求 a、b 的值,并写出切线 l 的方程;

的 x ∈ [ x1 , x2 ] , f ( x) + g ( x) < m( x ? 1) 恒成立,求实数 m 的取值范围。

(II)若方程 f ( x ) + g ( x ) = mx 有三个互不相同的实根 0、 x1 、 x2 ,其中 x1 < x2 ,且对任意

21. (本小题满分 14 分) 平面内与两定点 A1 ( ? a, 0 ) 、 A2 ( a, 0 ) ( a > 0 )连线的斜率之积等于非零常数 m 的点的轨 迹,加上 A1 、两点所成的曲线 C 可以是圆、椭圆或双曲线。 (I) 求曲线 C 的方程,并讨论 C 的形状与 m 值的关系; (II)当 m=1 时,对应的曲线为 C1 ;对给定的 m ∈ ( ?1, 0) ∪ ( 0, +∞ ) ,对应的曲线为。设 F1 、

F2 是的两个焦点。试问:在 C1 上,是否存在点 N,使得 ?F1 NF2 的面积 S = m a 2 。若存在,
求 tan F1 NF2 的值;若不存在,请说明理由。


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