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导数三角函数大题练习


导数、三角函数大题练习 1.(本小题满分 12 分)已知 m ? (2 cos( x ? 且函数 f ( x) ? m ? n ? 1 (1)设方程 f ( x) ? 1 ? 0 在 (0, ? ) 内有两个零点 x1,x 2 ,求 f ( x1 ? x 2 ) 的值; (2) 若把函数 y ? f ( x) 的图像向左平移 求函数 g ( x) 在 [ ? 解: (1)

?
2

), cos x) , n ? (cos x,2 sin( x ?

?
2

)) ,

?

? ?

3

个单位,再向上平移 2 个单位,得函数 g ( x) 图像,

, ] 上的单调增区间. 2 2

f ( x) ? 2 cos( x ? ) cos x ? cos x 2sin( x ? ) ? 1 ? ?2sin x cos x ? 2 cos x cos x ? 1 2 2 ...2 分 ? ? sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 1 ? 2 cos(2 x ? ) ? 2 4

?

?

?

? ? ? ? x1 ? x1 ? ? ? ? 2 ? 4 或? 2 而 f ( x) ? 1 ? 0 ,得: cos(2 x ? ) ? ? ,而 x ? (0, ? ) ,得: ? ? 4 2 ?x ? ? ?x ? ? 2 2 ? ? ? 2 ? 4
3? 3? ? ) ? 2 cos( ? ) ? 2 ? 3 ..................6 分 4 2 4 ? ? 11? (2) f ( x) ? 2 cos(2 x ? ) ? 2 -- 左 移 -- f ( x) ? 2 cos(2 x ? ) ? 2 -- 上 移 4 3 12 11? 2-- f ( x) ? 2 cos(2 x ? ) ? 4 ,则 g ( x) 的单调递增区间: 12 ? 11? ? 23? 11? ? ? 2 k? ? 2 x ? ? ? 2 k? , ? ? k? ? x ? ? ? k? ,........ 2 12 2 24 24 ? ? ? 11? ? ? 而 x ? [? , ] ,得: f ( x) 在 x ? [? , ? ] 和 x ? [ , ] 上递增.... 2 2 2 24 24 2
所以 f ( x1 ? x2 ) ? f (
1 1 2.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? 2 3 sin x cos x ? sin 2 x ? cos 2 x ? , x ? R (Ⅰ)求函数 2 2

? ? ? ?? f ? x ? 在 ? ? , ? 上的最值; (Ⅱ)若将函数 f ? x ? 的图象向右平移 个单位,再将得到的图 4 ? 4 2?
象 上 各 点 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 2 倍 , 纵 坐 标 不 变 , 得 到 g ? x? 的 图 像 . 已 知
6 ? 4? 11? ? ?? ? ? g ?? ? ? ? , ? ? ? , ? .求 cos ? ? ? 的值.. 5 3 6 ? ? ?2 6?

3.(本小题满分 12 分) 在 △

ABC





A, B, C















a, b, c



tan C ?

sin A ? sin B , sin( B ? A) ? cos C . cos A ? cos B

(1)求 A, C ; (2)若 S ?ABC ? 3 ? 3 ,求 a, c . (1)因为 tan C ?

sin A ? sin B sin C sin A ? sin B ,即 , ? cos A ? cos B cos C cos A ? cos B

所以 sin C cos A ? sin C cos B ? cos C sin A ? cos C sin B , 即 sin C cos A ? cos C sin A ? cos C sin B ? sin C cos B , 得 sin(C ? A) ? sin( B ? C ) .所以 C ? A ? B ? C ,或 C ? A ? ? ? ( B ? C ) (不成立) .

即 2C ? A ? B , 得 C ?

?
3

,所以. B ? A ?

又因为 sin( B ? A) ? cos C ? (2) S ?ABC ?

1 ? 5? ? 5? , 则B? A? , 或B? A? , (舍去)得 A ? , B ? . 2 6 6 4 12

2? . 3

1 6? 2 a c , 即 ac sin B ? ac ? 3 ? 3 ,又 ? 2 8 sin A sin C

a c , ? 2 3 2 2

得 a ? 2 2, c ? 2 3.

4. (12 分) 在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 且 2 3a sin B ? 5c , cos B ? (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)设 BC 边的中点为 D , AD ?

11 . 14

19 ,求 ?ABC 的面积. 2

5. (本小题 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ( x ? ) ? b ln x(a, b ? R ) , g ( x) ? x .
2

1 x

(1)若 a ? 1 ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 y 轴垂直,求 b 的值; (2)在(1)的条件下,求证: g ( x) ? f ( x) ? 2ln 2 . 解:(1) a ? 1 时, f ( x) ? x ? 所以 f '( x) ? 1 ?

1 ? b ln x, x

1 b x 2 ? bx ? 1 ? ? , x2 x x2
(6 分)

由题 f '(1) ? 2 ? b ? 0,? b ? 2. (2)由(1)可得 f ( x) ? x ? 设 F ( x) ? x 2 ? x ?

1 1 ? 2 ln x, 只需证 x 2 ? x ? ? 2 ln x ? 2 ln 2 ? 0, x x

1 ? 2 ln x ? 2 ln 2, ( x ? 0) , x

F '( x) ? 2 x ? 1 ?

1 2 2 x3 ? x 2 ? 1 ? 2 x ( x 2 ? 1)(2 x ? 1) ? ? ? , x2 x x2 x2
1 。 2
(8 分)

令 F '( x) ? 0 ,得 x ? 当0 ? x ? 当x?

1 时, F '( x) ? 0 , 2

1 时, F '( x) ? 0 , 2

所以, F ( x) min ? F ( ) ?

1 2

7 ? 0, F ( x) ? 0, 4

所以, g ( x) ? f ( x) ? 2 ln 2;

6. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? e (a ? R), g ( x) ?
x

ln x . x

(I)求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ) ?x0 ? (0, ??) ,使不等式 f ( x) ? g ( x) ? e x 成立,求 a 的取值范围. 解: (Ⅰ)∵ f ?( x) ? a ? e x , x ? R ………2 分 ……4 分

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 R 上单调递减;函数无极值 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 得 x ? ln a 由 f ?( x) ? 0 得 f ( x) 的单调递增区间为 (??, ln a ) ; 由 f ?( x) ? 0 得 f ( x) 的单调递减区间为 (ln a, ??) . 所以 f(x)的极大值为 alna-a,无极小值. ………6 分

(Ⅱ)因为 ?x0 ? (0, ??) ,使不等式 f ( x) ? g ( x) ? e x ,则 ax ? 设 h( x ) ?

ln x ln x , 即a ? 2 , x x

ln x ,则问题转化为 a 小于或等于 h( x) 的最大值, ………8 分 x2 1 ? 2 ln x 由 h?( x) ? ,令 h?( x) ? 0 ,则 x ? e x3
当 x 在区间 (0, ??) 内变化时, h?( x) 、 h( x) 变化情况如下表

x
h?( x) h( x )
由上表可知,当 x ? 所以 a ?

(0, e )
+

e

( e , ??)
-

0 1 2e

e 时,函数 h( x) 有最大值,且最大值为

1 . 2e

1 . 2e

………12 分

7. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (2a ? 1) x ,其中 a 为常数,且 a ? 0.
2

(1)当 a ? 2 时,求 f ( x) 的单调区间;

(0, e] 的最大值为 1,求 a 的值. (2)若 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,且在
解: (1)f ( x) ? ln x ? 2 x 2 ? 5 x, f ?( x) ? 或 1,则

1 1 (4 x ? 1)( x ? 1) , 令 f ?( x) ? 0 , 得x ? ? 4x ? 5 ? 4 x x

x
f ?( x)

1 (0, ) 4
+ 增

1 4
0 极大值

1 ( ,1) 4


1
0 极小值

(1, ??)
+ 增

f ( x)

所以 f ( x) 在 (0, ) 和 (1, ??) 上单调递增,在 [ ,1] 上单调递减...............4 分 (2) a ?

1 4

1 4

1 或 a ? ?2 ...............12 分 e?2

8. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? ln x (a, b ? R ) .
2

(1)设 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间; (2)设 a ? 0 ,且对于任意 x ? 0 , f ( x) ? f (1) .试比较 ln a 与 ?2b 的大小. 解: (Ⅰ)由 f ? x ? ? ax ? bx ? ln x, x ? ?0,?? ? ,得 f ?? x ? ?
2

2ax 2 ? bx ? 1 . x

(1)当 a ? 0 时, f ?? x ? ?

bx ? 1 x

①若 b ? 0 ,当 x ? 0 时, f ?? x ? ? 0 恒成立,所以函数 f ? x ? 的单调递减区间是 ?0,?? ? ②若 b ? 0 ,当 0 ? x ? 当x?

1 时, f ?? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 的单调递减, b

1 时, f ?? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 的单调递增, b ? 1? ?1 ? 所以函数 f ? x ? 的单调递减区间是 ? 0, ? ,单调递增区间是 ? ,?? ? .(2 分) ? b? ?b ? 2 (2)当 a ? 0 时, f ?? x ? ? 0 , 得 2ax ? bx ? 1 ? 0 ,

? b ? b 2 ? 8a ? b ? b 2 ? 8a , x2 ? 4a 4a 当 0 ? x ? x2 时, f ?? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 的单调递减, 当 x ? x2 时, f ?? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 的单调递增,
由 ? ? b 2 ? 8a ? 0 得 x1 ?

显然,x1 ? 0, x2 ? 0

? ? b ? b 2 ? 8a ? ? ,单调递增区间是 所 以 函 数 f ? x ? 的 单 调 递 减 区 间 是 ? 0, ? ? 4a ? ?

? ? b ? b 2 ? 8a ? ? (4 分) ,?? ? , ? ? 4a ? ?
综上所述 当 a ? 0 , b ? 0 时,函数 f ? x ? 的单调递减区间是 ?0,?? ? 当 a ? 0 , b ? 0 时,函数 f ? x ? 的单调递减区间是 ? 0, ? ,单调递增区间是 ? ,?? ?

? ?

1? b?

?1 ?b

? ?

? ? b ? b 2 ? 8a ? ? , 增 区 间 是 当 a ? 0 时 , 函 数 f ? x ? 的 递 减 区 间 是 ? 0, ? ? 4a ? ? ? ? b ? b 2 ? 8a ? ? ,?? ? .(5 分) ? ? 4a ? ? (Ⅱ) 由 a ? 0 ,且对于任意 x ? 0 , f ( x) ? f (1) ,则函数 f ? x ? 在 x ? 1 处取得最小值,
由(Ⅰ)知, 故

? b ? b 2 ? 8a 是 f ? x ? 的唯一的极小值点, 4a

? b ? b 2 ? 8a ? 1 ,整理得 4a

2a ? b ? 1 即 b ? 1 ? 2a .(7 分)
1 ? 4x (8 分) x

令 g ? x ? ? 2 ? 4 x ? ln x , 令 g ?? x ? ? 0, 得 x ? 当0 ? x ? 当x?

则 g ?? x ? ?

1 , 4

1 时, g ?? x ? ? 0, g ? x ? 单调递增; 4

1 时, g ?? x ? ? 0, g ? x ? 单调递减. 4 1 ?1? 因此 g ? x ? ? g ? ? ? 1 ? ln ? 1 ? ln 4 ? 0 , 4 ?4? 故 g ?a ? ? 0 ,即 2 ? 4a ? ln a ? 2b ? ln a ? 0 , 即 ln a ? ?2b (12 分)


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