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最新2013数学高中巧学巧解大全

高中巧学巧解大全

最新 2013 数学高中巧学巧解大全 第一部分 高中数学活题巧解方法总论

一、代入法 若动点 P( x, y ) 依赖于另一动点 Q( x0 , y 0 ) 而运动,而 Q 点的轨迹方程已知 (也可能易于求得)且可建立关系式 x0 ? f ( x) , y 0 ? g ( x) ,于是将这个 Q 点的 坐标表达式代入已知(或求得)曲线的方程,化简后即得 P 点的轨迹方程,这种 方法称为代入法,又称转移法或相关点法。 【例 1】 (2009 年高考广东卷) 已知曲线 C :y ? x 2 与直线 l :x ? y ? 2 ? 0 交 于两点 A( x A , y A ) 和 B( x B , y B ) ,且 x A ? x B ,记曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平面区域(含边界)为 D.设点 P(s, t ) 是 L 上的任一点,且点 P 与点 A 和点 B 均不重合.若点 Q 是线段 AB 的中点, 试求线段 PQ 的中点 M 的轨 迹方程;
1 5 【巧解】联立 y ? x 2 与 y ? x ? 2 得 x A ? ?1, x B ? 2 ,则 AB 中点 Q( , ) , 2 2 1 5 ?s ?t 2 2 设线段 PQ 的中点 M 坐标为 ( x, y ) ,则 x ? , ,y ? 2 2 1 5 即 s ? 2 x ? , t ? 2 y ? ,又点 P 在曲线 C 上, 2 2 5 1 11 ∴ 2 y ? ? (2 x ? ) 2 化简可得 y ? x 2 ? x ? ,又点 P 是 L 上的任一点, 2 2 8 1 1 5 且不与点 A 和点 B 重合,则 ? 1 ? 2 x ? ? 2 ,即 ? ? x ? , 2 4 4 11 1 5 ∴中点 M 的轨迹方程为 y ? x 2 ? x ? ( ? ? x ? ). 8 4 4

【例 2】 (2008 年,江西卷)设 P( x0 , y 0 ) 在直线 x ? m ( y ? ?m,0 ? m ? 1) 上,过
1 点 P 作双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的两条切线 PA 、PB ,切点为 A 、B ,定点 M ( m ,0) 。 过

点 A 作直线 x ? y ? 0 的垂线,垂足为 N,试求 ?AMN 的重心 G 所在的曲线方程。
2 2 【巧解】设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由已知得到 y1 y2 ? 0 ,且 x12 ? y12 ? 1 , x2 ? y2 ? 1 ,

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(1)垂线 AN 的方程为: y ? y1 ? ? x ? x1 ,
? y ? y1 ? ? x ? x1 x ?y x ?y 由? 得垂足 N ( 1 1 , 1 1 ) ,设重心 G ( x, y ) 2 2 ? x? y ?0

3 ? 9x ? 3y ? ? 1 1 x1 ? y1 ? m ? x1 ? ? x ? 3 ( x1 ? m ? 2 ) ? ? 4 所以 ? 解得 ? 1 ? y ? 1 ( y ? 0 ? x1 ? y1 ) ? 9 y ? 3x ? 1 ? ?y ? m 3 2 ? ? 1 ? 4 1 1 由 x12 ? y12 ? 1 可得 (3x ? 3 y ? )(3x ? 3 y ? ) ? 2 m m 1 2 2 即 (x ? ) ? y 2 ? 为重心 G 所在曲线方程 3m 9
巧练一: (2005 年,江西卷)如图,设抛物线 C : y ? x 2 的焦点为 F,动点 P 在 直线 l : x ? y ? 2 ? 0 上运动,过 P 作抛物线 C 的两条切线 PA、PB,且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点.,求△APB 的重心 G 的轨迹方程. 巧练二: (2006 年,全国 I 卷)在平面直角坐标系 xOy 中,有一个以 F1 (0,? 3 ) 和
F2 (0, 3 ) 为焦点、离心率为 3 的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线 C,动
2

点 P 在 C 上, 在点 P 处的切线与 x、 轴的交点分别为 A、 且向量 OM ? OA ? OB , C y B, 求点 M 的轨迹方程

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二、直接法 直接从题设的条件出发,利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过 准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论,从而确定选择支的方法 叫直接法。 从近几年全国各地的高考数学试题来看,绝大大部分选择题的解答用 的是此法。但解题时也要“盯住选项特点”灵活做题,一边计算,一边对选项进 行分析、验证,或在选项中取值带入题设计算,验证、筛选而迅速确定答案。
x2 y2 【例 1】 (2009 年高考全国 II 卷)已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦 a b

点为 F,过 F 且斜率为 3 的直线交 C 于 A、B 两点。若 AF ? 4 FB ,则 C 的离心 率为( (A) )
6 5

(B)

7 5

(C)

8 5

(D)

9 5

【 巧 解 】 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) , F (c,0) , 由 AF ? 4 FB , 得
(c ? x1 ,? y1 ) ? 4( x2 ? c, y 2 )

∴ y1 ? ?4y 2 ,设过 F 点斜率为 3 的直线方程为 x ?

y 3

?c,

y ? x? ?c b2 2b 2 c ? 2 2 y ? b4 ? 0 , 由? 消去 x 得: ( ? a ) y ? 3 3 3 ?b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 b 2 ? 0 ?

? ? 6b 2 c 6b 2 c y1 ? y 2 ? ? ? 3 y2 ? ? ? ? ? 3 (b 2 ? 3a 2 ) , 将 y ? ?4y 代入得 ? 3 (b 2 ? 3a 2 ) 化简 ∴? ? 1 2 4 4 3b ? ? ? 4 y 2 ? 3b y1 y 2 ? 2 2 ? ? b ? 3a 2 b 2 ? 3a 2 ? ?


? 2b 2 c y2 ? ? ? 3 (b 2 ? 3a 2 ) ? 3b 4 ?y2 ? ? ? 2 4(b 2 ? 3a 2 ) ?
4b 4 c 2 3b 4 ?? , 3(b 2 ? 3a 2 ) 2 4(b 2 ? 3a 2 )

,∴

16 化简得: c 2 ? 9(3a 2 ? b 2 ) ? 9(3a 2 ? c 2 ? a 2 ) , 25c 2 ? 36a 2 , 2 ? ∴ e

36 6 , e? 。 即 25 5

故本题选(A)

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【例 2】 (2008 年,四川卷)设定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 13 , 若 f (1) ? 2 ,则 f (99) ? ( (A)13 【巧解】∵ f ( x ? 2) ? (B)2 ) (C)
13 2

(D)

2 13

13 13 13 ,∴ f ( x ? 4) ? ? ? f ( x) 13 f ( x) f ( x ? 2) f ( x) 13 13 ? 故 f (1) 2

∴函数 f (x) 为周期函数,且 T ? 4 ,∴ f (99) ? f (4 ? 24 ? 3) ? f (3) ? 选(C)

1 巧练一: (2008 年,湖北卷)若 f ( x) ? ? x 2 ? b ln( x ? 2)在(?1,??) 上是减函数, 2

则 b 的取值范围是( A. [?1,??)

) B. (?1,??) C. (??,?1] D. (??,?1)

巧练二: (2008 年, 湖南卷) 长方体 ABCD—A1B1C1D1 的 8 个顶点在同一个球面上, 且 AB=2,AD= 3,AA1=1,则顶点 A、B 间的球面距离是( A. 2 2? B. 2? C.
2? 2

) D.
2? 4

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三、定义法 所谓定义法,就是直接用数学定义解题。选择题的命题侧重于对圆锥曲线 定义的考查,凡题目中涉及焦半径、通径、准线、离心率及离心率的取值范围等 问题,用圆锥曲线的第一和第二定义解题,是一种重要的解题策略。 【例 1】 (2009 年高考福建卷,理 13)过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 作倾斜 角为 450 的直线交抛物线于 A、B 两点,线段 AB 的长为 8,则 p ?
p ? p ?y ? x ? 【巧解】依题意直线 AB 的方程为 y ? x ? ,由 ? 2 消去 y 得: 2 ? y 2 ? 2 px ?
x 2 ? 3 px ? p2 ? 0 ,设 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y 2 ) ,∴ x1 ? x2 ? 3 p ,根据抛物线的定义。 4



| BF |? x 2 ?

p p , | AF |? x1 ? ,∴ | AB |? x1 ? x2 ? p ? 4 p ? 8 ,∴ p ? 2 , 2 2 5 ,焦点在 x 轴上且 13

故本题应填 2。 【例 2】 (2008 年,山东卷,理 10)设椭圆 C1 的离心率为

长轴长为 26. 若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8, 则曲线 C2 的标准方程为( (A)
x2 y2 ? ?1 4 2 32

) (B)
x2 y2 ? 2 ?1 13 2 5

x2 y2 (C) 2 ? 2 ? 1 3 4

x2 y2 (D) 2 ? 2 ? 1 13 12

【 巧 解 】 由 题 意 椭 圆 的 半 焦 距 为 c ? 5 , 双 曲 线 C2 上 的 点 P 满 足
|| PF1 | ? | PF2 ||? 8 ?| F1 F2 |,

∴点 P 的轨迹是双曲线, 其中 c ? 5 , ? 4 , b ? 3 , ∴ a

故双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1 ,∴选(A) 4 2 32

巧练一: (2008 年,陕西卷)双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别是 a2 b2

F1,F2,过 F1 作倾斜角为 30°的直线交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,
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则双曲线的离心率为( A. 6

) C. 2 D.
3 3

B. 3

巧练二: (2008 年,辽宁卷)已知点 P 是抛物线 y 2 ? 2 x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( (A)
17 2



(B)3

(C) 5

(D)

9 2

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四、向量坐标法 向量坐标法是一种重要的数学思想方法,通过坐标化,把长度之间的关系 转化成坐标之间的关系,使问题易于解决,并从一定程度上揭示了问题的数学本 质。在解题实践中若能做到多用、巧用和活用,则可源源不断地开发出自己的解 题智慧,必能收到事半功倍的效果。 【例 1】 (2008 年,广东卷)在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 是线 段 OD 的中点, 的延长线与 CD 交于点 F. 若 AC =a,BD =b, AF = AE 则 ( A.
1 1 a+ b 4 2



B.

2 1 a+ b 3 3

C.

1 1 a+ b 2 4

1 2 D. a + b 3 3
y D C E O A B x

【巧解】如图所示,选取边长为 2 的正方形 ABCD
1 3 则 B(2,0) , C (2,2) , D(0,2) , O(1,1) , E ( , ) , 2 2
? y ? 3x 2 ∴直线 AE 的方程为 y ? 3x ,联立 ? 得 F ( , 2) 3 ? y?2

2 ∴ AF ? ( ,2) , AF ? x AC ? y BD , AF ? x(2,2) ? y (?2,2) ? (2 x ? 2 y,2 x ? 2 y ) 设 则 3
2 ? 2 1 2 1 2 1 ?2 x ? 2 y ? ∴? 3 解之得 x ? , y ? ,∴ AF ? AC ? BD ? a ? b ,故本题 3 3 3 3 3 3 ? 2x ? 2 y ? 2 ?

选B 【例 2】已知点 O 为 ?ABC 内一点,且 OA ? 2OB ? 3OC ? 0,则 ?AOB 、 ?AOC 、
?BOC 的面积之比等于



) D.1:2:3

A.9:4:1

B.1:4:9

C.3:2:1

【巧解】不妨设 ?ABC 为等腰三角形, ?B ? 90 0

y A O

AB ? BC ? 3 ,建立如图所示的直角坐标系,则点 B(0,0)
A(0,3) , C (3,0) ,设 O( x, y ) ,
B

C

x

∵ OA ? 2OB ? 3OC ? 0,即 (? x,3 ? y) ? 2(? x,? y) ? 3(3 ? x,? y) ? (0,0)
?6 x ? 9 3 1 3 1 ∴? 解之得 x ? , y ? ,即 O( , ) ,又直线 AC 的方程为 x ? y ? 3 ? 0 , 2 2 2 2 ?6 y ? 3
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3 1 ? ? 3| 2 2 2 ? 则 点 O 到 直 线 AC 的 距 离 h ? , ∵ | AC |? 3 2 , 因 此 2 2 2 1 ?1 |

S ?AOB ?

1 9 1 3 1 3 | AB | ? | x |? , S ?BOC ? | BC | ? | y |? , S ?AOC ? | AC | ?h ? ,故选 2 4 2 4 2 2

C 巧练一: (2008 年,湖南卷)设 D、E、F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的 点,且 DC ? 2 BD, CE ? 2 EA, AF ? 2 FB, 则 AD ? BE ? CF与BC ( A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 )

D. 既不平行也不垂直

巧练二:设 O 是 ?ABC 内部一点,且 OA ? OC ? ?2OB ,则 ?AOB 与 ?AOC 面积 之比是 .

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五、查字典法 查字典是大家比较熟悉的,我们用类似“查字典”的方法来解决数字排列问 题中数字比较大小的问题,避免了用分类讨论法时容易犯的重复和遗漏的错误, 给人以“神来之法”的味道。利用“查字典法”解决数字比较大小的排列问题的 思路是“按位逐步讨论法” (从最高位到个位) ,查首位时只考虑首位应满足题目 条件的情况;查前“2”位时只考虑前“2”位中第“2”个数应满足条件的情况; 依次逐步讨论, 但解题中既要注意数字不能重复, 又要有充分的理论准备, 如奇、 偶问题,3 的倍数和 5 的倍数的特征,0 的特性等等。以免考虑不全而出错。 【例 1】 (2007 年,四川卷)用数字 0,1,2,3,4,5 可以组成没有重复数字, 并且比 20000 大的五位偶数共有( (A)288 个 (B)240 个 ) (D)126 个

(C)144 个

【巧解】本题只需查首位,可分 3 种情况,① 个位为 0,即 ? ? ? ?0 型,首位是
1 3 2, 4, 中的任一个, 3, 5 此时个数为 A4 A4 ;

②个位为 2, ? ? ? ?2 , 此 即

1 3 种情况考虑到万位上不为 0,则万位上只能排 3,4,5,所以个数为 A3 A4 ;

③个位为 4, ? ? ? ?4 型,此种特点考虑到万位上不为 0,则万位上只能排
1 3 1 3 1 3 2,3,5,所以个数为 A3 A4 ;故共有 A4 A4 ? 2 A3 A4 ? 240 个。故选(B)

【例 2】 (2004 年全国 II 卷)在由数字 1,2,3,4,5 组成的所有没有重复数字 的 5 位数中,大于 23145 且小于 43521 的数共有( A.56 个 B.57 个 C.58 个 )

D.60 个

【巧解】 (1)查首位:只考虑首位大于 2 小于 4 的数,仅有 1 种情况:即 3 ? ? ? ?
4 型,此特点只需其它数进行全排列即可。有 A4 种,

(2)查前2位:只考虑前“2”位中比3既大又小的数,有 4 种情况: 24 ? ? ? ,
3 25 ? ? ? , 41 ? ? ? , 42 ? ? ? 型,而每种情况均有 A33 种满足条件,故共有 4A3 种。

(3) 查前3位: 只考虑前 “3” 位中既比1大又小于 5 的数, 4 种情况:234 ? ? , 有
2 235 ? ? , 431 ? ? , 432 ? ? 型,而每种情况均有 A2 种满足条件,故共有 4 A22 种。

(3) 查前 4 位: 只考虑前 “4” 位中既比 4 大又小于 2 的数, 此种情况只有 23154
4 3 2 和 43512 两种情况满足条件。故共有 A4 ? 4 A3 ? 4 A2 ? 2 ? 58 个,故选 C

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巧练一:用数字 0,1,2,3,4,5 可以组成没有重复数字,并且不大于 4310 的四位偶数 共有( ) B.109 种 C.108 种 D.107 种

A.110 种

巧练二: (2007 年,四川卷)用数字 1,2,3,4,5 可以组成没重复数字,并且比 20000 大的五位偶数共有( (A)48 个 (B)36 个 ) (C)24 个 (D)18 个

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六、挡板模型法 挡板模型法是在解决排列组合应用问题中, 对一些不易理解且复杂的排列组 合问题,当元素相同时,可以通过设计一个挡板模型巧妙解决,否则,如果分类 讨论,往往费时费力,同时也难以解决问题。 【例 1】体育老师把 9 个相同的足球放入编号为 1,2,3 的三个箱中,要求每个 箱子放球的个数不少于其编号,则不同的放球方法有 A.8 种 B.10 种 C.12 种 D.16 种 ( )

【巧解】先在 2 号盒子里放 1 个小球,在 3 号盒子里放 2 个小球,余下的 6 个 小球排成一排为: OOOOOO ,只需在 6 个小球的 5 个空位之间插入 2 块挡板, 如:OO | OO | OO , 每一种插法对应着一种放法, 故共有不同的放法为 C 52 ? 10 种. 故选 B 【例 2】两个实数集 A ? ?a1 , a2 ,?, a50 ? , B ? ?b1 , b2 ,? b25 ? ,若从 A 到 B 的映射 f 使得 B 中每个元素都有原象,且 f ? a1 ? ? f ? a2 ? ? ? ? f ? a50 ? ,则这样的映射 共有(
24 A. A50

)个
24 B. C49 25 C. C50 25 D. A49

【巧解】不妨设 A和B 两个集合中的数都是从小到大排列,将集合 A 的 50 个数 视为 50 个相同的小球排成一排为: OOOOOOO ??OO ,然后在 50 个小球的 49 个 空 位 中 插 入 24 块 木 板 , 每 一 种 插 法 对 应 着 一 种 满 足 条 件
24 f ? a1 ? ? f ? a2 ? ? ? ? f ? a50 ? 对应方法,故共有不同映射共有 C 49 种. 故选 B

巧练一:两个实数集合 A={a1, a2, a3,?, a15}与 B={b1, b2, b3,?, b10},若从 A 到 B 的 是映射 f 使 B 中的每一个元素都有原象,且 f(a1)≤f(a2) ≤?≤f(a10)<f(a11)<? <f(a15), 则这样的映射共有
5 A. C10 个

( C.1015 个
10 D. 510 ? A15



B. C 94 个

巧练二:10 个完全相同的小球放在标有 1、2、3、4 号的四个不同盒子里,使每 个盒子都不空的放法有( A.24 B.84 )种 C.120 D.96

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七、等差中项法 等差中项法是根据题目的题设条件(或隐含)的特征,联想到等差数列中的 等差中项,构造等差中项,从而可使问题得到快速解决,从而使解题过程变得简 捷流畅,令人赏心悦目。 【例 1】 (2008 年,浙江卷)已知 a ? 0, b ? 0, 且a ? b ? 2 ,则( (A) ab ?
1 2



(B) ab ?

1 2

(C) a 2 ? b 2 ? 2 (D) a 2 ? b 2 ? 3

【巧解】根据 a ? b ? 2 特征,可得 a,1, b 成等差数列,1 为 a 与 b 的等差中项。 可设 a ?1 ? x , b ?1 ? x ,其中 ? 1 ? x ? 1 ;则 ab ? 1 ? x 2 , a 2 ? b 2 ? 2 ? 2 x 2 ,又
0 ? x 2 ? 1 ,故 0 ? ab ? 1 , 2 ? a 2 ? b 2 ? 4 ,

由选项知应选(C) 【例 2】 (2008 年,重庆卷)已知函数 y ? 1 ? x ? x ? 3 的最大值为 M,最小值 为 m,则
m 的值为( M 1 4

) (B)
1 2

(A)

(C)

2 2

(D)

3 2

【巧解】由 y ? 1 ? x ? x ? 3 可得,
1? x ?

y 为 1 ? x 与 x ? 3 的等差中项,令 2

y y y ? t , x ? 3 ? ? t ,其中 | t |? , 2 2 2

y2 y y y 2 2 2 则 ( ? t ) ? ( ? t ) ? 1 ? x ? x ? 3 ? 4 ,即 t ? 2 ? ,又 | t |? ,则 4 2 2 2 0 ? t2 ? y2 y2 y2 ? , 0?2? 故 , 解之得 2 ? y ? 2 2 , M ? 2 2 ,m ? 2 ∴ 即 4 4 4

m 2 2 ? ? ,故选(C) M 2 2 2

y2 巧练: x, y, z ? R*, x ? 2 y ? 3z ? 0, 的最小值 xz

.

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八、逆向化法 逆向化法是在解选择题时, 四个选项以及四个选项中只有一个是符合题 目要求的都是解题重要的信息。 逆向化策略是把四个选项作为首先考虑的信息, 解题时,要“盯住选项” ,着重通过对选项的分析,考查,验证,推断进行否定 或肯定,或者根据选项之间的关系进行逻辑分析和筛选,找到所要选择的,符合 题目要求的选项。 【例 1】 (2008 年,湖北卷)函数 f ( x) ? 定义域为( ) B. (?4,0) ? (0,1) D. [?4,0) ? (0,1)
1 ln( x 2 ? 3x ? 2 ? ? x 2 ? 3x ? 4 ) 的 x

A. (??,?4] ? [2,??) C. [?4,0) ? (0,1]

【巧解】观察四个选项取端点值代入计算即可,取 x ? 1,出现函数的真数为 0, 不满足,排含有 1 的答案 C,取 x ? ?4 代入计算解析式有意义,排不含有 ? 4 的 答案 B,取 x ? 2 出现二次根式被开方数为负,不满足,排含有 2 的答案 A,故选 D 评析:求函数的定义域只需使函数解析式有意义,凡是考查具体函数的定义域问 题都可用特值法代入验证快速确定选项。 【例 2】已知函数 f ( x) ? 2mx 2 ? 2(4 ? m) x ? 1, g ( x) ? mx ,若对于任一实数 x, f ( x) 与 g (x) 的值至少有一个为正数,则实数 m 的取值范围是( A. (0,2) C. (2,8) B. (0,8) D. ? ? ,0) ( )

【巧解】观察四个选项中有三个答案不含 2,那么就取 m ? 2 代入验证是否符合 题意即可, 取 m ? 2 ,则有 f ( x) ? 4 x 2 ? 4 x ? 1 ? (2 x ? 1) 2 ,这个二次函数的函数值 f ( x) ? 0 对

x?R且 x ?

1 1 恒成立,现只需考虑 g ( x) ? 2 x 当 x ? 时函数值是否为正数即可。 2 2

这显然 为正数。故 m ? 2 符合题意,排除不含 m ? 2 的选项 A、C、D。所以选 B
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巧练一: (2007 年,湖北卷)函数 y ? A. y ? log 2 x ? 1 (x<-1)

2x ?1 (x<0)的反函数是( 2x ?1



x ?1 C. y ? log 2 x ? 1 (x<-1) x ?1

B. y ? log 2 x ? 1 (x>1)
x ?1 D. y ? log 2 x ? 1 (x>1) x ?1

巧练二: (2004 年,重庆卷)不等式 x ? A. (?1,0) ? (1, ??) C. (?1,0) ? (0,1)

2 ? 2 的解集是( x ?1



B. (??, ?1) ? (0,1) D. (??, ?1) ? (1, ??)

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九、极限化法 极限化法是在解选择题时,有一些任意选取或者变化的元素,我们对这些元素 的变化趋势进行研究,分析它们的极限情况或者极端位置,并进行估算,以此来判 断选择的结果.这种通过动态变化,或对极端取值来解选择题的方法是一种极限化 法. 【 例 1 】 正 三 棱 锥 A ? B C D中 , E 在 棱 AB 上 , F 在 棱 CD 上 , 使
AE CF 设 ? ? ? ? (? ? 0) , ? 为异面直线 EF 与 AC 所成的角, 为异面直线 EF EB FD

与 BD 所成的角,则 ? ? ? 的值是 A.





? ? ? ? B. C. D. 6 4 3 2 【巧解】当 ? ? 0 时, E ? A ,且 F ? C ,从而 EF ? AC 。因为 AC ? BD ,
排除选择支 A, B, C 故选 D(或 ? ? ?? 时的情况,同样可排除 A, B, C ) ,所以 选D 【例 2】若 a ? ( ) x , b ? x 2 , c ? log 2 x ,当 x >1 时, a, b, c 的大小关系(
3

2 3

3



A. a ? b ? c B c ? a ? b 【巧解】当 x ? 0 时, a ? 巧练一:若 0 ? x ? A. 2 x ? 3 sin x

C c?b?a

D. a ? c ? b

2 , b ? 1 , c ? 0 ,故 c ? a ? b ,所以选 B 3

?
2

, 则2 x与3 sin x 的大小关系





B. 2 x ? 3 sin x

C. 2 x ? 3 sin x

D.与 x 的取值有关 )

巧练二:对于任意的锐角 ? , ? ,下列不等关系式中正确的是( (A) sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? (C) cos( ? ? ) ? sin ? ? sin ? ? (B) sin(? ? ? ) ? cos? ? cos ? (D) cos( ? ? ) ? cos? ? cos ? ?

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十、整体化法 整体化法是在解选择题时,有时并不需要把题目精解出来,而是从题目的整体 去观察,分析和把握,通过整体反映的性质或者对整体情况的估算,确定具体问题 的结果,例如,对函数问题,有时只需要研究它的定义域,值域,而不一定关心它的解 析示式,对函数图象,有时可以从它的整体变化趋势去观察,而不一定思考具体的 对应关系,或者对 4 个选项进行比较以得出结论,或者从整体,从全局进行估算,而 忽略具体的细节等等,都可以缩短解题过程,这是一种从整体出发进行解题的方 法. 【例 1】已知 ? 是锐角,那么下列各值中, sin? ? cos? 可能取到的值是( A.
3 4



B.

4 3

C.

【巧解】∵ sin ? ? cos? ? 2 sin(? ?

?
4

5 3

D.

1 2

) ,又 ? 是锐角,∴ 0 ? ? ?

?
2

?
4

?? ?

?
4

?

2 ? 3? ? ? sin(? ? ) ? 1 ,即 1 ? 2 sin(? ? ) ? 2 ,故选 B ,∴ 2 4 4 4

【例 2】(2002 年,全国卷)据 2002 年 3 月 5 日九届人大五次会议《政府工作报告》 指出“2001 年国内生产总值达到 95933 亿元,比上一年增长 7.3%.”如果“十· 五”期间 (2001-2005 年)每年的国内生产总值按此年增长率增长,那么,到“十· 五”末,我国国 内生产总值约为( ) (B)120000 亿元

(A)115000 亿元

2 (C) 127000 亿元 (D)135000 亿元 0 0 【巧解】 注意到已知条件给出的数据非常精确, 2001 年国内生产总值达到 95933 8 亿元,精确到亿元,而四个选项提供的数据都是近似值, 精确到千亿元,即后三位都 0 5 是 0,因此,可以从整体上看问题,忽略一些局部的细节. 2 2 3 把 95933 亿元近似地视为 96000 亿元,又把 0.073 近似地视为 0.005 ,这样一来,

就有
95933 ? ?1 ? 7.3% ? ? 96000 ?1 ? 4 ? 0.073 ? 6 ? 0.0732 ?
4

y 2

2 4 0 ? 96000 ? (1 ? 0.292 ? 6 ? 0.005) ? 126720 ? 127000. O 0 ?2 ? 8 巧练一: 如图所示为三角函数 y ? A sin(?x ? ? ) , | ? |? , A ? 0) 的图象的一部 ( 0 2 5 2 态度决定高度 16 努力造就实力 3

3?

x

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分,则此函数的周期 T 可能是( A. C. ?
4?



B. 2? D.
11? 8

巧练二: (全国卷)如图,在多面体 ABCDEF 中,已知面 ABCD 是边长为 3 的正 方形,EF∥AB,EF ? (A)
9 2 3 ,EF 与面 AC 的距离为 2,则该多面体的体积为( E F 2
D C



(B)5
15 (D) 2

(C)6

A

B

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十一、参数法 在解题过程中,适当引入一个或几个新变量代替原式中的某些量,使得原式 中仅含有这些新变量,以此作为媒介,在进行分析和综合,然后对新变量求出结 果,从而解决问题的方法叫参数法。 【例 1】 (2008 年,安徽卷)设椭圆 C : 焦点为 F1 (? 2, 0) (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 当过点 P(4,1) 的动直线 l 与椭圆 C 相交于两不同点 A, B 时, 在线段 AB 上取
??? ??? ? ? ???? ??? ? 点 Q ,满足 AP ? QB ? AQ ? PB ,证明:点 Q 总在某定直线上。

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 过点 M ( 2,1) ,且左 a 2 b2

?c 2 ? 2 ? ?2 1 【 巧 解 】 (1) 由 题 意 : ? 2 ? 2 ? 1 ?a b ?c 2 ? a 2 ? b 2 ?
x2 y2 ? ?1 4 2

, 解 得 a 2 ? 4, b2 ? 2 , 所 求 椭 圆 方 程 为

??? ??? ? ? ???? ??? ? | AP | | AQ | ? (2) 由 AP ? QB ? AQ ? PB 得: 设点 Q、A、B 的坐标分别 | PB | | QB | ??? ??? ???? ??? ? ? ? 为 ( x, y), ( x1 , y1 ), ( x 2 , y2 ) 。 由 题 设 知 AP , PB , AQ , QB 均 不 为 零 , 记 ??? ? ???? AP AQ ? ? ??? ? ??? , 则 ? ? 0 且 ? ? 1 , 又 A , P , B , Q 四 点 共 线 , 从 而 ? ? PB QB

??? ? ??? ???? ? ??? ? AP ? ?? PB, AQ ? ? QB ,

于是 4 ? 从而

x1 ? ? x2 , 1? ?

1?

y1 ? ? y2 , 1? ?

x?

x1 ? ? x2 , 1? ?

y?

y1 ? ? y2 1? ?

x12 ? ? 2x2 2 ? 4 x , ?? ① 1? ?2

y12 ? ? 2y2 2 ? y , ?? ② 1? ? 2

又点 A、B 在椭圆 C 上,即
x12 ? 2 y12 ? 4,?? ③
2 2 x2 ? 2 y2 ? 4,?? ④

① ? ② ? 2 并 结 合 ③ , ④ 得 4 x ? 2 y ? 4 , 即 点 Q( x, y )总 在 定 直 线
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2 x ? y ? 2 ? 0 上。

【例 2】 (2004 年,辽宁卷)设椭圆方程为 x 2 ?

y2 ? 1 ,过点 M(0,1)的直线 4

l 交椭圆于点 A、B,O 是坐标原点,点 P 满足 OP ?

1 (OA ? OB) ,点 N 的坐标为 2

1 1 ( , ) ,当 l 绕点 M 旋转时,求动点 P 的轨迹方程; 2 2

【巧解】直线 l 过点 M(0,1)设其斜率为 k,则 l 的方程为 y ? kx ? 1. 记 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ), 由题设可得点 A、B 的坐标 ( x1 , y1 ) 、 ( x 2 , y 2 ) 是 方程组
?y ? kx?1 ? ? 2 y2 ?1 ?x ? 4 ?
① ②

的解.

将①代入②并化简得, (4 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 3 ? 0 ,所以
2k ? ? x1 ? x 2 ? ? 4 ? k 2 , ? 于是 ? ?y ? y ? 8 . 2 ? 1 4? k2 ?

OP ?

x ? x2 y1 ? y 2 1 ?k 4 (OA ? OB ) ? ( 1 , )?( , ). 2 2 2 2 4? k 4? k2

设点 P 的坐标为 ( x, y), 则
?k ? ?x ? 4 ? k 2 , ? 消去参数 k 得 4 x 2 ? y 2 ? y ? 0 ? 4 ?y ? . ? 4? k2 ?



当 k 不存在时,A、B 中点为坐标原点(0,0) ,也满足方程③,所以点 P 的轨迹方程为 4 x 2 ? y 2 ? y ? 0. 巧练一: (2008 年,全国 I 卷)直线 ( A. a 2 ? b 2 ? 1 ) C.
1 1 1 1 ? 2 ? 1 D. 2 ? 2 ? 1 2 a b a b x y ? ? 1 通过点 M (cos? , sin ? ) ,则有 a b

B. a 2 ? b 2 ? 1

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巧练二: 如图,已知直线 l 与抛物线 x 2 ? 4 y 相切于点 P(2,1),且与 x 轴交于点 A,O 为坐标原点,定点 B 的坐标为(2,0). (I)若动点 M 满足 AB ? BM ? 2 | AM |? 0 ,求点 M 的轨迹 C; (II)若过点 B 的直线 l′(斜率不等于零)与(I)中的轨迹 C 交于不同的两 点 E、F(E 在 B、F 之间) ,试求△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围.

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十二、交轨法 如果所求轨迹是两条动曲线(包括直线)的交点所得,其一般方法是恰当地 引进一个参数,写出两条动曲线的方程,消去参数,即得所求的轨迹方程,所以 交轨法是参数法的一种特殊情况。
2 2 【例 1】 已知椭圆 C:x 2 ? y 2 ? 1 (a ? b ? 0)的离心率为 6 ,短轴一个端点到右焦点 F

a

b

3

的距离为 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 经过椭圆的焦点 F 交椭圆 C 交于 A、B 两点,分别过 A、B 作椭 圆的两条切线,A、B 为切点,求两条切线的交点 P 的轨迹方程。
?c 6 , ? ? 【巧解】 (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,依题意 ? a 3 解之得 c ? 2 ?a ? 3, ?

x2 ?b ? 1 ,?所求椭圆方程为 ? y 2 ? 1 . 3

(Ⅱ)由(I)知 F ( 2 ,0) ,设 A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) ,P( x0 , y 0 ) ,对椭圆 求导:
y ? y1 ? ?

x2 ? y2 ? 1 3

x 2x , 则 过 A 点 的 切 线 方 程 PA 为 ? 2 yy ? ? 0 , 即 y ? ? ? 3y 3

x1 ( x ? x1 ) 整理得 x1 x ? 3 y1 y ? 3 3 y1

① 同理过 B 点的切线方程 PB 为

x 2 x ? 3 y 2 y ? 3 ②,又 P( x0 , y 0 ) 在两切线 PA 、 PB 上,∴ x1 x 0 ? 3 y1 y 0 ? 3
x 2 x0 ? 3 y 2 y 0 ? 3 , 因此,A( x1 , y1 ) ,B( x 2 , y 2 ) 两点在均在直线 x 0 x ? 3 y 0 y ? 3

上, 又∵ F ( 2 ,0) 在直线 x 0 x ? 3 y 0 y ? 3 上, x 0 2 ? 3 y 0 ? 0 ? 3 , x 0 ? ∴ 即
3 2 为交点 2

P 的轨迹方程
【例 2】过抛物线 C: y ? x 2 上两点 M,N 的直线 l 交 y 轴于点 P(0,b). (Ⅰ)若∠MON 是钝角(O 为坐标原点) ,求实数 b 的取值范围; (Ⅱ)若 b=2,曲线 C 在点 M,N 处的切线的交点为 Q.证明:点 Q 必在一
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条定直线上 运动.
2 2 【巧解】 Ⅰ) ( 设点 M, 坐标分别为 ( x1 , x12 ), ( x2 , x2 )( x1 ? x2 ), 则OM ? ( x1 , x12 ), ON ? ( x2 , x2 ). N

由题意可设直线 l 方程为 y=kx+b,由? y ? x 2
? ?MON是钝角,? cos ?MON ? OM ? ON | OM | ? | ON |

?? ? k 2 ? 4b ? 0 ? 消去y得x ? kx ? b ? 0,? ? x1 ? x2 ? k ? y ? kx ? b ? ? x ? x ? ?b ? 1 2
2

? 0, 且 cos ?MON ? ?1.

2 由OM ? ON ? x1 x2 ? x12 x2 ? ?b ? b 2 ? 0, 得0 ? b ? 1.

此时O, M , N三点不共势, cos ?MON ? ?1不成立. ? b的取值范围是(0,1).? 6分 ?

(Ⅱ)当 b=2 时,由(Ⅰ)知 ? ∵函数 y=x2 的导数 y′=2x,

? x1 ? x 2 ? k , ? x1 ? x 2 ? ?b ? ?2,

2 抛物线在 M ( x1 , x12 ), N ( x2 , x2 ) 两点处切线的斜率分别为 k M ? 2 x1 , k N ? 2 x2 , ∴在

点 M,N 处的切线方程分别为
lM : y ? x12 ? 2 x1 ( x ? x1 ),
2 l N : y ? x2 ? 2 x2 ( x ? x2 ).

? y ? x12 ? 2 x1 ( x ? x1 ), ? 由? ( x1 ? x2 ), 解得交点Q的坐标( x, y )满足 2 ? y ? x2 ? 2 x2 ( x ? x2 ) ? x1 ? x2 ? k ? , ?x ? , ?x ? 2 即? 2 ? ? y ? x1 ? x2 , ? y ? ?2, ? ? ? Q点在定直线y ? ?2上运动.

巧练一:已知定点 A(1,0)和定直线 x ? ?1 上的两个动点 E、F,满足 AE ? AF , 动点 P 满足 EP // OA, FO // OP (其中 O 为坐标原点). (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 经过点 M (1,0) 与轨迹 C 交于 A、B 两点,分别过 A、B 作轨迹 C 的两条切线,A、B 为切点,求两条切线的交点 P 的轨迹方程。 巧练二:如图,在以点 O 为圆心,|AB|=4 为直径的半圆 ADB 中,OD⊥AB,P 是 半圆弧上一点, ∠POB=30°. 曲线 C 是满足||MA|-|MB||为定值的动点 M 的轨 迹,且曲线 C 过点 P.

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(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设过点 D 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 E、F. 分别过 E、F.作轨迹 C 的两条切线,E、F.为切点, 求两条切线的交点 Q 的轨迹方程。

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十三、几何法 利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质,发现动点运动规律,然后得 出题目结论的方法叫做几何法。 【例 1】(2008 年,浙江卷)已知 a 、 b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向 量 c 满足 (a ? c) ? (b ? c) ? 0, 则 | c | 的最大值是( (A)1 (B)2 (C) 2 ) (D)
2 2

【巧解】不妨设以 a 、 b 所在直线为 x 轴, y 轴,且 a ? (1,0) , b ?y(0,1) ,
c ? ( x, y ) 由已知 (a ? c) ? (b ? c) ? 0 得 a ? b ? (a ? b) ? c? | c | 2 ? 0 ,
C O

|c|
x

整理得 x 2 ? y 2 ? x ? y ? 0
1 1 1 1 1 即 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? ,所以向量 c 的坐标是以 ( , ) 为圆心, 2 2 2 2 2

2 为半径的一个圆且过原点, | c | 的最大值即为圆的直径为 2 , 故 故本题选 (C) 2

【例 2】 (2008 年,江苏卷)若 AB=2,AC= 2 BC, 则S ?ABC 的最大值

.

【巧解】建立如图平面直角坐标系,设 C ( x, y ) , A(0,0) ,B(2,0) ,由 AC ? 2 BC 即 | AC |? 2 | BC | ,∴ x 2 ? y 2 ? 2 ( x ? 2) 2 ? y 2 , 化简得 x ? 8 x ? y ? 8 ? 0
2 2

y

C ( x, y )
D(4,0)

配方得 ( x ? 4) ? y ? 8 ,所以 C 点轨迹是以 D(4,0) 为圆心,
2 2

A

B(2,0)

x

2 2 为半径的一个圆(除去与 x 轴的两个交点) ,所以当 C 点纵坐标绝对值为
2 2 ,即 | y |? 2 2 时, S ?ABC 有最大值为
2?2 2 ? 2 2 ,所以答案为 2 2 2

巧 练 一 : 已 知 A(m ? 为 .

1 1 , m ? ) , B(1,0) , 其 中 m ? 0 , 则 | AB | 的 最 小 值 m m

巧练二:已知实数 x 、 y 满足 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 6 ,则 2 x ? y 的最 大值等于 .
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十四、弦中点轨迹法 有关弦中点的问题,主要有三种类型:过定点且被定点平分的弦;平行弦的 中点轨迹;过定点的弦重点轨迹。 “点差法”解决有关弦中点问题较方便,要点 是巧代斜率。 【例 1】 (2009 年高考海南、宁夏卷)已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 , F (1,0) ,直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点,若 AB 的中点为(2,2) 则直线 l 的方程为 .

【巧解】由 F (1,0) 知抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4 x ,设 A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) ,代
2 2 入抛物线方程则有: y12 ? 4x1 , y 2 ? 4x 2 ,两式相减有 y12 ? y 2 ? 4( x1 ? x2 ) ,



y1 ? y 2 ( y1 ? y 2 ) ? 4 ? k ( y1 ? y 2 ) ? 4 ,又 x1 ? x 2

y1 ? y 2 ? 4 ,∴ 4k ? 4 ,即 k ? 1 。

故 l AB : y ? 2 ? x ? 2 ,即 y ? x ,∴本题应填 y ? x 【例 2】 椭圆 ax 2 ? by 2 ? 1 与直线 y ? 1 ? x 交于 A 、B 两点, 若过原点与线段 AB
a 中点的直线的倾斜角为 30 0 ,则 的值为 b


3 2

) (D) 3

(A)

3 4

(B)

3 3

(C)

【巧解】设 AB 的中点为 M ( x 0 , y 0 ) , A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? 2x0
?ax 2 ? by12 ? 1 y1 ? y 2 ? 2 y 0 ,又 ? 12 ,两式相减,得 2 ?ax2 ? by2 ? 1

a( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ? b( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? 0
2ax0 ( x1 ? x 2 ) ? 2by0 ( y1 ? y 2 ) ? 0 ,∴



ax y1 ? y 2 ? ? 0 ? ?1 x1 ? x 2 by0



ax0 y 3 a 3 ? 1 ,又 0 ? tan 30 0 ? ,∴ ? ,故选(B) x0 3 by 0 b 3

巧练一:若椭圆 mx 2 ? ny 2 ? 1 与直线 x ? y ? 1 ? 0 交于 A 、 B 两点,过原点与线 段 AB 中点的直线的斜率为
2 n ,则 的值为 2 m
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.

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巧练二:若椭圆 为 .

x2 y2 ? ? 1 的弦被点 P(4,2) 平分,则此弦所在直线的斜率是 36 9

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十五、比较法 现实世界的同类量之间,有相等关系,也有不等关系。两个可以比较大小 的量 a 和 b , a ? b ? 0 , ? b ? 0 , ? b ? 0 , 若 则它们分别表示 a ? b , ? b , ? b , a a a a 我们把根据两个量的差的正、 负或零判断两个量不等或相等的方法叫做差式比较 法; 当两个量均为正值时, 有时我们又可以根据
a a a ? 1 , ? 1 或 ? 1 来判断 a ? b , b b b

a ? b , a ? b ,这个方法叫做商式比较法。这两种方法在数列与函数、不等式交

汇问题中应用广泛。 比较法之一(作差法 0 步骤:作差——变形——定号——结论 (1)作差:对要比较大小的两个数(或式)作差。 (2)变形:常采用配方、因式分解等恒等变形手段,将“差”化成“积” 。 (3)定号:就是确定是大于 0 ,还是等于 0 ,还是小于 0 ,最后下结论。 概括为“三步,一结论” ,这里的“定号”是目的, “变形”是关键。 注意:若两个正数作差比较有困难,可以把式子灵活变形,通过作商或将它们 的平方差来比较大小。

【例 1】已知数列 ?a n ?中, a1 ? 1 ,且点 P(a n , a n?1 )( n ? N * ) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上 (1)求 ?a n ?的通项公式; (2)若函数 f (n) ? 小值. 【巧解】 (1)?点 P(an , an?1 ) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上,即 an?1 ? an ? 1 且 a1 ? 1
1 1 1 ? ? ... ? (n ? N , n ? 2) ,求函数 f (n) 的最 n ? a1 n ? a 2 n ? an

?数列 {a n } 是以 1为首项, 1 为公差的等差数列
? an ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? an ? n

(2)? f (n) ?

1 1 1 , ? ? ?? n ?1 n ? 2 2n
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1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ? n?2 n?3 2n 2n ? 1 2n ? 2 1 1 1 1 1 1 ? f (n ? 1) ? f (n) ? ? ? ? ? ? ?0 2 n ? 1 2n ? 2 n ? 1 2 n ? 2 2n ? 2 n ? 1 7 ? f (n) 是单调递增的,故 f (n) 的最小值是 f (2) ? 12 f (n ? 1) ?

【例 2】 (Ⅰ)已知函数 f ( x) ? ?3x 2 ? 6 x ? 2.S n 是数列 {a n } 的前 n 项和,点 (n,Sn) (n∈N*) ,在曲线 y ? f ( x) ? 2 上,求 an.
a ?b 1 (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若 bn ? ( ) n ?1 , c n ? n n ,且 Tn 是数列{cn}的前 n 项 2 6

和.试问 Tn 是否存在最大值?若存在,请求出 Tn 的最大值,若不存在,请说明理 由. 【巧解】 (Ⅰ)点(n,Sn)在曲线 y ? f ( x) ? 2 上,所以 sn ? ?3n 2 ? 6n. 当 n=1 时,a1= S1=3,当 n≥2 时,an= Sn- Sn-1=9-6n,
? an ? 9 ? 6n.

1 1 9 ? 6n 1 n?1 1 (Ⅱ)? bn ? ( )n?1 , cn ? anbn ? ( ) ? (3 ? 2n)( ) n , 2 6 6 2 2 1 1 2 1 n ?Tn ? c1 ? c1 ? ? ? cn ? ? ( ) ? ? ? (3 ? 2n)( ) . 2 2 2 1 利用错位相减法,? Tn ? (2n ? 1)( ) n ? 1. 2 1 1 ? Tn ? 1 ? (2n ? 1)( )n ? 0, Tn?1 ? 1 ? (2n ? 3)( ) n?1 ? 0, 2 2 1 (2n ? 1)( ) n Tn ? 1 2 ? 1, ? ? 1 n ?1 Tn ?1 ? 1 (2n ? 3)( ) 2
? Tn ?1 ? 1 ? Tn ? 1, 1 ? Tn ?1 ? Tn ? ? ? T1 ? . 2

1 存在最大值 T1 ? . 2

巧练一: (2005 年,全国卷)若 a ? ln 2 , b ? ln 3 , c ? ln 5 ,则
2 3 5



) B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c

A.a<b<c

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3 5 巧练二:已知函数 f ( x) ? a ? 2 x ? b 的图象过点 A(1, ), B(2, ). 2 2

(Ⅰ)求函数 y ? f (x) 的反函数 y ? f (Ⅱ)记 a n ? 2 f 使得 (1 ? 最 大值;若不存在,请说明理由.
?1

?1

( x) 的解析式;

(n)

(n ? N *) ,是否存在正数 k,

1 1 1 求出 k 的 )(1 ? ) ?(1 ? ) ? k 2n ? 1对n ? N * 均成立.若存在, a1 a2 an

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十六、基本不等式法 借助基本不等式证明不等式或求某些函数最值的方法叫基本不等式。 常用的基本不等式有下面几种形式:①若 a 、b ? R ,则 a 2 ? b 2 ? 2ab , (当 且仅当 a ? b 时取等号) ,反之 ab ?
a2 ? b2 也成立,②若 a ? 0 、 b ? 0 ,则 2

a ? b ? 2 ab , (当且仅当 a ? b 时取等号) ,反之 ab ? (

a?b 2 ) 也成立。③若 2

则 (当且仅当 a ? b ? c 时取等号) , a 、b 、c 都是正数, a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc , 反之 ab? c
a3 ? b3 ? c3 也成立。④若 a 、 b 、 c 都是正数,则 2

a ? b ? c ? 33 abc , 当且仅当 a ? b ? c 时取等号) 反之 abc ? ( ( ,

a?b?c 3 ) 也 2

成立。对于公式 a 2 ? b 2 ? 2ab 及公式 a ? b ? 2 ab 的理解,应注意以下几 点: ①两个公式成立的条件是不同的,前者只要求 a 、 b 是实数,而后者强 调 a 、b 必须是正数。②要对两个公式的等号及“当且仅当 a ? b 时取等号” 的含义要有透彻的理解并会在函数、三角函数、解析几何等知识中灵活应 用。 解题功能及技巧是:①二、三元不等式具有将“和式”转化为“积式” 和将“积式”转化为“和式”的放缩功能。②在创设应用不等式的使用条 件时,合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧。③“和定积最大,积定 和最小” n 个 (n ? 2,3) 正数的和为定值,则可求积的最大值,积为定值, ,即 则可求和的最小值。 应用此结论求某些函数最值要注意三个条件: “一 就是 正——各项都是正数;二定——积或和是定值;三等——等号能否取到” , 求最值时,若忽略了上述三个条件,就会出现错误,导致解题失败。必要 时要做适当的变形或换元,以满足上述条件。 【例 1】 (2008 年, 重庆卷) 函数 f x) ( =
1 1 (A)[- , ] 4 4
sin x (0≤x≤2 ? ) 的值域是 ( 5 ? 4 cos x



1 1 (B)[- , ] 3 3
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1 1 (C)[- , ] 2 2

2 2 (D)[- , ] 3 3
sin x 5 ? 4 cos x

【巧解】∵ f ( x) ?

,∴ f 2 ( x) ?

sin 2 x ? cos2 x ? 1 ? 5 ? 4 cos x 5 ? 4 cos x

令 t ? 5 ? 4 cos x ,∵ 0 ? x ? 2? , ? 1 ? cos x ? 1 ,∴ t ? 0 ∴ cos x ?
??

t ?5 ? cos x ? 1 ,∴ ? 4 5 ? 4 cos x
2

?(

5?t 2 ) ?1 1 9 4 ? ? (t ? ? 10) t 16 t

1 9 1 9 (2 t ? ? 10) ? , 当 且 仅 当 t ? , 即 t ? 3 时 取 等 号 , 此 时 16 t 4 t

1 2? 4? 1 1 1 或 ,∴ f 2 ( x) ? ,因而 ? ? f ( x) ? ,故 f (x) c o sx ? ? ,即 x ? 3 2 3 4 2 2 1 1 的值域为[- , ] 2 2

【 例 2 】 2008 年 , 辽 宁 卷 ) 设 x ? (0, ), 则 函 数 y ? ( 2 为 .

?

2 sin 2 x ? 1 的最小值 sin 2 x

【巧解】由二倍角公式及同角三角函数的基本关系得:
y? 2 sin 2 x ? 1 2 sin 2 x ? 1 3 sin 2 x ? cos2 x 3 tan 2 x ? 1 3 1 ? ? ? = tan x ? , sin 2 x 2 sin x cos x 2 sin x cos x 2 tan x 2 2 tan x

3 1 ? ? 3 ,当且仅当 ∵ x ? (0, ), ∴ tan x ? 0 ,利用均值定理, y ? 2 tan x ? 2 2 tan x 2

tan 2 x ?

1 时取“=” ,∴ y min ? 3 ,所以应填 3 . 3
x2 ? x ?1 ( x ? 0) 的最小值是 x 2 ? 2x ? 1

巧练一:函数 y ?



1 巧练二:求函数 y ? x 2 (1 ? 5 x)(0 ? x ? ) 的最大值。 5

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十七、综合法 利用某些已知证明过的不等式和不等式的性质, 推导出所要证明的不等式, 这个证明方法叫综合法。
a b 【例 1】已知 a, b 是正数,且 ? ? 1 , x, y ? (0, ??) ,求证: x ? y ? ( a ? b )2 x y a b bx ay 【巧证】左 ? x ? y ? ( x ? y ) ? ( ? ) ? a ? b ? ? ? a ? b ? 2 ab ? ( a ? b ) 2 x y y x

? 右,当且仅当

x2 a ay bx ,即 2 ? 时,取“=”号,故 x ? y ? ( a ? b )2 。 ? y b x y

1 1 1 【例 2】已知 a, b, c 是正数,且 a ? b ? c ? 1,求证: ? ? ? 9 a b c 1 1 1 a ?b?c a ?b?c a ?b?c b a c a c b 【巧证】 ? ? ? ? ? ? 3? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) a b c a b c a b a c b c 1 ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 ? 9 ,当且仅当 a ? b ? c ? 时取“=”号。 3 1 2 巧练一:已知函数 f ( x) ? x ? ln x .设 g ( x) ? f ?( x) , 2

求证: [ g ( x)] n ? g ( x n ) ? 2 n ? 2 (n ? N * ) . 巧练二:已知 a, b, c, d 都是实数,且 a 2 ? b2 ? 1 , c 2 ? d 2 ? 1 ,求证: | ac ? bd |? 1

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十八、分析法 证明不等式时, 有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充 分条件, 把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题,如果能够肯定 这些充分条件都具备,那么就可以判定原不等式成立,这种方法通常叫分析法。 注意:①分析法是“执果索因” ,步步寻求不等式成立的充分条件,可以简 单写成
B ? B1 ? B2 ? ? Bn ? A ,②分析法与综合法是对立统一的两种方法。综

合法是“由因导果” ;③分析法论证“若 A 则 B ”这个命题的证明模式(步骤) 是: 欲证明命题 B 成立,只须证明命题 B1 成立,? ,从而有 ? ,只须证明命题 B 2 成 立,从而又有 ? ,只须证明命题 A 成立,而已知 A 成立,故 B 必成立。④用分 析法证明问题时,一定要恰当用好“要证”“只须证”“即证”“也即证”等词 , , , 语。 【例 1】求证 3 ? 7 ? 2 ? 6 【巧证】∵ 3 ? 7 ? 0 , 2 ? 6 ? 0 ,要证 3 ? 7 ? 2 ? 6 , 只须证 ( 3 ? 7 ) 2 ? (2 ? 6 ) 2 ,即证 10 ? 2 21 ? 10 ? 2 24 也即证
21 ? 24 , ∵ 21 ? 24 , 21 ? 24 显 然 成 立 , ∴ 原 不 等 式

3 ? 7 ? 2 ? 6 成立。

【例 2】设 a ? 0 , b ? 0 ,且 2c ? a ? b ,证明 c ? c 2 ? ab ? a ? c ? c 2 ? ab 【巧证】要证 c ? c 2 ? ab ? a ? c ? c 2 ? ab 只须证 ? c 2 ? ab ? a ? c ? c 2 ? ab ,即证 | a ? c |? c 2 ? ab 两边平方得:a 2 ? 2ac ? c 2 ? c 2 ? ab , 也即证 a 2 ? ab ? 2ac , a ? 0 且 2c ? a ? b ∵ ∴ a 2 ? ab ? 2ac 显然成立,∴原不等式成立。 巧练一:求证 3 ? 7 ? 2 5
1 1 25 巧练二:已知 a ? 0 , b ? 0 , a ? b ? 1 ,试证明: (a ? )(b ? ) ? a b 4
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十九、放缩法 欲证 A ? B , 可通过适当放大或缩小, 借助一个或多个中间量, 使得 B ? B1 , 。。 。。 B1 ? B2 ,。 Bi ? A 或 A ? A1 , A1 ? A2 ,。 Ai ? B ,在利用传递性,达到欲证 的目的,这种方法叫放缩法。放缩法的实质是非等价转化,放缩没有一定的准则 和程序,需按题意适当放缩否则是达不到目的,此方法在数列与函数、不等式综 合问题中证明大小关系是常用方法。 放缩法的方法有: (1) 添加或舍去一些项,如: a 2 ? 1 ?| a | ; n(n ? 1) ? n (2)将分子或分母放大(或缩小) (3)利用基本不等式,如: n(n ? 1) ? (4)利用常用结论:① k ? 1 ? k ?
n ? (n ? 1) 2
1 k ?1 ? k ? 1 2 k





1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ; 2 ? ? ? (程度大) 2 k (k ? 1) k ? 1 k k (k ? 1) k k ? 1 k k



1 4 4 4 1 1 ? 2 ? 2 ? ? 2( ? ) (程度小) 2 2k ? 1 2k ? 1 k 4k 4k ? 1 (2k ? 1)( 2k ? 1)

2k 2k 2 k ?1 1 1 ? k ? k ? k ?1 ? k ④ k 2 k k ?1 (2 ? 1) (2 ? 1)( 2 ? 2) (2 ? 1)( 2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1

【例 1】已知数列 {an }中, a1 ? 2, an an?1 ? a n?1 ? 2a n (n ? N *). (1)求 {a n } 的通项公式; (2)设 bn ? a n (a n ? 1)( n ? N *), S n 是数列{bn }的前n项和, 证明 : 【巧解】由 a n a n ?1 ? a n ?1 ? 2a n , 得1 ?
1 a n ?1 1 2 ? a n a n ?1

3 ? S n ? 3. 4



?1 ?

2n 1 1 1 1 1 1 ( ? 1). ? ? 1 ? ? ? ( ) n ?1 ? ? n , ? a n ? n . 2 an an 2 2 2 2 ?1

(2)当 n=1 时, S1 ? a1 (a1 ? 1) ? 2,
2n 2n 2n 3 ( n ? 1) ? n ? ? S1 ? 3, ? n ? 2时, bn ? a n (a n ? 1) ? n 2 ?1 2 ?1 (2 ? 1) 2 4
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?

2n 2 n ?1 1 1 ? n ? n ?1 ? n , n n n ?1 (2 ? 1)( 2 ? 2) (2 ? 1)( 2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1

? Sn ? 2 ? ( ? 3?
n

1 1 1 1 1 1 ? 2 )?( 2 ? 3 ) ? ? ? ( n?1 ? n ) 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1

1 ? 3. 2 ?1
2n (2 n ? 1) ? 1 1 1 ? ? n ? n n 2 n 2 (2 ? 1) (2 ? 1) 2 ? 1 (2 ? 1) 2

又? n ? N * 时, bn ?

1 1 1 1 [(1 ? ( ) n ] [1 ? ( ) n ] 1 1 2 2 ?4 4 ? n ? ( n ) ? Sn ? 2 1 1 2 2 1? 1? 2 4 1 1 1 ? 1 ? ( ) n ? [1 ? ( ) n ] 2 3 4 4 1 1 1 4 1 1 1 3 ? ? ( )n ? ? ( )n ? ? ? ? ? . 3 2 3 4 3 2 3 4 4 3 ?当n ? N * 时, 都有 ? S n ? 3. 4
【例 2】已知数列 ?a n ?的各项均为正数,Sn为其前n项和, 对于任意n ? N * , 满足关系
S n ? 2a n ? 2

(Ⅰ)求数列 ?a n ?的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?bn ?的前 n 项和为 Tn,且 bn ? n,总有 Tn ? 2; 【巧解】 (Ⅰ)解:? S n ? 2a n ? 2(n ? N * ),
? S n ?1 ? 2a n ?1 ? 2(n ? 2, n ? N * )

1 ,求证:对任意正整数 (log 2 a n ) 2




(n ? 2, n ? N * )

①—②,得 a n ? 2a n ? 2a n ?1 .
? a n ? 0, ?

an ? 2. a n ?1

(n ? 2, n ? N * )

即数列 ?a n ?是等比数列. ? a1 ? S1 ,
? a1 ? 2a1 ? 2,即a1 ? 2. ? a n ? 2 n.( n ? N * )

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(Ⅱ)证明:∵对任意正整数 n,总有 bn ?

1 1 ? 2. 2 (log 2 a n ) n

? Tn ?

1 1 1 1 1 1 ? 2 ??? 2 ? 1? ? ??? 2 1? 2 2 ? 3 (n ? 1)n 1 2 n

? 1?1?

1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? 2 ? ? 2. 2 2 3 n ?1 n n

巧练一:已知数列{ a n }的通项为 a n ,前 n 项和为 S n ,且 a n 是 S n 与 2 的等差中项; 数 列{ bn }中, b1 ? 1, 点 P( bn , bn?1 )在直线 x ? y ? 2 ? 0 上, (Ⅰ)求数列{ a n }、{ bn }的通项公式 a n , bn ; (Ⅱ)设{ bn }的前 n 项和为 Bn ,试比较
1 1 1 ? ??? 与 2 的大小; B1 B2 Bn

巧练二:已知数列 {an }和{bn }, {an }的前n项和为S n , a2 ? 0 ,且对任意 n ? N ? ,都有
2S n ? n(a n ? 1), 点列Pn (a n , bn )都在直线y ? 2 x ? 2 上.

(1)求数列{ a n }的通项公式; (2)求证:
1 | P1 P2 | 2 ? 1 | P1 P3 | 2 ??? 1 | P1 Pn | 2 ? 2 (n ? 2, n ? N ? ) 5

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二十、反证法 从否定命题的结论入手,并把对命题结论的否定作为推理的已知条件,进 行正确的逻辑推理,使之得到与已知条件、公理、定理、法则或已经证明为正确 的命题等相矛盾,矛盾的原因是假设不成立,所以肯定了命题的结论,从而使命 题获得了证明的证明方法叫反证法。基本证明模式是:要证明 M ? N ,先假设
M ? N ,由已知及性质推出矛盾,从而肯定 M ? N ,适用范围:①否定性命题;

②唯一性命题;③含有“至多”“至少”问题。④根据问题条件和结论,情况复 、 杂难于入手,可考虑试用反证法。 反证法是属于“间接证明法”一类,是从反面的角度思考问题的证明方法, 即:否定结论 ? 推导出矛盾 ? 肯定结论成立,应用反证法证明的主要三步是: 第一步,反设——作出与求证结论相反的假设;第二步——归谬:将反设作为条 件,并由此通过一系列的正确推理导出矛盾;第三步——肯定结论:说明反设不 成立,从而肯定原命题成立。 【例 1】若 0 ? a ? 2, 0 ? b ? 2, 0 ? c ? 2, 证明 (2 ? a)b , (2 ? b)c , (2 ? c)a 不能 同时大于 1
?(2 ? a )b ? 1 (2 ? a) ? b ( 2 ? b) ? c ? 【巧证】 假设 ? (2 ? b)c ? 1 , 那么 同理 ? (2 ? a)b ? 1 ; ?1 2 2 ?( 2 ? c ) a ? 1 ?

( 2 ? c) ? a ? 1 ,上述三式相加得 3 ? 3 ,矛盾,故假设不成立,原命题成立 2

【例 2】求证: y ? sin | x | 不是周期函数 【巧证】假设函数 y ? sin | x | 是周期函数, T 是它的一个周期 (T ? 0) ,即对任 意 x ? R 都有 sin | x ? T |? sin | x | 成立,令 x ? 0 ,得 sin | T |? sin | 0 |, 即 sin | T |? 0 , ∴ T ? n? (n ? N ? ) ,分两种情况讨论: ( 1 ) 若 n ? 2k (k ? N ? ) , 则 s in| x ? 2k? |? s in| x | 对 任 意 x ? R 都 成 立 , 取
x?? 3? , 2 3? 3? 3? 3? 有 sin | ? ? 2k? |? sin | ? |? sin ? ?1 ,即 sin(2k? ? ) ? ?1 , 2 2 2 2

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而 sin(2k? ? 期。

3? 3? 3? ) ? sin(? ) ? ? sin ? 1 ,∴ T ? 2k? (n ? N ? ) 不是该函数的周 2 2 2

(2)若 n ? 2k ? 1(k ? N ? ) ,则有 sin | x ? (2k ? 1)? |? sin | x | 对任意 x ? R 都成立, 取x?

?
2

,有有 sin |

?
2

? (2k ? 1)? |? sin |

?
2

|? sin

?
2

? 1 ,即 sin(2k? ?

而 sin(2k? ?

3? 3? ) ? sin( ) ? ?1 ,∴ T ? (2k ? 1)? (n ? N ? ) 不是该函数的周期。 2 2

3? ) ?1, 2

由(1)和(2)说明 T ? n? (n ? N ? ) 不是该函数的周期。故假设不成立,从而命 题得证。 巧练一:设 f ( x) ? x 2 ? ax ? b ,求证 | f (1) | 、| f (2) | 、| f (3) | 之中至少有一个不小 于
1 2

巧练二:若下列方程: x 2 ? 4ax ? 4a ? 3 ? 0 , x 2 ? (a ? 1) x ? a 2 ? 0 ,
x 2 ? 2ax ? 2a ? 0 至少有一个方程有实根。试求实数 a 的取值范围。

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二十一、换元法 解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问 题得到简化,这叫换元法。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的 变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联 系起来。 或者变为熟悉的形式, 把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、 化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、 函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是 变换研究对象, 将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标 准化、复杂问题简单化,变得容易处理。换元的方法有: (1)局部换元,局部换 元又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来 代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式
4 x ? 2 2 ? 2 ? 0 ,先变形为设 t ? 2 x (t ? 0) ,而变为熟悉的一元二次不等式求解和

指数方程的问题。 (2)三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时, 主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。 如 求 函 数 y ? x ? 1 ? x 的 值 域 时 , 易 发 现 x ? [0,1] 设 x ? sin 2 ? ,

? ? ? [0, ] ,问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设,其中主
2

要应该是发现值域的联系,又有去根号的需要。如:已知 x 2 ? y 2 ? a 2 ,可设

x ? a cos? , y ? a sin ? (0 ? ? ? 2? )
已知 x 2 ? y 2 ? 1 ,可设 x ? r cos? , y ? r sin ? (0 ? ? ? 2? ,0 ? r ? 1) 已知
x2 y2 ? ? 1 ,可设 x ? a cos? , y ? b sin ? (0 ? ? ? 2? ) a2 b2

x2 y2 已知 2 ? 2 ? 1 ,可设 x ? a sec? , y ? b tan ? a b

(3)均值换元,如遇到 x ? y ? S 形式时,设 x ?

S S ? t y ? ? t 等等。 2 2

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我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注重新 变量范围的选取, 一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围,不能缩小也不 能扩大。
1 【 例 1 】 2008 年 , 江 西 卷 ) 若 函 数 y ? f (x) 的 值 域 是 [ ,3] , 则 函 数 ( 2
F ( x) ? f ( x) ? 1 的值域是( f ( x)


5 10 C. [ , ] 2 3

10 ] 3 1 1 1 【巧解】令 f ( x) ? t , t ? [ ,3] ,问题转化为求函数 y ? t ? 在 t ? [ ,3] 的值域, 2 t 2 1 1 10 于是由函数 y ? t ? 在 [ ,1] 上为减函数,在 [1,3] 上为增函数,得 y ? [2, ] , t 2 3

1 A. [ ,3] 2

B. [2,

10 ] 3

D. [3,

故本题选 B 【例 2】 (2008 年,重庆卷)函数 f ( x) ? 是() (A)[-
2 ,0 ] 2
2 0 0 (D)[- 3,0 ] 8 0 sin x ? 1 8 sin 2 x ? cos2 x ? 2 cos x ? 2 sin x ? 2 0 7

sin x ? 1 3 ? 2 cos x ? 2 sin x

(0 ? ? ? 2? ) 的值域

(B)[-1,0]

(C)[- 2,0 ] 【巧解】 f ( x) ?
sin x ? 1 3 ? 2 cos x ? 2 sin x
s i n ?1 x

?

?

( s i x ? 1) 2 ? ( c o xs? 1) 2 n

,当 sin x ? 1 时,

原式 ? ?
1? (

1 cos x ? 1 2 ) sin x ? 1

,令 t ?

cos x ? 1 ,即 t sin x ? cos x ? t ? 1 , sin x ? 1

∴ t 2 ? 1 sin(x ? ? ) ? t ? 1 ,即 sin(x ? ? ) ?

t ?1

1 ? ,其中 tan ? ?| | , 0 ? ? ? t 2 t2 ?1
t ?1 t2 ?1 |? 1 , 解 之 得 t ? 0 , ∴

又 0 ? ? ? 2? , ∴ | sin(? ? ? ) |? 1 , 即 |

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?1? ?

1 1? t2

? 0 ,当 sin x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,综上知 f (x) 的值域为 [?1,0] ,

故本题选 B 巧练一:函数 f ( x) ? 4 x ? 2 x ?1 ? 2 的值域是 A. [1,??) B. (2,??) C. (3,??) ( D. [4,??) ) )

巧练二:(2005 年,福建卷)设 a, b ? R, a 2 ? 2b 2 ? 6, 则a ? b 的最小值是( A. ? 2 2 B. ?
5 3 3

C.-3

D. ?

7 2

共 98 种解题方法,其他略

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