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2018-2019学年人教版高中数学选修1-1课件:第三章 3.1 3.1.1&3.1.2 变化率问题 导数的概念_图文

3.1.1&3.1.2 变化率问题 导数的概念 预习课本 P72~76,思考并完成以下问题 1.平均变化率的定义是什么?平均变化率的几何意义是什么? 2.瞬时变化率的定义是怎样的?如何求瞬时变化率? 3.如何用定义求函数在某一点处的导数? [新知初探] 1.函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率 Δy (1)定义式:Δx= f?x2?-f?x1? x2-x1 . (2)实质: 函数值 的改变量与 自变量 的改变量之比. (3)意义:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的 快慢 . (4)平均变化率的几何意义: 设 A(x1, f(x1)), B(x2, f(x2))是曲线 y=f(x)上任意不同的两点, Δy f?x2?-f?x1? 函数 y=f(x)的平均变化率 = = Δx x2-x1 f?x1+Δx?-f?x1? 为割线 AB 的斜率,如图所示. Δx [点睛] Δx 是变量 x2 在 x1 处的改变量,且 x2 是 x1 附近的任意一点,即 Δx=x2-x1≠0,但 Δx 可以为正, 也可以为负. 2.函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 Δy li m = Δ x Δx→0 定义式 f?x0+Δx?-f?x0? li m Δx Δx→0 实质 作用 [点睛] 瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0 时, 平均变化率 趋近的值 刻画函数在 某一点处变化的快慢 “Δx 无限趋近于 0”的含义 Δx 趋于 0 的距离要多近有多近, 即|Δx-0|可以小于给定 的任意小的正数,且始终 Δx≠0. 3.导数的概念 f?x0+Δx?-f?x0? lim Δx Δx → 0 定义式 Δy li m = Δ x Δx→0 记法 f′(x0) 或y′|x=x 0 实质 函数y=f(x)在x=x0处的导数就是y= f(x)在x=x0处的 瞬时变化率 [小试身手] 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数值与 Δx 值的正、负无关. ( √) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1,x2]上变化快慢的物 理量. (3)在导数的定义中,Δx,Δy 都不可能为零. ( ×) ( ×) 2. 质点运动规律为 s(t)=t2+3, 则从 3 到 3+Δt 的平均速度为( A.6+Δt C.3+Δt 9 B.6+Δt+ Δt D.9+Δt ) 答案:A 3.已知函数 f(x)=2x2-4 的图象上两点 A,B,且 xA=1,xB=1.1, 则函数 f(x)从 A 点到 B 点的平均变化率为 A.4 C.4.2 答案:C ( ) B.4x D.4.02 f?x0+Δx?-f?x0? 4.在f′(x0)= lim 中,Δx不可能为 Δ x → Δx 0 A.大于0 C.等于0 B.小于0 D.大于0或小于0 ( ) 答案:C 求函数的平均变化率 [典例] 求函数f(x)=x2在x=1,2,3附近的平均变化率, 1 取Δx的值为 ,哪一点附近的平均变化率最大? 3 [ 解] 在 x=1 附近的平均变化率为 f?1+Δx?-f?1? ?1+Δx?2-1 k1 = = =2+Δx; Δx Δx 在 x=2 附近的平均变化率为 f?2+Δx?-f?2? ?2+Δx?2-22 k2 = = =4+Δx; Δx Δx 在x=3附近的平均变化率为 f?3+Δx?-f?3? ?3+Δx?2-32 k3= = =6+Δx; Δx Δx 1 1 7 1 13 若Δx= ,则k1=2+ = ,k2=4+ = , 3 3 3 3 3 1 19 k3=6+ = , 3 3 由于k1<k2<k3, 故在x=3附近的平均变化率最大. 求平均变化率的步骤 (1)先计算函数值的改变量 Δy=f(x1)-f(x0). (2)再计算自变量的改变量 Δx=x1-x0. Δy f?x1?-f?x0? (3)求平均变化率 = . Δx x1-x0 [活学活用] 求函数 y=x3 从 x0 到 x0+Δx 之间的平均变化率,并计算当 1 x0=1,Δx= 时平均变化率的值. 2 解:当自变量从x0变化到x0+Δx时,函数的平均变化率为 3 3 Δy f?x0+Δx?-f?x0? ?x0+Δx? -x0 = = Δx Δx Δx 2 =3x2 0+3x0Δx+(Δx) , 1 当x0=1,Δx= 时平均变化率的值为 2 1 ?1?2 19 3×1 +3×1× +?2? = . 2 ? ? 4 2 求瞬时速度 [典例] 一做直线运动的物体,其位移 s 与时间 t 的关系 是 s(t)=3t-t2. (1)求此物体的初速度; (2)求此物体在 t=2 时的瞬时速度. [解] (1)当 t=0 时的速度为初速度.在 0 时刻取一时间段[0,0 +Δt],即[0,Δt], ∴Δs=s(Δt)-s(0)=[3Δt-(Δt)2]-(3× 0-02)=3Δt-(Δt)2, Δs 3Δt-?Δt? Δs = =3-Δt, lim = lim (3-Δt)=3. Δt Δt Δ t Δx → 0 Δx → 0 ∴物体的初速度为 3. 2 (2)取一时间段[2,2+Δt], ∴Δs=s(2+Δt)-s(2) =[3(2+Δt)-(2+Δt)2]-(3×2-22) =-Δt-(Δt)2, 2 - Δ t - ? Δ t ? Δs = =-1-Δt, Δt Δt Δs li m =li m (-1-Δt)=-1, Δ t Δx→0 Δx→0 ∴当 t=2 时,物体的瞬时速度为-1. 1.求运动物体瞬时速度的三个步骤 (1)求时间改变量 Δt 和位移改变量 Δs=s(t0+Δt)-s(t0). Δs (2)求平均速度 v = ; Δt Δs (3)求瞬时速度,当 Δt 无限趋近于 0 时, 无限趋近于常数 Δ

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