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高考数学基础强化方法


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高考数学基础强化方法
爱学网编辑 一、复习现状 又到一年高三复习时,很多老师都觉得很难复习,因为从 07 年第一年新课改高考 以来,广东高考试卷给人的感觉是难易不定,考察重点和难点不定,甚至有部分题目给 人超纲的感觉。尤其是近两年,10 年高考后,让很多老师和同学看到了复习和考试的曙 光,考试简单了,常规了。而 11 年广东高考数学彻底颠覆了 10 年试题给人的感觉,10 年不考的 11 年考了,11 年不难的 11 年难了, “难到让一些学生无从下手” ,而也正因为 这样,让一些老师感觉复习无从做起。于是一些老师开始寻求各类“考试信息” ,备考 中臆测高考的压轴点。同时一些学生复习走进了死胡同,在大搞“题海”战术的同时, 盲目选择练习题。如何避免这种情况,让复习备考更有针对性,更有实效,更轻松。笔 者认为最关键的是回归基础,以不变应万变,淡定应考。 二、考题实况 何谓基础,基础主要包括基础知识,基本方法,基本技能。 认真研究 07-11 年广东高考试题文科卷会发现在高考试题可以大致分为三类: 基础 题,能力提升题,能力突破题。其中基础题要求学生掌握基础知识,能按规范步骤准确 运算就可得分,部分为送分题;能力提升题要求学生掌握一定的基本方法,并且能根据 具体情况应用基础方法, 为中等题。 能力突破题要求学生在掌握 3 基, 并且能进行化归, 能认清问题的本质,寻找合适的突破口,一般为难题。 基础题 2007 年 7,8,9,10,11, , 12,13,14,15, 16,17,18 2008 年 1,2,3,4,5,6, 108 分 7,8,9,10,11, 12,13,15,16, 17,19 2009 年 1,2,3,4,5,6, 103 分 7,8,9, 11,12, 13,14,15,16, 17,18 2010 年 1,2,3,4,5,6, 117 分 7,8,9,10,11, 10 5分 20,21 28 分 10,19 19 分 20,21 28 分 14,18 14 分 20,21 28 分 分值 能力提升 19 分值 14 分 能力突破 20,21 分值 28 分 1,2,3,4,5,6, 108 分

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12,13,14,15, 16,17,18,19 2011 年 1,2,3,4,5,6, 98 分 7,8,9, 11,12, 14,15,16,17, 18 对照上述分析和具体题目可知高考的成败对大部分同学而言, 并不在于难题是否臆 想得到,而在于基础是否扎实,基础分是否有保证,最终考试会是基础知识奠定地位, 基本能力提升地位。 纵观近年来广东高考数学试题, 考核的知识和能力都基本覆盖了 《考 试大纲》中的考核目标和要求,没有超纲题、怪题、偏题。考察的都是能反映数学基础, 在学科知识体系中能起到统领作用的知识。对考生数学能力的考察,主要是回归到数学 的学科本质和价值去选择素材和设计问题, 考察学生运用所学基础知识和基本方法和基 本技能去分析和解决问题的能力, 复习过程也强调教师将最基本的数学方法进行提升和 巩固,体现和应用基本知识和能力的要求。但让我们来看看最后的考试成绩: 考分实况 全省理科平均分 全省文科平均分 10,13,19 24 分 20,21 28 分

2009 年 2010 年 2011 年

69.33 94.25 79.42

86.35 81.64 68.07

对比分数列表,和全省学生成绩,我们不难发现,真正并不是题目太难,而是学生 基础不扎实,没有能拿到应该拿的分数。 因此我们的复习方法应该是扎扎实实抓基础,老师教到位学生练到位,一步一个脚 印稳稳当当朝前走,不投机取巧,不抱幻想,不相信所谓的信息,不留复习的盲点和死 角。 三、回归基础 (1) 什么是基础 什么是基础, 很多学生搞不清楚, 什么是基础, 很多老师认为这个问题不值得一谈。 老师是学生复习的指挥棒, 很多时候学生弄不清楚什么是基础是因为老师不清楚什么是 基础。高三复习的基础是什么,基础的依据是什么,那就是《考试大纲》《考试大纲》 。 , 所有老师都知道有这么个东西,但真正认真研读过的老师并不多。现在有各种各样的教 辅资料,教辅资料也对所教知识和例题做了很详细的归类。大部分学校高三都会选择一 本教辅做复习资料,很多老师就把教辅资料当《考试大纲》 ,按教辅资料的设置和要求 去教,但教辅书往往是根据往年高考情况编写,具有后知后觉性,按教辅书去把握重点 难点,往往不能把握最新热点,最后导致考试踏空。同时很多教辅书,为了体现教辅的 难点和完整性,有部分知识超纲,学生掌握超纲内容,这样做既加重学生负担,也加重

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老师负担,偏离了正确的复习方向,当然考不出什么好成绩了,正是“出力不讨好” 。 因此对高三而言,真正的基础的标准就是《考试大纲》《考试大纲》是对所学数学内容 。 的“考试”要求,分了解、理解和掌握三个层次,复习中对各个知识点的考试要求要记 分明,它是选题、讲题、编制试题的依据。考试大纲要认真研读,要体味,不能臆想考 点的考和不考,臆想考和不考,往往高考学生会被打个措手不及。 例如 2007 年广东高考数学第 18 题 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应 的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据。

x
y

3 2.5

4 3

5 4

6 4.5

(1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程

? ? y ? bx ? a ;
(3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤.试根据(2)求出的 线性回归方程,预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值: 3? 2.5 ? 4 ? 3 ? 5 ? 4 ? 6 ? 4.5 ? 66.5 ) 这个题目是一个基础题,原型源于人教 A 版课本必修 3 第 91 页,但有些老师平时 不注重研究考试大纲,臆想这种问题不可能出现在高考试卷中,结果学生被打个措手不 及。 (2)如何回归基础 笔者认为主要做好以下几个方面 一、注意回归课本(在第一轮复习过程中要求学生通读课本) 注意回归课本.这句话永远是对的!高考命题一直有一个口号,叫“源于教材,高于 教材”。在每年第一轮复习的时候,要求老师认真研究课本,要求学生根据复习进度认 真把课本看一遍,把课后习题认真做一遍,这样有利于学生形成更完整的知识网络。并 且高三学生回头看课本,才真正有一种“看山还是山,看水还是水”的感觉,能在复习 基础的同时,做到引伸、拓宽、变化,做到举一反三,触类旁通,打好基础。提升能力。 高考中不少的题可以在教材中找到题源,甚或就是课本的成题或重要结论。 例如 2010 年四川高考第 19 题 1 (Ⅰ)○证明两角和的余弦公式 C? ? ? : cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; 2 ○由 C? ? ? 推导两角和的正弦公式 S? ? ? : sin( ? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? . (Ⅱ)已知△ABC 的面积 S ?

? 1 ??? ???? 3 , AB ? AC ? 3 ,且 cos B ? ,求 cosC. 5 2

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此题源于人教 A 版必修 4 第 125 页余弦差角公式。 2011 年陕西高考第 18 题 (陕西理 18) 叙述并证明余弦定理。 此题源于人教 A 版必修 5 教材第 5 页 2007 年广东高考第 17 题,2010 年四川高考第 19 题,2011 年陕西高考第 18 题被很 多人说成是怪题,偏题。原因很简单,因为他的学生不会做。如果这种源于课本的题目 都被说成是怪题和偏题的话,那还有什么题目不是怪题和偏题。 二、 讲透概念,讲出数学味 现行阶段下,我们都在“轰轰烈烈搞素质教育,扎扎实实搞应试教育” 。在高三,如 何实现应试教育和素质教育的良好结合,那就是讲透概念,讲出数学味。有些教师认为 高三时间紧,不重视概念的讲解,往往就是几个例题告诉学生怎么用,认为能用就是一 切。这样导致学生不能理解问题的本质,缺乏变通,在考试中碰到基础变通题就不知所 措。这也是为什么有些学生被老师越教越“傻”的原因。我认为在高三更应该给学生讲 透一些概念,并且这个时候高三的学生有了知识基础之后更容易理解这些概念,融会贯 通, 高屋建瓴。 学生对基本概念的理解成为一种直觉的时候, 很多难题也可以回归基础, 只有有了源和流的数学才可以笑傲考场。 例如 2011 年广东高考数学理科第 13 题和文科 第 21 题就是一个非常鲜明的对比。 2011 年广东高考理科数学第 13 题 某数学老师身高 176cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是 173cm、170cm 和 182cm。因 儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 _____cm. 本题实际是回归系数最原始的背景应用,回归效应本来就是遗传学家弗朗西斯·高 尔顿发明的。如果孰知线性方程的本质,一定可以很快代入求解。而正因为是有些老师 平时只教学生如何代公式,导致部分同学看到这个题目云里雾里,不知所云。 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l : x ? ?2 交 x 轴于点 A,设 P 是 l 上一点,M 是线 段 OP 的垂直平分线上一点,且满足 ∠MPO=∠AOP (1) 当点 P 在 l 上运动时,求点 M 的轨迹 E 的方程; (2) 已知 T(1,-1) ,设 H 是 E 上动点,求 HO + HT 的最小值,并给出此时点 H 的坐标; (3) 过点 T(1,-1)且不平行与 y 轴的直线 l1 与轨迹 E 有且只有两个不同的交 点,求直线 l1 的斜率 k 的取值范围。 本题的本质就是一个抛物线的定义问题,只是抛物线经过了平移而已,如果学生对 抛物线的概念掌握透彻,对平移的方法清楚,题目的难度一下大降。

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三、 坚持集体备课, 加强集体教研, 打造高效课堂。 拓宽老师视野和对基础的认知。 尽管我们强调的是基础,但高三复习过程中,教师不能以眼观鼻,只看到的是手中 的复习参考书,这个会给复习带来局限性。要使高三复习更上层楼,教师的视野要宽一 些,目光要远一点 ,对基础的认知要透彻一点。同时高三的时间是有限的,一定要打 造高效课堂,高效课堂需要老师精心备课。备课的过程中,需要老师根据考纲,结合学 生实际情况, 精选例题, 正如已故数学特级教师孙维刚所说: “我给我的学生出一道题, 自己先要做 10 道题,从中选出最精彩,最典型,最能启发学生思维的,做好基本功。” 四、精选习题,自编试题,严抓落实,重点题不二错。 给学生做的题目老师一定要先做过,确保题目的针对性和有效性; 学生的作业要次次批改,作业达不到要求的,要重做;严抓落实,之后落实了才有 效 每周一次定时训练,重在定时,并且给予批改或批阅;每周一套周练,给予详细答 案。两份练习题都要求学生反馈改正情况。严抓题不而错 营造课内课外和谐的教辅环境; “不抛弃、不放弃”每一个学生,给予后进学生 更多的帮助,把“爱”字贯穿于整个教育教学过程的始终;增强学生对数学的兴趣和信 心使学生“亲其师、信其道、乐其教”,让学生对教师既亲且敬; 五、适当进行变式练习和一题多解的教学和练习 经常见学生在考试的时候对题目冥思苦想不得其解, 结果考完经过他人一提示就顿 悟是老师已经讲了无数遍的知识,只是变了个形式而已。还有一些同学若对某道题用了 一种方法不成功,就只能束手无策了。究其原因是平时的训练存在不完善的地方。我们 应在平时的复习中,对学生有意地、适当地进行变式训练和一题多解的训练,培养思维 的发散性、灵活性、敏捷性,以及思维的深度。由此优化学生的思维品质,养成对同一 数学问题的多角度的审视和不同联想的习惯,一旦在高考中碰到此路不通的现象,就能 从从容容地另辟奇径;同时若碰到一些陌生问题,能迅速弄清问题本质,最终拿到别人 不易拿到的分数。 例如在复习对数函数的时候,可以推出变式练习: 对于函数 f ( x) ? log 1 ( x 2 ? 2ax ? 3) ,解答下述问题:
2 (1)若函数的定义域为 R,求实数 a 的取值范围;

(2)若函数的值域为 R,求实数 a 的取值范围; (3)若函数在 [?1,??) 内有意义,求实数 a 的取值范围; (4)若函数的定义域为 (??,1) ? (3,??) ,求实数 a 的值; (5)若函数的值域为 (??,?1] ,求实数 a 的值; (6)若函数在 (??,1] 内为增函数,求实数 a 的取值范围.

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(3)如何高效回归基础 如何高效回归基础,在刚刚讲到的几点回归基础方法上,更重要的是利用基础进行 突破,提升数学能力,而这点的关键在于平时教学过程中,引导学生分析问题的本质, 认清问题的本质, 找准难题和基础知识之间的突破口, 数学的难题很多都不难在技巧上, 关键是难在寻找切入点,寻找和基础知识的联系点上。下面将以 07,08,11 年广东高 考数学数列题为例作出说明。 2007 年广东高考数列题 已知函数 f ( x) ? x2 ? x ? 1 , ?,? 是方程 f ( x) ? 0 的两个根( ? ? ? ) f ?( x) 是 ,

f ( x) 的导数,设 a1 ? 1 , an ?1 ? an ?

f (an ) (n ? 1, ?) 。 2, f ?(an )

(1)求 ?,? 的值; (2)证明:对任意的正整数 n ,都有 an ? ? ;

(3)记 bn ? ln

an ? ? (n ? 1, ?) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n 。 2, an ? ?

此题第二问当年有超纲之嫌, 但是真正理解问题的本质会发现本题本质是考查求形 如 f ( x) ?

x2 ? 1 的函数值域的基本方法。 2x ?1

1 1 5 an (2an ? 1) ? (2an ? 1) ? 2 an ? an ? 1 4 4 (2) f '( x) ? 2 x ? 1 , an ?1 ? an ? ? an ? 2 2an ? 1 2an ? 1 5 4

=

1 1 (2an ? 1) ? ? , 4 2an ? 1 2

∵ a1 ? 1 , ∴有基本不等式可知 a2 ? 同,样 a3 ?
5 ?1 ,??, an ? 2
5 ?1 5 ?1 5 ?1 (当且仅当 a1 ? 时取等号) ∴ a2 ? , ?0 ?0 2 2 2

5 ?1 ? a (n=1,2,??) , 2

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而第三问实际上是对数函性质的一个考察,如果对对数函数性质清楚的话,开始就

a ? ? ? an ? ? ? ?? 可 以 预 测 n ?1 ? ,而求关系的过程中正体现了数列的递推关系。 an ?1 ? ? ? an ? ? ?

m

an ?1 ? ? 2an ? 1 ? 2 an ? 1 an ?1 ? ? 2 an ? 1

a n2 ? 1

?? ??

2 an ? 2 an ? ? 1 ? ? ? 2 an ? 2an? ? 1 ? ?

如果学生基本功扎实,加上自己的预测,这个时候就可以想象 1 ? ? ? ? 2

而 ? ? ? ? ? ?1, ?? ? ?1 ? ? ?1 ? ? ? ? 1 ? ? 2 ? 1? ?
2 an ?1 ? ? an ? 2an ? ? ? 2 ? an ? ? ? ? ? 2 =? ? an ?1 ? ? an ? 2an? ? ? 2 ? an ? ? ? 2

后略 2008 年广东高考理科数列 设 p,q 为实数, ?,? 是方程 x 2 ? px ? q ? 0 的两个实根,数列 { xn } 满足 x1 ? p ,

x2 ? p 2 ? q , xn ? pxn ?1 ? qxn ?2 ( n ? 3, ?) 4, .
(1)证明: ? ? ? ? p , ?? ? q ; (2)求数列 { xn } 的通项公式; (3)若 p ? 1 , q ?

1 ,求 { xn } 的前 n 项和 S n . 4

此题第二问当年似乎也有超纲之嫌,但实际本题若能用好第一问条件,不仅没有超 纲,更是我们平时熟练的一个基本方法 an ? 2 ? 4an ?1 ? 4an ? an ? 2 ? 2an ?1 ? 2(an ?1 ? 2an ) 的一个应用 (2)由(1)可知 xn ? ?? ? ? ? xn ?1 ? ?? xn ? 2 ? ?

? xn ? ? xn ?1 ? ? ( xn ?1 ? ? xn ? 2 ) ? xn ? ? xn ?1 ? ? ( xn ?1 ? ? xn ? 2 )

后面就可以转换成等比数列的问题了,并且借助二元联立可轻松求出通项公式 2011 年广东高考理科数列 设 b ? 0 ,数列 {an } 满足 a1 ? b , an ?

nban ?1 (n ≥ 2) . an ?1 ? n ? 1

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(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)证明:对于一切正整数 n , 2an ≤ bn?1 ? 1 . 本题得分率很低,但实际透过问题看本质,也是我们平时经常强调的基本方法

an ?1 ?

2an 1 1 ? ? ? 1 以及 an?1 ? 2an ? 3 的一个转换应用。第二问的确对学生 2an ? 1 an ?1 2an

来说比较难, 命题者似乎已经预想了这一点, 在试卷的开头已经给出了相关的转换公式。 真正扎实回归基础,需要学生的认真执行,学生可以从以下方面执行: 1、六要求 (1)学生要提前预习,在课前就了解到哪是重点,哪是难点,课堂中才会做到有针 对性地听课; (2)每节课学生都要做好笔记。做笔记不是满堂抄,只要求学生把课堂内的重点难 点速记,课后再重新整理; (3)课堂上学生要积极思维,积极发表自己的见解,关注老师的点评,自己能总结 题型及解题方法; (4)学生每天都要做练习题,不做题不可能在高考中取得好的成绩。 (5)要求学生有不能解决的问题,应寻求老师的帮助。有问题不过夜,因为明天又 会有新的学习任务; (6)要求每个学生有一本纠错本,对于平时做错的题,或者考试中失分的题,都要 记录下来,做到不要上同一块石头绊倒两次。要解决“会而不对,对而不全”这个 老大难问题。 2、重反思 不少学生在课外只知道做题,而不愿看书,不愿反思,这种复习方法是有问题的。 我们常见有的学生习题做了一本又一本,但高考成绩并不理想。这是因为只做题不 看书, 学生得到的知识是零散的, 不能融汇成知识的整体。 只有课外看书与做题相结合, 学生才能对知识融会贯通,形成自己的知识体系。因此,我们要求学生课外用 60%的时 间做题,40%的时间看书;这样才能实现举三反一和举一反三的有机结合。 我们都渴望精彩的课堂,渴望高考能出成绩,但张奠宙教授说的好, “主张发展的 口号,总是伴随自主,创新,联系实际,贴近生活,积极主动,愉快教育等美丽字眼, 显示出人类最美好的追求,反观提倡基础的理论,则及其苍白,但是实践却默默地作出 裁决:逼使一些矫枉过正,华而不实的做法下马,回到基础,回到知识系统,回到基本 技能。 ”回归基础,淡定应考才是我们复习备考的根本之道。


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