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数学同步优化指导(人教版选修2-2)课件:1.5.3 定积分的概念_图文

第一章 导数及其应用 1.5 定积分的概念 1.5.3 定积分的概念 1.了解定积分的概念.(难点) 2.理解定积分的几何意义.(重点、易混点) 3.掌握定积分的几何性质.(重点、难点) 1.定积分的概念 如果函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<…<xi -1 <xi<…<xn=b 将区间[a,b]等分成 n 个小区间,在每个小区间 n n b-a [xi-1,xi]上任取一点 ξi(i=1,2,…,n),作和式 ?f(ξi)Δx= ? n i=1 i=1 f(ξi),当 n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函 定积分 ,记作 f(x)dx,即 f(x)dx= lim 数 f(x)在区间[a,b]上的________ n→∞ b-a ? n f(ξi). i=1 n ?b ? ? ?a ?b ? ? ?a 积分下限与积分上限 其中 a 与b分别叫做 ________ ________ ,区间 [a , b]叫做 积分区间 被积函数,x叫做积分变量 ________,函数f(x)叫做________ ________,f(x)dx叫做 被积式 . ________ 2.定积分的几何意义 从 几 何 上 看 , 如 果 在 区 间 [a , b] 上 函 数 f(x) 连 续 且 恒 有 f(x)≥0 , 那 么 定 积 分 ________ ?b ? ? ?a ?b ? ? ?a f(x)dx 表 示 由 直 线 x=a,x=b,y=0和曲线y=f(x) ___________________________________ 所围成的曲边梯形的面 积.这就是定积分 f(x)dx 的几何意义. 3.定积分的性质 ?b ? k f(x)dx (1)? kf ( x )d x = ___________( k 为常数). ? ? f1(x)dx± f2(x)dx (2)? [ f ( x )± f ( x )]d x = _________________. 1 2 ? a ?b a ?b ? ? ?a ?b ? ? ?a ?b ? ? ?a ?b ? ? ?a f(x)dx+ f(x)dx 其中 a<c<b). (3) f(x)dx=______________( ?c ? ? ?a ?b ? ? ?c 1.求由y=ex,x=2,y=1围成的曲边梯形的面积时,若 选择x为积分变量,则积分区间为( A.[0,e2] C.[1,2] 答案:D ) B.[0,1] D.[0,2] 解析:如图,由图形可知,积分区间为[0,2]. x 2.由定积分的几何意义可得 2dx 的值等于( A.1 C.3 ?2 ? ? ? ?2 ? ? ?0 ) B.2 D.4 x x 解析:定积分 2dx 等于直线 y=2与 x=0,x=2,y=0 围成 0 1 三角形的面积 S=2×2×1=1. 答案:A 3. xdx=______. 0 ?1 ? ? ? 解析:结合定积分的几何意义可知, xdx 表示由直线 x=0, 0 ?1 ? ? ? 1 x=1,y=0 及曲线 y=x 围成图形的面积,如图所示,S=2×1×1 1 =2. 1 答案:2 4.已知 f(x)dx=6,则 6f(x)dx 等于______. a a ?b ? ? ? ?b ? ? ? 解析: 6f(x)dx=6 f(x)dx=6×6=36. a a ?b ? ? ? ?b ? ? ? 答案:36 对于定积分概念与几何意义的几点理解 (1)定积分的概念是对“分割、近似代替、求和、取极限” 这四个步骤的高度概括,其中包含着重要的数学思想方法 —— “以直代曲”,只有理解了定积分的定义过程,才能掌握定积分 的计算与应用. (2)定积分 f(x)dx 是一个常数——实数,一般情况下,被积函 数 y=f(x)的图象可以在 x 轴的上方,也可以在 x 轴的下方,在积 分区间[a,b]上, 只有 y=f(x)≥0(图象不在 x 轴的下方)时, f(x)dx 才等于曲边梯形的面积,也就是说,在积分区间[a,b]上,当 y= f(x)<0(图象在 x 轴的下方)时, f(x)dx<0,则- f(x)dx 等于曲边 梯形的面积,这是对定积分的几何意义的全面理解. ?b ? ? ?a ?b ? ? ?a ?b ? ? ?a ?b ? ? ?a (3)对于具有公共区间[a,b]上的两个函数,如图,若上界函 数为 f1(x),下界函数为 f2(x),则直线 x=a,x=b 与曲线 y=f1(x), y=f2(x)围成平面图形的面积为 S= [f1(x)-f2(x)]dx. ?b ? ? ?a 关于定积分的性质的理解 定积分的性质 1,2 称为定积分的线性运算,定积分的性质 3 称为区间的连续可加性,定积分的性质可以推广为: ① [f1(x)± f2(x)± …± fm(x)]dx = f1(x)dx± f2(x)dx± …± fm(x)dx(m ∈N*). c bckf(x)dx(k∈N*). ② f(x)dx=∫c1af(x)dx+ c2f(x)dx+…+? ? a 1 ?b ? ? ? ? ? ? ? ?b ? ? ?a ?b ? ? ?a ?b ? ? ?a ?b ? ? ?a 【想一想】 1.定积分和曲边梯形的面积有何关系? 提示:(1)当函数 f(x)≥0 时,定积分 f(x)dx 表示由直线 x=a, x=b(a<b),y=0 及曲线 y=f(x)所围成的曲边梯形的面积. (2)当函数 f(x)≤0 时,曲边梯形位于 x 轴的下方,此时 f(x)dx 等于曲边梯形面积 S 的相反数,即 f(x)dx=-S. (3)当 f(x)在区间[a, b]上有正有负时, 定积分 f(x)dx 表示介于 x 轴、函数 f(x)的图象及直线

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