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统计学(第六版)贾俊平——


第一章
1.1.1 (1)数值型变量。 (2)分类变量。 (3)离散型变量。 (4)顺序变量。 (5)分类变量。 1.2

导论

(1)总体是该市所有职工家庭的集合;样本是抽中的 2000 个职工家庭的集合。 (2)参数是该市所有职工家庭的年人均收入;统计量是抽中的 2000 个职工家庭的年人均 收入。 1.3 (1)总体是所有 IT 从业者的集合。 (2)数值型变量。 (3)分类变量。 (4)截面数据。 1.4 (1)总体是所有在网上购物的消费者的集合。 (2)分类变量。 (3)参数是所有在网上购物者的月平均花费。 (4)参数 (5)推断统计方法。

第二章数据的搜集
1.什么是二手资料?使用二手资料需要注意些什么? 与研究内容有关的原始信息已经存在, 是由别人调查和实验得来的, 并会被我们利用的 资料称为“二手资料” 。 使用二手资料时需要注意:资料的原始搜集人、搜集资料的目的、 搜集资料的途径、搜集资料的时间,要注意数据的定义、含义、计算口径和计算方法,避免 错用、误用、滥用。在引用二手资料时,要注明数据来源。 2.比较概率抽样和非概率抽样的特点, 举例说明什么情况下适合采用概率抽样, 什么情 况下适合采用非概率抽样。 概率抽样是指抽样时按一定概率以随机原则抽取样本。 每个单位被抽中的概率已知或可 以计算,当用样本对总体目标量进行估计时,要考虑到每个单位样本被抽中的概率,概率抽 样的技术含量和成本都比较高。 如果调查的目的在于掌握和研究总体的数量特征, 得到总体 参数的置信区间,就使用概率抽样。

非概率抽样是指抽取样本时不是依据随机原则, 而是根据研究目的对数据的要求, 采用 某种方式从总体中抽出部分单位对其实施调查。非概率抽样操作简单、实效快、成本低,而 且对于抽样中的专业技术要求不是很高。它适合探索性的研究,调查结果用于发现问题,为 更深入的数量分析提供准备。非概率抽样也适合市场调查中的概念测试。 3.调查中搜集数据的方法主要有自填式、面方式、电话式,除此之外,还有那些搜集数 据的方法? 实验式、观察式等。 4. 自填式、面方式、电话式调查个有什么利弊? 自填式优点:调查组织者管理容易,成本低,可以进行较大规模调查,对被调查者可以 刻选择方便时间答卷,减少回答敏感问题的压力。缺点:返回率低,调查时间长,在数据搜 集过程中遇到问题不能及时调整。 面谈式优点:回答率高,数据质量高,在数据搜集过程中遇到问题可以及时调整可以充 分发挥调查员的作用。缺点:成本比较高,对调查过程的质量控制有一定难度。对于敏感问 题,被访者会有压力。 电话式优点:速度快,对调查员比较安全,对访问过程的控制比较容易,缺点:实施地 区有限,调查时间不宜过长,问卷要简单,被访者不愿回答时,不宜劝服。 5.请举出(或设计)几个实验数据的例子。 不同饲料对牲畜增重有无影响,新旧技术的机器对组装同一产品所需时间的影响。 6.你认为应当如何控制调查中的回答误差? 对于理解误差,要注意表述中的措辞,学习一定的心里学知识。对于记忆误差,尽量缩 短所涉及问题的时间范围。对于有意识误差,调查人员要想法打消被调查者得思想顾虑,调 查人员要遵守职业道德,为被调查者保密,尽量避免敏感问题。 7.怎样减少无回答?请通过一个例子,说明你所考虑到的减少无回答的具体措施。 对于随机误差,可以通过增加样本容量来控制。对于系统误差,做好预防,在调查前做好 各方面的准备工作, 尽量把无回答率降到最低程度。 无回答出现后, 分析武回答产生的原因, 采取补救措施。比如要收回一百份,就要做好一百二十份或一百三十份问卷的准备,当被调 查者不愿意回答时, 可以通过一定的方法劝服被访者, 还可以通过馈赠小礼品等的方式提高 回收率。

第三章
一、思考题 3.1 数据的预处理包括哪些内容? 答:审核、筛选、排序等。

数据的图表搜集

3.2 分类数据和顺序数据的整理和显示方法各有哪些? 答: 分类数据在整理时候先列出所分的类别, 计算各组的频数、 频率, 得到频数分布表,

如果是两个或两个以上变量可以制作交叉表。对于分类数据可以绘制条形图、帕累托图、饼 图、环形图等。根据不同的资料或者目的选择不同的图。 对于顺序数据,可以计算各种的频数、频率,以及累计频数、累计频率。可根据需要绘 制条形图、饼图、环形图等。 3.3 数值型数据的分组方法有哪些?简述组距分组的步骤。 答:单变量值分组和组距分组。其中组距分组:第一步,确定组数,组数多少由数据的 多少和特点等决定,一般 5~15 组;第二步,确定各组组距,宜取 5 或 10 的倍数;第三步, 根据分组整理出频数分布表,注意遵循“不重不漏”和“上限不在内”的原则。 3.4 直方图和条形图有何区别? 答:1,条形图使用图形的长度表示各类别频数的多少,其宽度固定,直方图用面积表 示各组频数,矩形的高度表示每一组的频数或频率,宽度表示组距,高度与宽度都有意义; 2 直方图各矩形连续排列,条形图分开排列;3 条形图主要展示分类数据,直方图主要展示 数值型数据。 3.5 绘制线图应注意问题? 答:时间在横轴,观测值绘在纵轴。一般是长宽比例 10:7 的长方形,纵轴下端一般从 0 开始,数据与 0 距离过大的话用折断符号折断。 3.6 饼图和环形图的不同? 答: 饼图只能显示一个样本或总体各部分所占比例, 环形图可以同时绘制多个样本或总 体的数据系列,其图形中间有个“空洞” ,每个样本或总体的数据系类为一个环。 3.7 茎叶图比直方图的优势,他们各自的应用场合? 答:茎叶图既能给出数据的分布情况,又能给出每一个原始数据,即保留了原始数据的 信息。在应用方面,直方图通常适用于大批量数据,茎叶图适用于小批量数据。 3.8 鉴别图标优劣的准则? 答:P65 明确有答案,我就不写了。 3.9 制作统计表应注意的问题? 答:1,合理安排统计表结构;2 表头一般包括表号,总标题和表中数据的单位等内容; 3 表中的上下两条横线一般用粗线,中间的其他用细线,两端开口,数字右对齐,不要有空 白格;4 在使用统计表时,必要时可在下方加注释,注明数据来源。 二、练习题 3.1 答: (1)表中数据属于顺序数据。 (2)用 Excel 制作一张频数分布表。 服务等级 好 较好 家庭数目(个) 14 21

一般 较差 差

32 18 15

(3)绘制一张条形图,反映评价等级的分布。

家庭数目(个)

40 30 20 10 0 好 较好 一般 服务等级的条形图 较差 差 服务等级

(4)绘制评价等级的帕累托图。

40 30
频率

150.00% 100.00% 50.00% 0.00% 一般 较好 较差 差 好 其他

20 10 0

售后服务等级的帕累托图

3.2 某行业管理局所属 40 个企业 2002 年的产品销售收入数据如下: 152 105 117 97 要求: (1)根据上面的数据进行适当的分组,编制频数分布表,并计算出累积频数和累积频率。 1、确定组数: K ? 1 ? 2、确定组距: 组距=( 最大值 - 最小值)÷ 组数=(152-87)÷6=10.83,取 10 124 119 108 88 129 114 105 123 116 115 110 115 100 87 107 119 103 103 137 138 92 118 120 112 95 142 136 146 127 135 117 113 104 125 108 126

lg ? 40 ? lg(n) 1.60206 ? 1? ? 1? ? 6.32 ,取 k=6 lg(2) lg 2 0.30103

3、分组频数表 销售收入 80 – 90 90 – 100 100- 110 110 – 120 120 – 130 130 – 140 140 – 150 150 以上 合计 频数 2 3 9 12 7 4 2 1 40 频率% 5 7.5 22.5 30 17.5 10 5.0 2.5 100.0 向上累计频数 2 5 14 26 33 37 39 40 — 向上累计频率% 5 12.5 35 65 82.5 92.5 97.5 100 —

(2)按规定,销售收入在 125 万元以上为先进企业,115~125 万元为良好企业,105~ 115 万元为一般企业,105 万元以下为落后企业,按先进企业、良好企业、一般企业、落后 企业进行分组。 频数 先进企业 良好企业 一般企业 落后企业 合计 10 12 9 9 40 频率% 25 30 22.5 22.5 100 向上累计频数 10 22 31 40 — 向上累计频率% 25 55 77.5 100 —

3.3 某百货公司连续 40 天的商品销售额如下: 单位:万元 41 46 35 42 25 36 28 36 29 45 46 37 47 37 34 37 38 37 30 49 34 36 37 39 30 45 44 42 38 43 26 32 43 33 38 36 40 44 44 35

要求:根据上面的数据进行适当的分组,编制频数分布表,并绘制直方图。 答 :1、确定组数:

K ? 1?

lg ? 40 ? lg(n) 1.60206 ? 1? ? 1? ? 6.32 ,取 k=6 lg(2) lg 2 0.30103

2、确定组距: 组距=( 最大值 - 最小值)÷ 组数=(49-25)÷6=4,取 5 3、分组频数表(根据实际资料,调整成分 5 个组)

销售收入(万元) 30 以下 30 - 35 35 - 40 40 - 45 45 以上 合计 4、直方图

频数 4 6 15 9 6 40

频率% 10 15 37.5 22.5 15 100.0

向上累计频数 4 10 25 34 40 —

向上累计频率% 10 25 62.5 85 100 —

频率(天) 15 10 5 0 30以下 30-35 35-40 40-45 45以上

150.00% 100.00% 50.00% 0.00%

频率 累积 %

销售额(万元)

商店40天销售额的直方图

3.4 利用下面的数据构建茎叶图和箱线图。 57 23 35 18 21 21 答:茎叶图 29 47 51 26 46 43 29 23 39 50 41 19 36 28 18 29 52 42 31 28 46 33 28 20

Frequency 3.00 5.00 7.00 2.00 3.00 3.00 3.00 3.00 1.00
箱线图

Stem & 1 . 2 . 2 . 3 . 3 . 4 . 4 . 5 . 5 .

Leaf 889 01133 6888999 13 569 123 667 012 7

60

50

40

30

20

10 data

3.5 答 :频数分布表 灯泡寿命 660 以下 660-670 670-680 680-690 690-700 700-710 710-720 720-730 730-740 740 以上 合计 直方图
频率 累积 %

频率 2 5 6 14 26 18 13 10 3 3 100

向上累积频率(%) 2% 7% 13% 27% 53% 71% 84% 94% 97% 100% —

频率(个) 30 25 20 15 10 5 0

120.00% 100.00% 80.00% 60.00% 40.00% 20.00% 0.00%

66 0以 66 下 06 67 70 06 68 80 06 69 90 07 70 00 07 71 10 07 72 20 07 73 30 074 74 0 0以 上
灯泡寿命(小时) 灯泡寿命的直方图

从直方图看,数据的分布呈左偏分布。 3.6 答 :频数分布表

K ? 1?
2、确定组距:

lg ?100 ? lg(n) 2 ? 1? ? 1? ? 6.64 ,取 k=7 lg(2) lg 2 0.30103

组距=( 最大值 - 最小值)÷ 组数=(61-40)÷7=3,取 3 3、分组频数表(根据实际资料,调整成分 5 个组) 食品重量(g) 43 以下 43 - 46 46 - 49 49 - 52 52 -55 55 - 58 58 以上 合计 频数 3 9 24 19 24 14 7 100 频率% 3 9 24 19 24 14 7 100.0 向上累计频数 4 12 36 55 79 93 100 — 向上累计频率% 3 12 36 55 79 93 100 —

30 25 20 15 10 5 0 43以下 43-46 46-49 49-52 52-55 55-58 食品重量的直方图 58以上

120.00% 100.00% 80.00% 60.00% 40.00% 20.00% 0.00%

重量误差(g) 19-29 29-39 39-49 49-59 59-69 69-79 79-89 合计

频率

从直方图看,数据的分布呈双峰分布。 3.7 频数分布表 频数 5 7 8 13 9 6 2 50 频率% 10 14 16 26 18 12 4 100 向上累计频数 5 12 20 33 42 48 50 — 向上累计频率% 10 24 40 66 84 96 100 —

15
频率

10 5 0 19-29 29-39 39-49 49-59 59-69 误差的直方图 69-79 79-89

120.00% 100.00% 80.00% 60.00% 40.00% 20.00% 0.00%

从直方图看,数据的分布呈左偏分布 3.8 (1)数值型数据 (2)频数分布表

K ? 1?

lg ? 60 ? lg(n) 1.77815 ? 1? ? 1? ? 6.91,取 k=7 lg(2) lg 2 0.30103

2、确定组距: 组距=( 最大值 - 最小值)÷ 组数=(9+25)÷7=4.86,取 5 气温(℃) (-25,-20) (-20,-15) (-15,-10) (-10.-5) (-5.0) (0,5) (5,10) 合计 频数 6 8 10 13 12 4 7 60 频率% 10.00 13.33 16.67 21.67 20.00 6.67 11.67 100 向上累计频数 6 14 24 37 49 53 60 — 向上累计频率% 10.00 23.33 40.00 61.67 81.67 88.33 100.00 —

15 10 5 0
( -2 0以 下 ) (20 ,15 ) (15 ,10 ) (10 ,5) (5, 0) (5 ,1 0) (0 ,5 )

频率

气温的直方图

从直方图看,数据的分布呈左偏分布。 3.9

年龄分布直方图 40 35 30 25 20 15 10 5 0 18~19 20~21 22~24 25~29 30~34 35~39 40~44 45~59

自学考试人员年龄分布集中在 20-24 之间,分布图呈右偏。 3.10 3.11
散点图 35 30 25 20 15 10 5 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

3.12 (1)复式条形图
20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 优 良 中 及格 不及格 人数 甲班 人数 乙班

环形图

乙班, 2 乙班, 8

乙班, 6

甲班, 3 甲班, 4 甲班, 6 优 良 中 及格 不及格

甲班, 9

乙班, 15 乙班, 9 甲班, 18

(2)甲班成绩分布图近似正态分布,分布较均衡;乙班成绩分布图右偏。 (3)根据雷达图,两班成绩分布不相似。

优 20 15 10 不及格 5 0 良 甲班 乙班

及格



3.13
国产车销售排行前10名 600 500 400 300 200 100 0 福美来 夏利 捷达 松花江 富康 哈飞路宝 高尔夫 东方之子 长安奥拓 爱丽舍 370 298 277 200 190 181 145 117 556 541

进口车销售排行前10名 160 140 120 102 100 80 60 40 20 0 丰田 现代 日产 奔驰 宝马 大众汽车 克莱斯勒 本田 雷克萨斯 奥迪 30 30 68 149

23

17

16

10

6

国产车销售排行前1 0 名

5% 6% 7% 7%

4% 19% 福美来 夏利 捷达 松花江 富康 哈飞路宝 高尔夫 东方之子 长安奥拓 爱丽舍

19% 10% 10% 13%

进口车销售排行前10名

4% 5%

1% 4% 2% 丰田 现代 日产 奔驰 宝马 大众汽车 克莱斯勒 本田 雷克萨斯 奥迪

32% 7% 7%

15% 23%

3.14
国内生产总值 160000 140000 120000 100000 80000 60000 40000 20000 0
1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

第一、二、三产业国内生产总值 80000 70000 60000 50000 40000 30000 20000 10000 0
1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

第一 产业

第二 产业

第三 产业

第四章习题答案
4.1 数据排列:2,4,7,10,10,10,12,12,14,15 (1)众数:10; 中位数:10 平均数:9.6 (2)四分位数: Q L 位置= 10 =2.5.所以 Q L = 4
12?14 Q U 位置= 30 4 =7.5,所以 Q U = 2 =13

4?7 =5.5 2

(3)标准差:4.17

(4)峰度—0.25,偏度—0.69 4.2 (1)众数:19;23 中位数:23 平均数:24 (2)四分位数: Q L 位置= 25 =6.25.所以 Q L =19+0.25^0=19 4 Q U 位置= 75 4 =18.75,所以 Q U =25+2^0.75=26.5

(3)标准差:6.65 (4)峰度 0.77,偏度 1.08 4.3(1)茎叶图略 (2) 平均数:7,标准差 0.71 (3)第一种方式的离散系数 第二种方式的离散系数 v s ?

vs ? s x

s 1.97 = =0.28 x 7 .2 0.71 = =0.10 7

所以,第二种排队方式等待时间更集中。 (4)选择第二种,因为平均等待的时间短,而且等待时间的集中程度高 4.4 (1)平均数:274.1,中位数:272.5 (2)Q L 位置= 30 =7.5.所以 Q L =258+0.25^3=258.75 4 Q U 位置= 90 4 =22.5,所以 Q U =284+7^0.75=289.25 (3)日销售额的标准差:21.17 4.5.

产品名称 A B C 合计

单位成本 (元) 15 20 30 ——

总成本/元 甲企业 2100 3000 1500 6600 乙企业 3255 1500 1500 6255

产量 甲企业 140 150 50 340 乙企业 217 75 50 342

甲企业总平均成本 x ?

?M
i ?1

k

i

fi

n

=

6600 =19.41(元) 340

乙企业总平均成本 x ?

?M
i ?1

k

i

fi

n

=

6255 ? 18.29 (元) 342

所以甲企业的总平均成本比乙企业的高, 原因是甲企业高成本的产品 B 生产的产 量比乙企业多,所以把总平均成本提高了。 4.6 计算数据如表:
按利润额分组 (万元) 200~300 300~400 400~500 500~600 600 以上 合计 250 350 450 550 650 19 30 42 18 11 120 4750 10500 18900 9900 7150 51200 593033 176349 22860 273785 548639 1614666 组中值 企业数(个) 利润额
(x _ x)
2

f

利润总额的平均数 x ?

?M
i ?1

k

i

fi
=
2

n

51200 ? 426 .67 (万元) 120

利润总额标准差 ? ?

? ?x ? x ?
n
i

*f

=

??

1614666 ? 115.99 (万元) 120

峰态系数 K ?

? (M
i ?1

k

? x)4 fi
4

ns ? 2.352 ? 3 ? —0.6479

?3?

5108744164 8 ?3 120? (115.99) 4

偏态系数 SK ?

? ( M i ? x )3 f i
i ?1

k

? (M
=
i ?1

5

i

? 426.67) 3 f i

ns3

120? (115.99) 3

? 0.2057

4.7(1)不同。1000 名的平均身高较高; (2)不同。100 名的样本容量的标准差更大; (3)不同,调查 1000 名的样本容量得到最高和最低者的机会较大。

4.8 对于不同的总体的差异程度的比较采用标准差系数,计算如下:

vs男 ?

s 5 s 5 ? ? 8.3% ; v s 女 ? ? ? 10% x 60 x 50

(1)女生的体重差异大,因为离散系数大;

(2) 以磅为单位, 男生的平均体重为 132.6 磅, 标准差为 11.05 磅; 女生的平均体重为 110.5 磅,标准差为 11.05 磅

vs男 ?

s 11.05 s 11.05 ? ? 8.33% v s 女 ? ? ? 10% x 132 .6 x 110 .5

(3) z i ?

xi ? x 65 ? 60 ? ? 1,所以大约有 68%的人体重在 55kg~65kg 之间; s 5 xi ? x 40 ? 50 ? ? 2 ,所以大约有 95%的女生体重在 40kg~60kg 之间。 s 5

(4) z i ?

4.9 z i ?

xi ? x 115? 100 ? ?1; s 15

zi ?

xi ? x 425 ? 400 ? ? 0.5 ; s 50

由此可以判断第二项测试更理想。 4.10 时间 产量 z值 周一 3850 3 周二 3670 0.6 周三 3690 0.2 周四 3720 0.4 周五 3610 1.8 周六 3590 2.2 周日 3700 0

可以看出,周一和周六两天生产线失去了控制。

4.11(1)采用离散系数,因为如果比较身高差异,儿童和成年人属于不同的总体; (2) v s成年 ?

s 4.20 s 2.50 ? ? 2.44% , v s儿童 ? ? ? 3 . 5% x 172 .1 x 71 .3

所以,儿童的身高差异更大。

4.12(1)对集中程度和离散程度分别评价,选择集中趋势数值大的,而且离散程度数值小 的方式 (2)选择方法 A,因为 A 方法下,工人的平均组装数量为 165.6,而且该方法下,工人组装 数量的离散系数只有 0.012,所以选择 A 方法。 4.13(1)用离散系数 (2)商业类 (3)高科技

第六章 统计量与抽样分布

1、设X1,X 2, ?,X n是从总体X中抽取的容量为 n的一个样本,如果由此 样本构造一个函数 T?X1,X 2, ?,X n ?,不依赖于任何未知参 数,则称函 数T?X1,X 2, ?,X n ?是一个统计量。

由样本构建具体的统计量, 实际上是对样本所含的总体信息按某种要求进行加工处 理, 把分散在样本中的信息集中到统计量的取值上, 不同的统计推断问题要求构造不同 的统计量。 构造统计量的主要目的就是对总体的未知参数进行推断, 如果统计量中含有总体的 未知参数就没办法再对参数进行统计推断。 2、 T1和T2 是统计量, T3和T4 在 ?和?未知的情况下 不是统计量。

它是样本?X1,X 2, ?,X n ?满足如下条件的函数: 每当样本得到一组观测 值 为次序统计量 X X ?1?,X ?2 ?, ?,X ?n ?称为次序统计量。 (i)的观测值,而

3、设X1,X 2, ?,X n是从总体X中抽取的一个样本, X (i)称为第i个次序统计量, x1 , x2 ,?, xn时,其由小到大的排序 x ?1? ? x ?2 ? ? ? ? x ?i ? ? ? ? x ?n ?中第i个值x ?i ?就作

4、假若一个统计量能把含在样本中有关总体的信息一点都不损失地提取出来,这样的 统计量称充分统计量。 5、统计学上的自由度指当以样本的统计量来估计总体的参数时,样本中独立或能自由 变化的资料的个数。 6 、 ? 2 分布和正态分布关系: n ? ??时,? 2分布的极限分布是正态 分布。

t分布和正态分布的关系 :t分布的密度函数曲线与 标准正态分布的密度函 数 曲线非常相似,但 t ?n ?分布的密度函数在两侧 的尾部都要比标准正态 的两侧 尾部粗一些,方差也比 标准正态分布的方差大 。随着自由度 n的增加,t分布 的密度函数越来越接近 标准正态分布的密度函 数。
F分布和正态分布关系: 若X ~ t ?n ?,则X 2 ~ F?1,n ?。并且随着自由度 n的增加,X也越 来越接近于标准正态分 布,若把X看成近似服从标准正态 分布的一个随机变量, 则 X 2 ~ F?1,n ?。
7、在重复选取容量为 n 的样本时,由样本统计量的所有取值形成的相对频数分布为统 计量的抽样分布。
8、中心极限定理:设从 均值为?,方差为? 2的任意一个总体中抽取 样本量为n 的样本,当n充分大时,样本均值 X的抽样分布近似服从均 值为?,方差为 的 n 正态分布。中心极限定 理解决了在总体为非正 态的情况下,样本平均 数的抽样 分布问题,为总体参数 的推断提供了理论基础 。


?2

二、练习
1、 易知由这台机器灌装的 9 个瓶子形成的样本, 其平均灌装量服从正态分布, 均值为 ? ,

标准差为 ? x ?

?
n

?

1 ,故 3

? X ?? ? ? P X ? ? ? 0.3 ? P? ? 1 3 ? 0.9 ? ? P? z ? 0.9? ? 0.6319 ? ?

?

?

2、若 P X ? ? ? 0.3 ? 0.95 ,则 P?
2

?

?

? X ?? 0.3 ? ? ? 0.95 ,即 0.3 ? 1.96 , ? ?? n ? n? ? n ? ?

? 1.96 ? 又知 ? ? 1 , n ? ? ? ? 42.68, 故 n ? 43 。 ? 0.3 ?
3、易知

?Z
i ?1

6

2 i

2 服从自由度为 6 的卡方分布,得 b ? ? 0 .95 (6) ? 12.59(左侧分位数)

4、因为

?n ? 1?S 2
?2

服从 ? 2 (n ? 1) 分布,我们已知 n ? 10, ? ? 1,故 9 S 服从 ? 2 ( 9)
2







P b1 ? S 2 ? b2 ? P 9b1 ? 9S 2 ? 9b2 ? 0.9

?

? ? ?

?











2 P 9S 2 ? 9b2 ? 0.05, P 9S 2 ? 9b1 ? 0.05 , 则 可 以 得 到 9b2 ? ? 0 .95 (9) ? 16.92 , 2 (题中均为左侧分位数) 9b1 ? ? 0 .05 (9) ? 3.33 ,故 b1 ? 0.37, b2 ? 1.88。

?

?

?

第七章
7.1 (1) ? x ?

参数估计

?
n

?

5 ? 0.79 40
α =5%

(2)由于 1-α =95%

Z ? ? 1.96
2

所以 估计误差 Z ?
2

?
n

? 1.96 ?

5 ? 1.55 40

7.2 (1) ? x ?

?
n

?

15 ? 2.14 49
所以 Z ?
2

(2)因为 Z ? ? 1.96
2

?
n

? 1.96 ?

15 ? 4.20 49

(3)μ 的置信区间为 x ? Z ?
2

?
n

? 120 ? 4.20

7.3 由于 Z ? ? 1.96
2

x ? 1 0 4 5 6 0 ? ? 85414

n=100

所以μ 的 95%置信区间为

x ? Z?
2

?
n

? 104560? 1.96 ?

85414 ? 104560? 16741 .14 100 s 12 ? 81 ? 1.645? ? 81 ? 1.97 n 100

7.4(1)μ 的 90%置信区间为 x ? Z ?
2

(2)μ 的 95%置信区间为 x ? Z ?
2

s 12 ? 81? 1.96 ? ? 81? 2.35 n 100 s 12 ? 81? 2.58? ? 81? 3.096 n 100 3.5 ? 25 ? 0.89 60

(3)μ 的 99%置信区间为 x ? Z ?
2

7.5 (1) x ? Z ?
2

?
n

? 25 ? 1.96 ?

(2) x ? Z ?
2

s 23.89 ? 119.6 ? 2.326? ? 119.6 ? 6.416 n 75 s 0.974 ? 3.419 ? 1.645? ? 3.419 ? 0.283 n 32

(3) x ? Z ?
2

7.6 (1) x ? Z ?
2

?
n

? 8900? 1.96 ?

500 ? 8900? 253.035 15

(2) x ? Z ?
2

?
n

? 8900? 1.96 ?

500 ? 8900? 165.650 35

(3) x ? Z ?
2

s 500 ? 8900? 1.645? ? 8900? 139.028 n 35 s 500 ? 8900? 2.326? ? 8900? 196.583 n 35

(4) x ? Z ?
2

7.7 x ?

1 ? xi ? 3.317 n

s?

1 36 ?xi ? x ?2 ? 1.6 0 9 ? n ? 1 i ?1

90%置信区间为 x ? Z ?
2

s 1.609 ? 3.317 ? 1.645? ? 3.317 ? 0.441 n 36

95%置信区间为 x ? Z ?
2

s 1.609 ? 3.317 ? 1.96 ? ? 3.317 ? 0.526 n 36 s 1.609 ? 3.317 ? 2.576? ? 3.317 ? 0.6908 n 36

99%置信区间为 x ? Z ?
2

7.8 x ?

1 ? xi ? 10 n

s?

1 8 ?xi ? x ?2 ? 3.464 ? n ? 1 i ?1
s 3.464 ? 10 ? 2.3646? ? 10 ? 2.896 n 8

所以 95%置信区间为 x ? t?
2

?n ?1?

7.9 x ?

1 ? xi ? 9.375 n

由于 t?
2

?n ?1?

? t0.025 (15) ? 2.131

s?

1 ?xi ? x ?2 ? 4.113 ? n ?1

所以 95%置信区间为 x ? t?
2

?n ?1?

s 4.113 ? 9.375? 2.131? ? 9.375? 2.191 n 16

7.10 (1) x ? Z ?
2

s 1.93 ? 149.5 ? 1.96 ? ? 149.5 ? 0.63 n 36

(2)中心极限定理 7.11 (1) x ?

1 1 xi ? ? 5066 ? 101 .132 ? n 50

s?

1 ?xi ? x ?2 ? ? n ?1

1 ? 131.88 ? 1.641 49

x ? Z?
2

s 1.641 ? 101.32 ? 1.96 ? ? 101.32 ? 0.455 n 50
45 ? 0.9 50

(2)由于 p ?

所以 合格率的 95%置信区间为

p ? Z?
2

p?1 ? p ? 0.9 ? 0.1 ? 0.9 ? 1.96 ? ? 0.9 ? 0.083 n 50
t?
2

7.12 由于 x ?

1 ? xi ? 16.128 n

?n ?1?

? t0.005 (24) ? 3.745

s?

1 2 ? ?xi ? x ? ? 0.8706 n ?1

所以 99%置信区间为

x ? t? (n ? 1)
2

s 0.8706 ? 161.28 ? 3.745? ? 161.28 ? 0.653 n 25
1 ? xi ? 13.556 n

7.13

t? (n ? 1) ? t0.05 (17) ? 1.7 3 9 6 x ?
2

s?

1 ?xi ? x ?2 ? 7.800 ? n ?1

所以 90%置信区间为 x ? t? (n ? 1)
2

s 7.8 ? 13.556 ? 1.7396? ? 13.556 ? 3.198 n 18

7.14(1) p ? Z ?
2

p?1 ? p ? 0.51? 0.49 ? 0.51? 2.576? ? 0.51? 0.194 n 44 p?1 ? p ? 0.82 ? 0.18 ? 0.82 ? 1.96 ? ? 0.82 ? 0.0435 n 300 p?1 ? p ? 0.48? 0.52 ? 0.48 ? 1.645? ? 0.48 ? 0.024 n 1150

(2) p ? Z ?
2

(3) p ? Z ?
2

7.15(1)90%置信区间为

p ? Z?
2

p?1 ? p ? 0.23? 0.77 ? 0.23 ? 1.645? ? 0.23 ? 0.049 n 200

(2)95%置信区间为

p ? Z?
2

p?1 ? p ? 0.23? 0.77 ? 0.23 ? 1.96? ? 0.23 ? 0.058 n 200
? ? 2 ? Z? ? ? ? ? ? 2.5762 ? 10002 ? n ? ? 2 ?2 ? ? 165.89 所以 n 为 166 E 2002 n
2
2

7.16 E ? Z ?
2

? ? ? Z ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 2.0542 ? 0.4 ? 0.6 7.17(1) n ? ? 2 ? 2 ? ? 253.13 所以 n 为 254 E 0.022

? ? ? Z ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 1.962 ? 0.5 ? 0.5 (2) n ? ? 2 ? 2 ? ? 150.0625 所以 n 为 151 E 0.042 ? ? ? Z ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 1.6452 ? 0.55 ? 0.45 (3) n ? ? 2 ? 2 ? ? 267.89 所以 n 为 268 E 0.052 32 ? 0.64 7.18(1) p ? 50 ? ? ? Z ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 1.962 ? 0.8 ? 0.2 (2) n ? ? 2 ? 2 ? ? 61.46 所以 n 为 62 E 0.12
2 7.19(1) ?? ?n ? 1? ? ?02.05 ?50 ? 1? ? 66.339 2 ? 2 ? ?n ? 1? ? ?0 .95 ?50 ? 1? ? 33.9 3 0 1? 2 2
2

2

2

2

?n ? 1?s
??
2 2

??2 ?

?n ? 1?s
?2 ?
1? 2

2

所以

?n ? 1? s ? ?
??
2 2

?

?n ? 1? s ?
?
2 1?

?
2

49 49 ?2?? ? ? 2 ? 1.72 ? ? ? 2.40 66.339 33.93
2 ? 2 ? ?n ? 1? ? ?0 15 ? 1? ? 6.5706 .95 ? 1? 2

2 (2) ?? ?n ? 1? ? ?02.05 ?15 ? 1? ? 23.6848 2

?n ? 1? s ? ?
??
2 2

?

?n ? 1? s ?
?
2 1?

?
2

14 14 ? 0.02 ? ? ? 706 ? 0.02 ? 0.015 ? ? ? 0.043 23.6848 6.5
2 ? 2 ? ?n ? 1? ? ?0 .95 ?22 ? 1? ? 11.5 9 1 3 1? 2

2 (3) ?? ?n ? 1? ? ?02.05 ?22 ? 1? ? 32.6706 2

?n ? 1? s ? ?
??
2 2

?

?n ? 1? s ?
?
2 1?

?
2

21 21 ? 31 ? ? ? ? 31 ? 24.85 ? ? ? 41.725 36.706 11.5913

7.20(1) x ?

1 ? xi ? 7.15 n

s?

1 ?xi ? x ?2 ? 0.4 7 6 7 ? n ?1
1?

2 ?n ? 1? ? ?02.025 ?10 ? 1? ? 19.0228 ? 2 ? ?n ? 1? ? ?02.975 ?10 ? 1? ? 2.7 0 0 4 ?? 2 2

?n ? 1? s ? ?
?
2 ? 2

?

?n ? 1? s ?
?
2 1?

? 2

9 9 ? 0.4767 ? ? ? ? 0.4767? 0.328 ? ? ? 0.87 19.0228 2.7004

(2)

?n ? 1? s ? ?
?
2 ? 2

?

?n ? 1? s ?
?
2 1?

? 2

9 9 ?1.822 ? ? ? ?1.822 ? 1.253 ? ? ? 3.326 19.0228 2.7004

7.21 s 2 p ?

2 13 ? 96.8 ? 6 ? 102 (n1 ? 1)s12 ? (n2 ? 1)s2 ? 98.442 = 19 n1 ? n2 ? 2

(1) ?1 ? ? 2 的 90%置信区间为:

( x1 ? x2 ) ? t? 2 (n1 ? n2 ? 2) s p

1 1 1 1 ? ? = 9.8 ? 1.729? 98.442 ? 14 7 n1 n2
= 9.8 ? 7.9411

(2) ?1 ? ?2 的 95%置信区间为:

( x1 ? x2 ) ? t? 2 (n1 ? n2 ? 2) s p

1 1 1 1 ? ? = 9.8 ? 2.093? 98.442 ? 14 7 n1 n2
= 9.8 ? 9.613

(3) ?1 ? ? 2 的 99%置信区间为:

9.8 ? 2.8609? 98.442 ?

1 1 ? = 9.8 ? 13.140 14 7

7.22(1) ( x1 ? x2 ) ? z?

2

2 s12 s2 ? = 2 ? 1.96? 0.36 = 2 ? 1.176 n1 n21

(2) s 2 p ?

2 9 ? 16 ? 9 ? 20 (n1 ? 1)s12 ? (n2 ? 1)s2 = =18 18 n1 ? n2 ? 2

( x1 ? x2 ) ? t? 2 (n1 ? n2 ? 2) s p

1 1 1 = 2 ? 3.98 ? = 2 ? 2.1? 18 ? 5 n1 n2

2 s12 s2 ( ? )2 n1 n21 (3)? ? 2 =17.78 2 ( s1 n1 ) 2 ( s2 n2 ) 2 ? n1 ? 1 n2 ? 1
2 s12 s2 ? = 2 ? 2.1? 3.6 = 2 ? 3.98 n1 n21

( x1 ? x2 ) ? t ? 2 (? )
(4) t 0.025 (28) ? 2.048

s2 p ?

2 (n1 ? 1)s12 ? (n2 ? 1)s2 =18.714 n1 ? n2 ? 2

( x1 ? x2 ) ? t? 2 (n1 ? n2 ? 2) s p

1 1 1 1 ? ? = 2 ? 2.048? 18.714 ? 10 20 n1 n2
= 2 ? 3.43

2 s12 s2 16 20 ? )2 ( ? )2 n1 n21 (5)? ? 2 ? 10 2 202 =20.05 2 2 2 ( s1 n1 ) (s n ) 1.6 1 ? 2 2 ? n1 ? 1 n2 ? 1 9 19

(

t? 2 (? ) ? 2.086
( x1 ? x2 ) ? t ? 2 (? )
7 4
2 s12 s2 ? = 2 ? 2.086? 1.6 ? 1 = 2 ? 3.364 n1 n21

7.23(1) d ?

sd ?

? (d

? d )2 332 = = 6.917 48 n ?1
i

(2) d ? t? 2 (n ? 1) 7.24

sd 7 = ? 4.185 n 4

t? 2 (n ? 1) ? 2.6216 d ? 11, s d ? 6.53197 ?d 的置信区间为:
d ? t? 2 (n ? 1) sd 6.53197 = 11 ? 2.6216? = 11 ? 5.4152 10 n

7.25(1) (p1 ? p2 ) ? z?

2

p1 (1 ? p1 ) p2 (1 ? p2 ) ? n1 n2
0.4 ? 0.6 0.3 ? 0.76 = 0.1 ? 0.0698 ? 250 250

= 0.1 ? 1.645?

(2) (p1 ? p2 ) ? z?

2

p1 (1 ? p1 ) p2 (1 ? p2 ) ? n1 n2
0.4 ? 0.6 0.3 ? 0.76 = 0.1 ? 0.0831 ? 250 250

= 0.1 ? 1.96 ?

7.26 s1 ? 0.241609 s2 ? 0.076457

F? 2 (n1 ? 1, n2 ? 1) = F0.025 (20,20) =2.464

F0.975 (20,20) =0.40576
2 s12 s2 ? 2 s2 s2 ? 12 ? 1 2 F? 2 ? 2 F1?? 2

9.986 ? 12 9.986 ? 2? 2.446 ? 2 0.40576 4.0528?

?12 ? 24.611 2 ?2

7.27 n ?

( z? 2 ) 2 ? (1 ? ? ) 1.962 ? 0.02 ? 0.98 = =47.06 0.042 E2

所以 n =48

( z? 2 ) 2 ? 2 1.962 ? 1202 7.28 n ? = =138.30 202 E2
所以 n =139

第 8 章 假设检验
二、练习题 (说明: 为了便于查找书后正态分布表, 本答案中, 正态分布的分位点均采用了下侧分位点。 其他分位点也可。为了便于查找书后 t 分布表方便,本答案中,正态分布的分位点均采用了 上侧分位点。 ) 8.1 解:根据题意,这是双侧检验问题。

H 0 : ? ? 4.55 H 1 : ? ? 4.55
已知:总体方差 ?
2

? 0.1052

?0 ? 4.55,
z? x ? ?0 ?

x ? 4.484,

n ? 9,

显著水平? ? 0.05

4.484 ? 4.55 0.108/ 9

?/ n

? ?1.8 3 3 3

当 ? ? 0.05 ,查表得 z1?? / 2 ? 1.96。 拒绝域 W={ z ? z1?? / 2 } 因为 z ? z1?? / 2 ,所以不能拒绝 H0,认为现在生产的铁水平均含碳量为 4.55。 (注: z1?? / 2 为正态分布的 1-α /2 下侧分位点 )

8.2 解:根据题意,这是左单侧检验问题。

H 0 : ? ? 700 H1 : ? ? 700
已知:总体方差 ? ? 60
2 2

?0 ? 700,
z? x ? ?0 ?

x ? 680,
? ?2

n ? 36,

显著水平? ? 0.05

680 ? 700 60 / 36

?/ n

当 ? ? 0.05 ,查表得 z1?? ? 1.645。 拒绝域 W={ z ? ? z1?? } 因为 z ? ?2 ? ? z1?? ,所以拒绝 H0,认为该元件的使用寿命低于 700 小时。 (注: z1?? 为正态分布的 1-α 下侧分位点 ) 8.3 解:根据题意,这是右单侧检验问题。

H0 : ? ? 2 5 0 H1 : ? ? 2 5 0
已知:总体方差 ? ? 30
2 2

?0 ? 250,
z? x ? ?0 ?

x ? 270,

n ? 25,

显著水平? ? 0.05

270 ? 250 30 / 25

?/ n

? 3.3 3 3 3

当 ? ? 0.05 ,查表得 z1?? ? 1.645。 拒绝域 W={ z ? z1?? } 因为 z ? 3.3333? z1?? ,所以拒绝 H0,认为这种化肥能使小麦明显增产。 (注: z1?? 为正态分布的 1-α 下侧分位点 ) 8.4 解:根据题意,这是双侧检验问题。

H 0 : ? ? 100 H1 : ? ? 100

方差 ? 未知。
2

已知:总体

?0 ? 4.55,

显著水平? ? 0.05
s ? 1.2122 , n?9

根据样本计算得: x ? 99.9778 ,

t?

x ? ?0 s/ n

?

99.9 7 7 ? 81 0 0 ? ?0.0 5 4 9 1.2 1 2 /2 9

当 ? ? 0.05 ,查表得 t? / 2 (8) ? 2.3060。 拒绝域 W={ t ? t? / 2 (8) } 因为 t ? 0.0549? t? / 2 (8) ,所以不能拒绝 H0,认为该日打包机工作正常。 (注: t? / 2 (8) 为 t 分布的α /2 上侧分位点 ) 8.5 解:根据题意,这是右单侧检验问题。

H 0 : ? ? 0.05 H 1 : ? ? 0.05
已知: p ?

6 ? 0.12, 50

? 0 ? 0.05,

n ? 50,

显著水平 ? ? 0.05

z?

p ??0

? 0 (1 ? ? 0 )
n

?

0.12 ? 0.05 0.05 ? 0.95 50

? 2.2 7 1 1

当 ? ? 0.05 ,查表得 z1?? ? 1.645。 拒绝域 W={ z ? z1?? } 因为 z ? 2.2711? z1?? ,所以拒绝 H0,认为不符合标准的比例超过 5%,该批食品不 能出厂。 (注: z1?? 为正态分布的 1-α 下侧分位点 ) 8.6 解:根据题意,这是右单侧检验问题。

H 0 : ? ? 25000 H 1 : ? ? 25000
已知: ?0 ? 25000 , x ? 27000 , s ? 5000 , n ? 15,

显著水平 ? ? 0.05

t?

x ? ?0 s/ n

?

27000? 25000 5000/ 15

? 1.5492

当 ? ? 0.05 ,查表得 t? (14) ? 1.7613。 拒绝域 W={ t ? t? (14) } 因为 t ? 1.5492? t? (14) ,所以不能拒绝 H0,认为该厂家的广告不真实。 (注: t? (14) 为 t 分布的α 上侧分位点 ) 8.7 解:根据题意,这是右单侧检验问题。

H 0 : ? ? 225 H1 : ? ? 225
已知: ?0 ? 225 , x ? 241.5, s ? 98.7259 , n ? 16,

显著水平? ? 0.05

t?

x ? ?0 s/ n

?

241.5 ? 225 98.7259/ 15

? 0.6 4 7 3

当 ? ? 0.05 ,查表得 t? (15) ? 1.7531。 拒绝域 W={ t ? t? (15) } 因为 t ? 0.6473? t? (14) ,所以不能拒绝 H0,认为元件的平均寿命不大于 225 小时。 (注: t? (15) 为 t 分布的α 上侧分位点 ) 8.8 解:根据题意,这是右侧检验问题。

H0 :? 2 ? 1 0 0 H1 : ? 2 ? 1 0 0
已知: ? 0 ? 10,

s ? 14.6884 ,

n ? 9,

显著水平? ? 0.05

? ?
2

(n ? 1) s 2
2 ?0

8 ? 14.68842 ? ? 17.2 5 9 9 102
2

当 ? ? 0.05 ,查表得 ?? (8) ? 15.5073。 拒绝域 W={ ? 2 ? ?? (8) }
2

因为 ? ? 17.2599? ?? (8) ,所以拒绝 H0,认为 H1 : ? ? 100成立。
2 2
2

(注: ? ? (8) 为 ? 2 -分布的α 上侧分位点 )
2

8.9 解:根据题意,这是双侧检验问题。

H0 : ? A ? ?B ? 0 H1 : ? A ? ? B ? 0
已知:总体方差 ? A ? 632 ,? B ? 572
2 2

x A ? 1070 , n A ? 81 ; xB ? 1020 , nB ? 64,
z? x A ? xB
2 ?A 2 ?B

显著水平? ? 0.05

?

1070? 1020 632 572 ? 81 64

? 5 .0 0 5 9

nA

?

nB

当 ? ? 0.05 ,查表得 z1?? / 2 ? 1.96。 拒绝域 W={ z ? z1?? / 2 } 因为 z ? 5.0059? z1?? / 2 ,所以拒绝 H0,可以认为 A,B 两厂生产的材料平均抗压 强度不相同。 (注: z1?? / 2 为正态分布的 1-α /2 下侧分位点 ) 8.10 解:根据题意,这是双侧检验问题。

H 0 : ?1 ? ? 2 ? 0 H1 : ?1 ? ? 2 ? 0
已知:总体方差 ? 1 ? ? 2 ,但未知
2 2

x1 ? 31.75, n1 ? 12; x2 ? 28.6667 , n2 ? 12, s p ? 3.2030
t? sp x1 ? x2 1 1 ? n1 n2 ? 31.75 ? 28.6667 1 1 3.2030 ? 12 12 ? 2.3579

显著水平 ? ? 0.05

当 ? ? 0.05 ,查表得 t? / 2 (23) ? 2.0687。 拒绝域 W={ t ? t? / 2 (23) } 因为 t ? 2.3579? t? / 2 (23) ,所以拒绝 H0,认为两种方法的装配时间有显著差异。

(注: t? (23) 为 t 分布的α 上侧分位点 ) 8.11 解:根据题意,这是双侧检验问题。

H 0 : ?1 ? ? 2 H1 : ? 1 ? ? 2
已知: p1 ?

43 13 56 , p2 ? , n1 ? 205, n2 ? 134 , p ? , 205 134 339

显著水平 ? ? 0.05

在大样本条件下

z?

p1 ? p 2 1 1 p(1 ? p)( ? ) n1 n2

?

43 13 ? 205 134 ? 2.7329 56 56 1 1 (1 ? )( ? ) 339 339 205 134

当 ? ? 0.05 ,查表得 z1?? / 2 ? 1.96。 拒绝域 W={ z ? z1?? / 2 } 因为 z ? 2.7329? z1?? / 2 ,所以拒绝 H0,认为调查数据支持“吸烟者容易患慢性 气管炎”这种观点。 (注: z1?? / 2 为正态分布的 1-α /2 下侧分位点 )

8.12 解:根据题意,这是右单侧检验问题。 (1)

H 0 : ? ? 60 H 1 : ? ? 60 H 0 : ? ? 60 H 1 : ? ? 60

等同于(2)

已知: ?0 ? 60, x ? 68.1, s ? 45, n ? 144

z?

x ? ?0 s/ n

?

68.1 ? 60 45 / 144

? 2.16

在 n=144 情况下, (2)中的 H0 成立时,t 近似服从标准正态分布。 因此 P=P(t >2.16)=1-0.9846=0.0154。 所以在α =0.01 的显著水平,不能拒绝 H0,认为贷款的平均规模没有明显超过 60 万元。 8.13 解:根据题意,这是左单侧检验问题。

H 0 : ?1 ? ? 2 H1 : ? 1 ? ? 2
104 , n1 ? 11000 , 11000 189 已知: p 2 ? , n2 ? 11000 , 11000 293 p? , 显著水平? ? 0.05 22000 p1 ?
在大样本条件下

z?

p1 ? p 2 1 1 p(1 ? p)( ? ) n1 n2

?

104 189 ? 11000 11000 ? ?4.9992 293 293 1 1 (1 ? )( ? ) 22000 22000 11000 11000

当 ? ? 0.05 ,查表得 z1?? ? 1.645。 拒绝域 W={ z ? ? z1?? } 因为 z ? ?4.9992? ? z1?? ,所以拒绝 H0,认为阿司匹林可以降低心脏病发生率。 (注: z1?? 为正态分布的 1-α 下侧分位点 ) 8.14 解: (1)根据题意,这是双侧检验问题。

H 0 : ? 2 ? 0.03 H 1 : ? 2 ? 0.03
已知: ? 0 ? 0.03,
2

s 2 ? 0.0375 ,

n ? 80,

显著水平 ? ? 0.05

?2 ?

(n ? 1)s 2

?

2 0

?

79 ? 0.0375 ? 98.75 0.03

当 ? ? 0.05 ,利用 EXCEL 提供的统计函数“CHIINV” ,得
2 ?1?? / 2 2 (79) ? 56.3089 , ?? / 2 (79) ? 105.4727。 2 拒绝域 W={ ? 2 ? ?1-?、 2 (79)或? ? ??、 2 (79) } 2 2

因为 ?1-? / 2 (79) ? ? ? 98.75 ? ?? / 2 (79) , 所以不能拒绝 H0, 认为 H 0 : ? 2 ? 0.03
2 2 2

成立。 (注: ?? (79) 为 ? -分布的α 上侧分位点 )
2
2

(2)根据题意,这是双侧检验问题。

H 0 : ? ? 7.0 H 1 : ? ? 7.0
已知:总体方差 ?
2

? 0.03

?0 ? 7.0,
z? x ? ?0 ?

x ? 6.97,

n ? 80,

显著水平? ? 0.05

6.97 ? 7.0 0.03/ 9

?/ n

? ?0.5 1 9 6

当 ? ? 0.05 ,查表得 z1?? / 2 ? 1.96。 拒绝域 W={ z ? z1?? / 2 } 因为 z ? 0.5196? z1?? / 2 ,所以不能拒绝 H0,认为螺栓口径为 7.0cm 。 (注: z1?? / 2 为正态分布的 1-α /2 下侧分位点 ) 因此,由(1)和(2)可得:这批螺栓达到了规定的要求。

8.15(1)根据题意,这是双侧检验问题。
2 H0 :?1 ? ? 2 2 2 H1 : ? 1 ? ? 2 2

已知: s1 ? 56, n1 ? 25, s2 ? 49, n2 ? 16,

2

2

显著水平? ? 0.05

s 56 F ? 12 ? ? 1.1429 49 s2
当 ? ? 0.05 ,利用 EXCEL 提供的统计函数“FINV” ,得

2

F1?? / 2 (79) ? 0.4195 , F? / 2 (79) ? 2.6138。
拒绝域 W={ F ? F1-?、 2 (79)或F ? F ?、 2 (79) } 因 为 F1-? / 2 (25,16) ? F ? 2.6138? F? / 2 (25,16) , 所 以 不 能 拒 绝 H0 , 认 为
2 成立。 H0 : ?1 ? ? 2 2

(注: F? / 2 (25,16) 为 F-分布的α /2 上侧分位点 ) (2)根据题意,这是右单侧检验问题。

H 0 : ?1 ? ? 2 ? 0 H1 : ?1 ? ? 2 ? 0
由(1)的分析可知:总体方差 ? 1 ? ? 2 ,但未知
2 2

x1 ? 82, n1 ? 25; x2 ? 78, n2 ? 16,

显著水平? ? 0.05

sp ?

2

2 (n1 ? 1)s12 ? (n2 ? 1)s 2 ? 53.3077 n1 ? n2 ? 2

t? sp

x1 ? x2 1 1 ? n1 n2

?

82 ? 78 1 1 53.3077? ? 25 16

? 1.7 1 1 2

当 ? ? 0.05 ,查表得 t? (39) ? 1.6849。 拒绝域 W={ t ? t? (39) } 因为 t ? 1.7112? t? / 2 (39) ,所以拒绝 H0,认为有显著大学中男生学习成绩比女生 好。 (注: t? (39) 为 t 分布的α 上侧分位点 )

第十章
一、思考题 10.1 什么是方差分析?它研究的是什么?

方差分析

答:方差分析就是通过检验各总体的均值是否相等来判断分类型自变量对数值型因变量是 否有显著影响。它所研究的是分类型自变量对数值型因变量的影响。 10.2 要检验多个总体均值是否相等时,为什么不作两两比较,而用方差分析方法? 答:做两两比较十分繁琐,进行检验的次数较多,会使得犯第 I 类错误的概率相应增 加,而且随着增加个体显著性检验的次数,偶然因素导致差别的可能性也会增加。而 方差分析方法是同时考虑所有的样本,因此排除了错误累积的概率,从而避免一个真 实的原假设。 10.3 方差分析包括哪些类型?它们有何区别? 答:方差分析可分为单因素方差分析和双因素方差分析。区别:单因素方差分析研究

的是一个分类自变量对一个数值型因变量的影响,而双因素涉及两个分类型自变量。 10.4 方差分析中有哪些基本假定? 答: (1)每个总体都应服从正态分布 (2)各个总体的方差 (3)观测值是独立的 10.5 简述方差分析的基本思想 答:它是通过对数据误差来源的分析来判断不同总体的均值是否相等,进而分析自变量 对因变量是否有显著影响。 10.6 解释因子和处理的含义 答:在方差分析中,所要检验的对象称为因素或因子,因素的不同表现称为水平或处理。 10.7 解释组内误差和组间误差的含义 答:组内平均值误差的误差(SSE)是指每个水平或组的各个样本数据与其组平均值误 差平方和,反映了每个样本个观测值的离散状况;组间误差(SSA)是指各组平均值 与总平均值的误差平方和,反映了各样本均值之间的差异程度。 10.8 解释组内方差和组间方差的含义 答:组内方差指因素的同一个水平下样本数据的方差;组间方差指因素的不同水平下各 个样本之间的方差。 10.9 简述方差分析的基本步骤 答: (1)提出假设 (2)构造检验统计量 (3)统计决策 10.10 方差分析中多重比较的作用是什么? 答:通过对总体均值之间的配对比较来进一步检验哪些均值之间存在差异。 必须相同

二、练习题
10.1 解: 方差分析 差异源 组间 组内 总计 相同 10.2 解: 方差分析 差异源 组间 组内 总计 SS 93.76812 26.66667 120.4348 df 4 18 22 MS 23.44203 1.481481 F 15.82337 P-value 1.02431E-05 SS 618.9167 598 1216.917 df 2 9 11 MS 309.4583 66.44444 F 4.6574 P-value 0.04087724

不相同 10.3 解: ANOVA 每桶容量(L) 平方和 组间 组内 总数 不相同。 10.4 解: 方差分析 差异源 组间 组内 总计 有显著性差异。 10.5 解: 方差分析 差异源 组间 组内 总计 有显著差异。 LSD 检验:计算得 x A ? 44.4 , x B ? 30 , xC ? 42.6 ,有因为 n A ? nB ? nc ? 5 ,则 SS 615.6 216.4 832 df 2 12 14 MS 307.8 18.03333 F 17.06839 P-value 0.00031 SS 29.60952 18.89048 48.5 df 2 15 17 MS 14.80476 1.259365 F 11.75573 P-value 0.000849 0.007 0.004 0.011 df 3 15 18 均方 0.002 0.000 F 8.721 显著性 0.001

? 1 1? ?1 1? LSD ? t? 2 MSE? ? ? ? 2.093? 18.03333? ? ? ? ? 5.62 ?n ? n ? ? 5 5? ?
决策: (1) x A ? xB ? 44.4 ? 30 ? 14.4 ? 5.62,所以 A 生产企业生产的电池与 B 生产企 业生产的电池平均寿命有显著差异; (2) x A ? xC ? 44.4 ? 42.6 ? 1.8 ? 5.62 ,所以不能 认为 A 生产企业生产的电池与 C 生产企业生产的电池平均寿命有显著差异; (3) 所以 B 生产企业生产的电池与 C 生产企业生产的电 xB ? xC ? 30 ? 42.6 ? 12.6 ? 5.62 , 池平均寿命有显著差异。 10.6 解: 方差分析 差异源 组间 组内 总计 SS 5.349156 7.434306 12.78346 df 2 23 25 MS 2.674578 0.323231 F 8.274518 P-value 0.001962

有显著性差异 10.7 (1) 方差分析表 差异源 组间 组内 总计 SS 420 3836 4256 Df 2 27 29 MS 210 142.0740741 — F 1.47810219 — — P-value 0.245946 — — F crit 3.354131 — —

(2)若显著性水平 a=0.05,检验三种方法组装的产品数量之间是否有显著差异? P=0.025>a=0.05,没有显著差异。 10.8 解: 方差分析 差异源 行 列 误差 总计 SS 1.549333 3.484 0.142667 5.176 df 4 2 8 14 MS 0.387333 1.742 0.017833 F 21.71963 97.68224 P-value 0.000236 2.39E-06 F crit 7.006077 8.649111

(1)FR ? 21.71963? F? ? 7.006077 或 p=0.000236< ? ? 0.01 ,所以不同车速对磨损 程度有显著性差异; (2) FC ? 97.68224? F? ? 8.649111 或 p=2.39E-06< ? ? 0.01 ,所以不同供应商生 产的轮胎的磨损程度有显著性差异。 10.9 解: 方差分析 差异源 行 列 误差 总计 SS 19.067 18.1815 7.901 45.1495 df 4 3 12 19 MS 4.76675 6.0605 0.658417 F 7.239716 9.204658 P-value 0.003315 0.001949 F crit 3.259167 3.490295

结果表明施肥方法和品种都对收获量有显著影响。 10.10 解: 方差分析 差异源 行 列 误差 总计 SS 22.22222 955.5556 611.1111 1588.889 df 2 2 4 8 MS 11.11111 477.7778 152.7778 F 0.072727 3.127273 P-value 0.931056 0.152155 F crit 6.944272 6.944272

(1) FR ? 0.072727? F? ? 6.944272 或 p=0.931056> ? ? 0.05 ,所以不同销售地区 对食品的销售量无显著性差异; (2) FC ? 3.127273? F? ? 6.944292 或 p=0.152> ? ? 0.05 ,所以不同包装对食品的 销售量无显著性差异。 10.11 解:

方差分析 差异源 样本 列 交互 内部 总计 SS 1752 798 182.6667 324 3056.667 df 2 2 4 18 26 MS 876 399 45.66667 18 F 48.66667 22.16667 2.537037 P-value 5.49E-08 1.4E-05 0.075902 F crit 6.012905 6.012905 4.579036

(1) 竞争者的数量对销售额有显著影响 (2) 超市位置对销售额有显著影响 (3) 无交互作用 10.12 解: 方差分析 差异源 样本 列 交互 内部 总计 SS 344 48 56 96 544 df 2 1 2 6 11 MS 172 48 28 16 F 10.75 3 1.75 P-value 0.010386 0.133975 0.251932 F crit 5.143253 5.987378 5.143253

(1) 广告方案对销售量有显著影响 (2) 广告媒体形式对销售量无显著影响 (3) 无交互作用

第 11 章
一、思考题

一元线性回归

11.1.变量之间存在的互相依存的不确定的数量关系,称为相关关系。相关关系的特 点: ⑴变量之间确实存在着数量上的依存关系; ⑵变量之间数量上的关系是不确定、 不严格 的依存关系。 11.2.相关分析通过对两个变量之间的线性关系的描述与度量,主要解决的问题包括: ⑴变量之间是否存在关系?⑵如果存在关系, 它们之间是什么样的关系?⑶变量之间的关系 强度如何?⑷样本所反映的变量之间的关系能否代表总体变量之间的关系? 11.3.在进行相关分析时,对总体主要有以下两个假定:⑴两个变量之间是线性关系; ⑵两个变量都是随机变量。 11.4.相关系数的性质:⑴r 的取值范围是[-1,1],r 为正表示正相关,r 为负表示 负相关,r 绝对值的大小表示相关程度的高低;⑵对称性:X 与 Y 的相关系数 rxy 和 Y 与 X 之 间的相关系数 ryx 相等;⑶相关系数与原点和尺度无关;⑷相关系数是线性关联或线性相依

的一个度量, 它不能用于描述非线性关系; ⑸相关系数只是两个变量之间线性关联的一个度 量,却不一定意味两个变量之间有因果关系;⑹若 X 与 Y 统计上独立,则它们之间的相关系 数为零;但 r=0 不等于说两个变量是独立的。即零相关并不一定意味着独立性。 11.5.在实际的客观现象分析研究中,相关系数一般都是利用样本数据计算的,因而 带有一定的随机性。样本容量越小,其可信程度就越差,抽取的样本不同,r 的取值也会不 同,因此 r 是一个随机变量。能否用样本相关系数来反映总体的相关程度,需要考察样本相 关系数的可靠性,因此要进行显著性检验。 11.6.相关系数显著性检验的步骤:⑴提出假设;⑵计算检验统计量 t 值;⑶在给定 的显著性水平 ? 和自由度,查 t 分布表中相应的临界值,作出决策。 11.7.回归模型是对统计关系进行定量描述的一种数学模型,例如:对于具有线性关 系的两个变量, 可以有一元线性方程来描述它们之间的关系, 描述因变量 y 如何依赖自变量 x 和误差项 ? 的方程称为回归模型。 回归方程是对变量之间统计关系进行定量描述的一种数学表达式。 指具有相关的随机变 量和固定变量之间关系的方程。 当总体回归系数未知时, 必须用样本数据去估计, 用样本统计量代替回归方程中的未知 参数,就得到了估计的回归方程。 11.8.一元线性回归模型通常有以下几条基本的假定:⑴变量之间存在线性关系;⑵ 在重复抽样中,自变量 x 的取值是固定的;⑶误差项ε 是一个期望为零的随机变量;⑷)对 于所有的 x 值,误差项 ? 的方差 ? 都相同;⑸误差项 ? 是一个服从正态分布的随机变量,
2

且相互独立。即 ? ? N (0, ? ) 。
2

11.9.参数最小二乘法的基本原理是:因变量的观测值与估计值之间的离差平方和最 小。 11.10.总平方和指 n 次观测值的的离差平方和,衡量的是被解释变量 y 波动的程度或 不确定性的程度。 回归平方和反映 y 的总变差中由于 x 与 y 之间的线性关系引起的 y 的变化 部分, 这是可以由回归直线来解释的部分, 衡量的是被解释变量 y 不确定性程度中能被解释 变量 x 解释的部分。 残差平方和是除了 x 对 y 的线性影响之外的其他因素引起的 y 的变化部 分,是不能由回归直线来解释的部分。它们之间的关系是: 总平方和=回归平方和 + 残差平方和。 11.11.回归平方和占总平方和的比例称为判定系数。判定系数测量了回归直线对观测 数据的拟合程度。 11.12.在回归分析中,F 检验是为检验自变量和因变量之间的线性关系是否显著,通 过均方回归与均方残差之比,构造 F 检验统计量,提出假设,根据显著性水平,作出判断。 t 检验是回归系数的显著性检验,要检验自变量对因变量的影响是否显著,通过构造 t 检验统计量,提出假设,根据显著性水平,作出判断。

11. 13.线性关系检验的步骤:⑴提出假设; H 0 : ?1 ? 0 ;⑵构造 F 检验统计量;

F?

SSR /1 MSR ;⑶根据显著性水平,作出判断。 ? SSE / (n ? 2) MSE
回归系数检验的步骤:⑴提出假设; H0 : ?1 ? 0; H1 : ?1 ? 0 ;⑵构造 t 检验统计量;

t?

? ? 1 s??
1

;⑶根据显著性水平,作出判断。

11.14.回归分析结果的评价可以从以下几个方面:⑴回归系数的符号是否与理论或事 先预期相一致;⑵自变量与因变量之间的线性关系,在统计上是否显著;⑶根据判定系数的 大小,判断回归模型解释因变量取值差异的程度;⑷误差项的正态假定是否成立。 11.15.置信区间估计是对 x 的一个给定值 x0 ,求出 y 的平均值的区间估计。预测区 间估计是对 x 的一个给定值 x0 ,求出 y 的一个个别值的区间估计。二者的区别是:置信区 间估计的区间长度通常较短,而预测区间估计的区间长度要长,也就是说,估计 y 的平均值 比预测 y 的一个特定值或个别值更精确。 11.16.残差分析在回归分析中的作用:回归分析是确定两种或两种以上变量间的定量 关系的一种统计分析方法. 判断回归模型的拟合效果是回归分析的重要内容, 在回归分析中, 通常用残差分析来判断回归模型的拟合效果,并判定关于误差项的正态假设是否成立。 二、练习题 11.1.(1)散点图如下:
200 160

生产费用

120 80 40 0 0 50 产量 100 150

从散点图可以看出,产量与生产费用之间为正的线性相关关系。 (2)利用 Excel 的“CORREL”函数计算的相关系数为 r ? 0.920232 。 (3)首先提出如下假设: H 0 : ? ? 0 , H 1 : ? ? 0 。 计算检验的统计量

t?r

n?2 12 ? 2 ? 0.920232 ? 7.435 2 2 1? r 1 ? 0.920232

当 ? ? 0.05 时,t 0.05 2 (12 ? 2) ? 2.228。由于检验统计量 t ? 7.435 ? t? 2 ? 2.228,拒

绝原假设。表明产量与生产费用之间的线性关系显著。 11.2(1)散点图如下:
100 80

考试分数

60 40 20 0 0 10 20 复习时间 30 40

从散点图可以看出,复习时间与考试分数之间为正的线性相关关系。 (2)利用 Excel 的“CORREL”函数计算的相关系数为 r ? 0.8621 。相关系数 r ? 0.8 , 表明复习时间与考试分数之间有较强的正线性相关关系。

? ? 10 表示当 x ? 0 时 y 的期望值为 10。 ? ? ?0.5 表示 x 每增加一个 11.3.(1) ? (2) ? 1 0
单位, y 平均下降 0.5 个单位。 (3) x ? 6 时, E ( y) ? 10 ? 0.5 ? 6 ? 7 。 1.4. (1) R 2 ?

SSR SSR 36 ? ? ? 90% SST SSR ? SSE 36 ? 4

R 2 ? 90% 表示,在因变量 y 取值的变差中,有 90%可以由 x 与 y 之间的线性关系来解
释。 (2) se ?

SSE 4 ? ? 0.5 n?2 18 ? 2

se ? 0.5 表示,当用 x 来预测 y 时,平均的预测误差为 0.5。
11.5. (1)散点图如下:
6 5

运送时间

4 3 2 1 0 0 500 运送距离 1000 1500

从散点图可以看出,运送距离与运送时间之间为正的线性相关关系。 (2)利用 Excel 的“CORREL”函数计算的相关系数为 r ? 0.9489 。相关系数 r ? 0.8 , 表明运送距离与运送时间之间有较强的正线性相关关系。 (3)由 Excel 输出的回归结果如下表:

回归统计 Multiple R R Square Adjusted R Square 标准误差 观测值 方差 df 回归分析 残差 总计 1 8 9 Coefficients Intercept X Variable 1 0.118129 0.003585 SS 16.68162 1.843379 18.525 标准误差 0.355148 0.000421 MS 16.68162 0.230422 F 72.39585 Significance F 2.79E-05 0.948943 0.900492 0.888054 0.480023 10

t Stat 0.33262 8.508575

P-value 0.74797 2.79E-05 0.002613

? ? 0.118129? 0.003585 得到的回归方程为: y x

? ? 0.003585 回归系数 ? 表示运送距离每增加 1 公里, 运送时间平均增加 0.003585 天。 1
11.6. (1)散点图如下:
14000 12000

人均消费水平

10000 8000 6000 4000 2000 0 0 10000 20000 人均GDP 30000 40000

从散点图可以看出,人均 GDP 与人均消费水平为正的线性相关关系。 (2)利用 Excel 的“CORREL”函数计算的相关系数为 r ? 0.998128 。相关系数接近于 1,表明人均 GDP 与人均消费水平之间有非常强的正线性相关关系。 (3)Excel 输出的回归结果如下表: 回归统计 Multiple R R Square Adjusted R Square 标准误差 观测值 方差分析 df 回归 残差 1 5 SS 81444969 305795 MS 81444969 61159.01 F 1331.692 Significance F 2.91E-07 0.998128 0.996259 0.995511 247.3035 7

总计 Intercept X Variable 1

6 Coefficients 734.6928 0.308683

81750764 标准误差 139.5403 0.008459 t Stat 5.265094 36.49236 P-value 0.003285 2.91E-07

? ? 0.308683 ? ? 734.6928? 0.308683 得到的回归方程为: y 表示人均 x 。回归系数 ? 1
GDP 每增加 1 元,人均消费水平平均增加 0.308683 元。 (4)判定系数 R ? 0.996259 。表明在人均消费水平的变差中,有 99.6259%是由人均
2

GDP 决定的。 (5)首先提出如下假设: H 0 : ?1 ? 0 , H1 : ?1 ? 0 由于 Significance F< ? ? 0.05 ,拒绝原假设,表明人均 GDP 与人均消费水平之间的线 性关系显著。

? 5000 ? 734.6928? 0.308683 (6) y 。 ? 5000? 2278 .1078(元)
(7)当 ? ? 0.05 时, t 0.05 2 (7 ? 2) ? 2.571, se ? 247.3035 。 置信区间为:

? 0 ? t? 2 s e y

(x ? x)2 1 ? n 0 n ? ( xi ? x ) 2
i ?1

? 2278 .1078? 2.571? 247.3035 ? 2278 .1078? 287.4
即(1990.7,2565.5) 。 预测区间为:

1 (5000? 12248.4285 7) 2 ? 7 854750849. 7

? 0 ? t? 2 s e 1 ? y

(x ? x)2 1 ? n 0 n ? ( xi ? x ) 2
i ?1

? 2278.1078? 2.571? 247.3035 1 ? ? 2278.1078? 697.8
即(1580.3,2975.9) 11.7. (1) 散点图如下:

7) 2 1 (5000? 12248.4285 ? 7 854750849. 7

140 120 100

投诉次数

80 60 40 20 0 0 20 40 60 航班正点率 80 100

从散点图可以看出,航班正点率与被投诉次数之间为负的线性相关关系。 (2)由 Excel 输出的回归结果如下表: 回归统计 Multiple R R Square Adjusted R Square 标准误差 观测值 方差分析 df 回归分析 残差 总计 Intercept X Variable 1 1 8 9 Coefficients 430.1892 -4.70062 SS 8772.584 2853.816 11626.4 标准误差 72.15483 0.947894 MS 8772.584 356.727 t Stat 5.962029 -4.95902 F 24.59187 Significance F 0.001108 0.868643 0.75454 0.723858 18.88722 10

P-value 0.000337 0.001108

? ? ?4.7 表示航班正点率每增 ? ? 430.1892? 4.7 x 。回归系数 ? 得到的回归方程为: y 1
加 1%,顾客投诉次数平均下降 4.7 次。 (3)回归系数检验的 P-Value=0.001108< ? ? 0.05 ) ,拒绝原假设,回归系数显著。

? 80 ? 430.1892? 4.7 ? 80 ? 54.1892(次) (4) y
(5)当 ? ? 0.05 时, t 0.05 2 (10 ? 2) ? 2.306, se ? 18.88722 置信区间为:

? 0 ? t? 2 s e y

( x0 ? x ) 2 1 ? n n ? ( xi ? x ) 2
i ?1

? 54.1892? 2.306? 18.88722 ? 54.1892? 16.48
即(37.7,70.7)

1 (80 ? 75.86 )2 ? 10 397.024

预测区间为:

? 0 ? t? 2 s e 1 ? y

(x ? x)2 1 ? n 0 n ? ( xi ? x ) 2
i ?1

? 54.1892? 2.306? 18.88722 1 ? ? 54.1892? 46.57
即(7.6,100.8) 11.8.Excel 输出的回归结果如下: Multiple R R Square Adjusted R Square 标准误差 观测值 方差分析 df 回归 残差 总计 Intercept X Variable 1 1 18 19 49.3177 0.2492 0.7951 0.6322 0.6117 2.6858 20

)2 1 (80 ? 75.86 ? 10 397.024

SS 223.1403 129.8452 352.9855

MS 223.1403 7.2136 t Stat 12.9612 5.5618

F 30.9332

Significance F 2.79889E-05

Coefficients 标准误差 3.8050 0.0448

P-value 0.0000 0.0000

? ? 49.3177? 0.2492x 。 由上表结果可知,出租率与月租金之间的线性回归方程为: y

? ? 0.2492表示:月租金每增加 1 元,出租率平均增加 0.2492%。 回归系数 ? 1
R 2 ? 63.22% ,表明在出租率的变差中被出租率与租金之间的线性关系所解释的比例
为 63.22%,回归方程的拟合程度一般。 估计标准误差 se ? 2.6858表示,当用月租金来预测出租率时,平均的预测误差为 2.6858%,表明预测误差并不大。 由方差分析表可知, Significance F=2.79889E-05< ? ? 0.05 回归方程的线性关系显著。 回归系数检验的 P-value=0.0000< ? ? 0.05 , 表明回归系数显著, 即月租金是影响出租率的 显著性因素。 11.9. (1)方差分析表中所缺的数值如下 方差分析表如下: 变差来源 回归 残差 df 1 10 SS 1422708.6 40158.07 MS 1422708.6 4015.807 F 354.277 — Significance F 2.17E-09 —

总计

11

1642866.67


2





(2)根据方差分析表计算的判定系数 R ?

SSR 1422708 .60 ? ? 0.8660 ? 86.60% SST 1642866 .67

表明汽车销售量的变差中有 86.60%是由于广告费用的变动引起的。 (3)相关系数可由判定系数的平方根求得: r ?

R 2 ? 0.8660 ? 0.9306

? ? 1.420211 ? ? 363.6891? 1.420211 (4)回归方程为: y 表示广告费 x 。回归系数 ? 1
用每增加一个单位,销售量平均增加 1.420211 个单位。 (5)由于 Significance F=2.17E-09< ? ? 0.05 ,表明广告费用与销售量之间的线性 关系显著。 11.10.Excel 输出的回归结果如下: 回归统计 Multiple R R Square Adjusted R Square 标准误差 观测值 方差分析 df 回归分析 残差 总计 Intercept X Variable 1 1 3 4 Coefficients 13.62541 2.302932 SS 651.2691 43.53094 694.8 标准误差 4.399428 0.343747 MS 651.2691 14.51031 t Stat 3.097086 6.699491 F 44.88318 Significance F 0.006785 0.968167 0.937348 0.916463 3.809241 5

P-value 0.053417 0.006785

? ? 13.6254? 2.3029x ,回归系数表明, x 每增加一个 由上述结果可知:回归方程为 y
单位 y 平均增加 2.3029 个单位;判定系数 R ? 93.74% ,表明回归方程的拟合程度较高;
2

估计标准误差 se ? 3.8092,表明用 x 来预测 y 时平均的预测误差为 3.8092。 11.11. (1)检验统计量: F ?

SSR 1 60 1 ? ? 27 SSE n ? 2 40 20 ? 2

(2) F? (1, n ? 2) ? F0.05 (1 , 20 ? 2) ? 4.41 (3)由于 F ? 27 ? F? ? 4.41,所以拒绝原假设 H 0 : ?1 ? 0 (4)根据相关系数与判定系数之间的关系可知,

r ? R2 ?

SSR ? SST

SSR 60 ? ? 0.7746 SSR ? SSE 60 ? 40

(5)提出假设: H 0 : ?1 ? 0 , H1 : ?1 ? 0 由于 F ? 27 ? F? ? 4.41,拒绝 H 0 ,线性关系显著。

? 4 ? 5 ? 3 ? 4 ? 17 。当 ? ? 0.05 , 11.12. (1)当 x ? 4 时, y

t? 2 (n ? 2) ? t 0.05 2 (20 ? 2) ? 2.101。 y 的平均值的 95%的置信区间为:
? 0 ? t? 2 s e y ( x0 ? x ) 2 1 ? n n ? ( xi ? x ) 2
i ?1

1 (4 ? 2) 2 ? 17 ? 2.101? 1.0 ? ? 17 ? 1.0505 20 20
即(15.95,18.05) (2)预测区间为:

? 0 ? t? 2 s e 1 ? y

(x ? x)2 1 ? n 0 n ? ( xi ? x ) 2
i ?1

1 (4 ? 2) 2 ? 17 ? 2.101? 1.0 1 ? ? ? 17 ? 2.3490 20 20
即(14.65,19.35) 11.13.Excel 输出的回归结果如下: 回归统计 Multiple R R Square Adjusted R Square 标准误差 观测值 方差分析 df 回归分析 残差 总计 Intercept X Variable 1 1 6 7 Coefficients -46.2918 15.23977 SS 625246.3 70969.2 696215.5 标准误差 64.89096 2.096101 MS 625246.3 11828.2 t Stat -0.71338 7.270533 F 52.86065 Significance F 0.000344 0.947663 0.898064 0.881075 108.7575 8

P-value 0.502402 0.000344

? ? ?46.2918? 15.23977 x 得到的线性回归方程为: y
39 9 当 x ? 40 时 , E ( y) ? ?46.2918? 15.23977? 40 ? 5 6.2 。 当 ? ? 0.05 ,

t? 2 (n ? 2) ? t 0.05 2 (8 ? 2) ? 2.447。
(2)销售收入 95%的置信区间为:

? 0 ? t? 2 s e y

(x ? x)2 1 ? n 0 n ? ( xi ? x ) 2
i ?1

? 563.299 ? 2.447? 108.7575 ? 563.299 ? 121.745
即(270.65,685.04) 。

1 (40 ? 24.9375 )2 ? 8 2692.11875

441.54 ? E( y40 ) ? 685.04。
11.14.回归 1 残差图:
回归1 残差 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 0 -1 -1.5 5 10 15 20 25 回归1 残差

回归 2 残差图:
回归2 残差 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 0 5 10 15 20 回归2 残差

结论:回归 1 的残差基本上位于一条水平带中间,说明变量之间的线性假设以及对误 差项正态假设是成立,用一元线性回归方程描述变量间的关系是合适的。 回归 2 的残差表示,变量之间用一元线性回归模型不合理,应考虑曲线回归或多元回 归。

? ? 29.399 ? 1.547 x 11.15. (1) 估计的回归方程为: y
(2)由于 Significance F=0.020< ? ? 0.05 ,表明广告费支出与销售额之间的线性 关系显著。 (3) 残差图

X Variable 1 Residual Plot 10

残差

0 -10 -20 X Variable 1 0 5 10 15 20 25

从图上看,关于误差项 ? 的假定不满足。 (4)广告费支出 x 与销售额 y 关系的散点图:
销售额y 60 50 40 30 20 10 0 0 5 10 15 20 25 销售额y

从广告费支出 x 与销售额 y 关系的散点图上看,用二次函数或其它曲线模型会更好。

第十二章 多元线性回归
12.1 解释多元回归模型、多元回归方程、估计的多元回归方程的含义。 答:设因变量为 y , k 个自变量分别为 x1 , x2 ,?, xk ,描述因变量 y 如何依赖于自 变量 x1 , x2 ,?, xk 和误差项 ? 的方程 y ? ?0 ? ?1x1 ? ?2 x2 ? ? ? ?k xk ? ? 称为多元回归 模型。其中, ?0 , ?1 ,?, ? k 是模型的参数; ? 为误差项。 在多元回归模型的基本假定下,因变量 y 的期望 E( y) ? ?0 ? ?1x1 ? ?2 x2 ? ? ? ?k xk , 该式被称为多元回归方程。 回归方程中的参数 ?0 , ?1 ,?, ? k 是未知的,需要利用样本数据去估计它们。当用

? ,? ? 去估计回归方程中的未知参数 ? , ? ,?, ? 时,就得到 ? ,?, ? 样本统计量 ? 1 0 k 1 0 k ? ?? ? x ?? ? x ? ?? ? ?x 。 ? ?? 了估计的多元回归方程 y 0 1 1 2 2 k k
12.2 多元线性回归模型中有哪些基本假定?

答: (1)误差项 ? 是一个期望值为 0 的随机变量,即 E (? ) ? 0 。 (2)对于自变量 x1 , x2 ,?, xk 的所有值, ? 的方差 ? 都相同。
2

(3)误差项 ? 是一个服从正态分布的随机变量,且相互独立,即 ? ~ N (0,? 2 ) 。 12.3 解释多重判定系数和调整的多重判定系数的含义和作用。 答:多重判定系数 R 是多元回归中的回归平方和占总平方和的比例,它是度量多元回 归方程拟合程度的一个统计量,反映了在因变量的变差中被估计的回归方程所解释的比例。 为避免增加自变量而高估 R ,统计学家提出用样本量 n 和自变量的个数 k 去调整 R , 计算出调整的多重判定系数 Ra ? 1 ? (1 ? R )(
2 2
2 2 2

n ?1 ) ,其意义与 R 2 类似,表示在用样本 n ? k ?1

量和模型中自变量的个数进行调整后,在因变量的变差中被估计的回归方程所解释的比例。 12.4 解释多重共线性的含义。 答: 当回归模型中两个或两个以上的自变量彼此相关时, 则称回归模型中存在多重共线 性。 12.5 多重共线性对回归分析有哪些影响? 答:首先,变量之间高度相关时,可能会使回归的结果混乱,甚至会把分析引入歧途; 其次,多重共线性可能对参数估计值的正负号产生影响,特别是 ?i 的正负号有可能同预期 的正负号相反。 12.6 多重共线性的判别方法主要有哪些? 答: (1)模型中各对自变量之间显著相关。 (2)当模型的线性关系检验(F 检验)显著时,几乎所有回归系数 ?i 的 t 检验却不 显著。 (3)回归系数的正负号与预期的相反。 (4)容忍度越小,也即方差扩大因子 VIF 越大,多重共线性越严重。通常容忍度小 于 0.1,也即 VIF 大于 10 时,存在严重的多重共线性。 12.7 多重共线性的处理方法有哪些? 答: (1)将一个或多个相关的自变量从模型中剔除,使保留的自变量尽可能不相关。 (2)如果要在模型中保留所有的自变量,那就应该:避免根据 t 统计量对单个参数

? 进行检验;对因变量 y 值的推断(估计或预测)限定在自变量样本值的范围内。
12.8 在多元线性回归中,选择自变量的方法有哪些? 答:向前选择、向后剔除、逐步回归、最优子集等。 二、练习题

12.1

? ? 25.028701 y ? 0.049714 x1 ? 1.928169 x2 t (1.123440 ) (?0.469037 ) (1.309755 ) R 2 ? 0.210896 F ? 0.935410
2 Ra ? ?0.014562

n ? 10

? ? ?0.049714 表示,在 x2 不变的条件下, x1 每增加 1 个单位,会使 y 平均减少 ? 1
0.049714 个单位;

? ? 1.928169表示,在 x 不变的条件下, x 每增加 1 个单位,会使 y 平均增加 ? 1 2 2
1.928169 个单位。
2 多重判定系数 R 和调整的多重判定系数 Ra 显示: 该多元回归方程的拟合效果较差, 在
2

因变量 y 的变差中,能被估计的回归方程所解释的比例很少。

F 检验表明, y 与 x1 、 x2 之间的线性关系不显著。

t 检验表明,自变量 x1 、 x2 对因变量 y 的影响均不显著。
12.2 模型中涉及 3 个自变量,15 个观测值。

? ? 657.0534? 5.710311 y x1 ? 0.416917 x2 ? 3.471481 x3 t (3.923655 ) (3.186849 ) (?1.293998 ) (?2.405847 ) R 2 ? 0.709650 F ? 8.961759
2

2 Ra ? 0.630463

n ? 15

2 多重判定系数 R 和调整的多重判定系数 Ra 显示: 该多元回归方程的拟合效果较好, 在

用样本量和模型中自变量的个数进行调整后, 在因变量 y 的变差中, 能被估计的回归方程所 解释的比例为 63.0463%。

F 检验表明, y 与 x1 、 x2 、 x3 之间的线性关系显著。

t 检验表明,自变量 x1 、 x3 对因变量 y 的影响均显著,但 x2 对因变量 y 的影响不显著。
12.3 (1) F ?

SSR/ k 6216.375/ 2 ? ? 42.85044? F0.05 (2,7) ? 4.737 SSE/(n ? k ? 1) (6724.125? 6216.375) /(10 ? 2 ? 1)

故 y 与 x1 、 x2 、之间的线性关系显著。

(2) t1 ?

? ? 1 s?? ? ? 2 s??
2 1

?

2.01 ? 24.723 ? t0.025 (7) ? 2.3646,故 ?1 显著。 0.0813 4.74 ? 83.598 ? t0.025 (7) ? 2.3646,故 ? 2 显著。 0.0567

(3) t2 ?

?

12.4 (1)

? ? 88.637681 y ? 1.603865 x1 t (56.015876 ) (3.356905 ) R 2 ? 0.652553 F ? 11.268811
(2)
2 Ra ? 0.594645

n?8

? ? 83.230092? 2.290184 y x1 ? 1.300989 x2 t (52.882479 ) (7.531899 ) (4.056697 ) R 2 ? 0.919036 F ? 28.377768
值大小不同。其中,
2 Ra ? 0.886650

n?8

(3)上述(1)和(2)所建立的估计的回归方程,电视广告费用的系数符号相同但数

? ? 1.603865 (1)中 ? 表示,电视广告费用 x1 每增加 1 万元,会使月销售收入 y 平均 1
增加 1.603865 万元;

? ? 2.290184 (2)中 ? 表示,在报纸广告费用 x2 不变的条件下,电视广告费用 x1 每增 1
加 1 万元,会使月销售收入 y 平均增加 2.290184 万元。 (4)根据问题(2)所建立的估计的回归方程,在月销售收入的总变差中,被估计的回 归方程所解释的比例是 88.6650%。 (5)根据问题(2)所建立的估计的回归方程,

t1 ? 7.531899? t0.025 (5) ? 2.5706,故 ?1 显著。 t2 ? 4.056697? t0.025 (5) ? 2.5706,故 ? 2 显著。
12.5 (1)

? ? ?0.590996? 22.386461 y x1 ? 327.671713 x2 t (?0.001170 ) (2.331791 ) (3.316585 ) R 2 ? 0.991321 F ? 228.444462
2 Ra ? 0.986982

n?7

? ? 22.386461 (2 ) ? 表示,春季降雨量 x1 每增加 1mm,会使早稻收获量 y 平均增加 1
22.386461kg/hm ;
2

? ? 327.671713表 示 , 春 季 温 度 x 每 增 加 1 。 C , 会 使 早 稻 收 获 量 y 平 均 增 加 ? 2 2
327.671713kg/hm 。 ( 3 )可能存在。因为自变量春季降雨量 x1 与春季温度 x2 的简单线性相关系数为
2

? 的 t 检验不显著。 0.965067。且模型的线性关系检验(F 检验)显著,但回归系数 ? 1
12.6 (1)

? ? 148.700454? 0.814738 y x1 ? 0.820980 x2 ? 0.135041 x3 t (0.258870 ) (1.591321 ) (3.887646 ) (2.050322 ) R 2 ? 0.897496 F ? 46.696970
2 Ra ? 0.878276

n ? 20

(2)在销售价格的总变差中,被估计的回归方程所解释的比例是 87.83%。 (3) F ? 46.696970? F0.05 (3,16) ? 3.344故回归方程的线性关系显著。 (4) t1 ? 1.591321 ? t0.025 (16) ? 2.1314,故回归系数 ?1 不显著。

t2 ? 3.887646? t0.025 (5) ? 2.1314,故回归系数 ? 2 显著。 t3 ? 2.050322? t0.025 (5) ? 2.1314,故回归系数 ?3 不显著。
12.7 (1) F ? 28.377768? F0.01 (2,5) ? 13.27 ,故二元回归模型的线性关系显著。 (2) t1 ? 7.531899? t0.025 (5) ? 2.5706,故 ?1 显著, x1 不应从模型中剔除。 (3) t2 ? 4.056697? t0.025 (5) ? 2.5706,故 ? 2 显著, x2 不应从模型中剔除。 。 12.8 (1) ry , x1 ? 0.002498

H0 : ? ? 0, H1 : ? ? 0,
t ?| r | n?2 15 ? 2 ? 0.002498 ? ? 0.009007? t0.025 (13) ? 2.1788 2 2 1? r 1 ? 0.002498

故无证据表明二者之间存在线性关系。 (2) ry , x2 ? 0.434069 ,

H0 : ? ? 0, H1 : ? ? 0,

t ?| r |

n?2 15 ? 2 ? 0.434069 ? ? 1.737254? t0.025 (13) ? 2.1788 ,, 2 2 1? r 1 ? 0.434069

故无证据表明二者之间存在线性关系。 (3) E( y) ? ?0 ? ?1x1 ? ?2 x2 对预测 y 无用。 (4)

? ? ?45.154136? 3.097008 y x1 ? 1.031859 x2 t (?73.851492 ) (252.313726 ) (280.078913 ) R 2 ? 0.999847 F ? 39222 .34341
2 Ra ? 0.999822

n ? 15

F 检验表明, y 与 x1 、 x2 之间的线性关系显著。

t 检验表明,自变量 x1 、 x2 对因变量 y 的影响均显著。
这与(3)所得结论不相同。 (5) rx1 , x2 ? ?0.899776 ,说明模型存在多重共线性。 12.9 (1) ry , x1 ? 0.308952 ,

H0 : ? ? 0, H1 : ? ? 0,
t ?| r | n?2 15 ? 2 ? 0.308952 ? ? 1.171242? t0.025 (13) ? 2.1788, 2 2 1? r 1 ? 0.308952

故无证据表明销售价格与购进价格之间存在线性关系。

ry , x1 ? 0.001214,
H0 : ? ? 0, H1 : ? ? 0,
t ?| r | n?2 15 ? 2 ? 0.001214 ? ? 0.004377? t0.025 (13) ? 2.1788 ,, 2 2 1? r 1 ? 0.001214

故无证据表明销售价格与销售费用之间存在线性关系。 (2)根据(1)中结果,用购进价格和销售费用来预测销售价格无用。 (3)

? ? 375.601829? 0.537841 y x1 ? 1.457194 x2 t (1.106630 ) (2.555711 ) (2.182386 ) R 2 ? 0.352460 F ? 3.265842
2 Ra ? 0.244537

n ? 15

F 检验表明, y 与 x1 、 x2 之间的线性关系不显著。

t 检验表明,自变量 x1 、 x2 对因变量 y 的影响均显著。
2 (4)调整的多重判定系数 Ra 显示:在用样本量和模型中自变量的个数进行调整后,在

因变量 y 的变差中,能被估计的回归方程所解释的比例仅为 24.4537%。这与(2)中的判断 是一致的。 (5) rx1 , x2 ? ?0.852858 ,说明模型存在多重共线性。 (6)模型中存在多重共线性。

第十四章
产品名称 甲 乙 要求: (1)计算产量与单位成本个体指数。 计量 单位 台 吨 基期 2000 5000 产量

统计指数
单位成本(元) 报告期 2200 6000 基期 12 6.2 报告期 12.5 6

1.某企业生产甲、乙两种产品,资料如下:

(2)计算两种产品产量总指数以及由于产量增加而增加的生产费用。 (3)计算两种产品单位成本总指数以及由于成本降低而节约的生产费用。 解: 产品 名称 甲 乙 计量 单位 台 吨 q0 2000 5000 产量 q1 2200 6000 单位成本(元) z0 12 6.2 z1 12.5 6 产量 110 120 指数(%) 单位成本 104.2 96.8

(2)产量指数:

?z q ?z q

0 1

?

0 0

63600 ? 115 .64% 55000
0 0

?z q ? ?z q
0 1

?元? ? 63600? 55000? 8600

(3)单位成本指数:

?z q ?z q

1 1 0 1

?

63500 ? 99.84% 63600

?z q ? ?z q
1 1

0 1

? 63500? 63600? ?100?元?

2.某商场销售的三种商品资料如下: 商品 名称 甲 乙 丙 要求: (1)计算三种商品的销售额总指数。 (2)分析销售量和价格变动对销售额影响的绝对值和相对值。 解: 商品 名称 甲 乙 丙 合 计 q0 100 200 300 — 销售量 q1 115 220 315 — 单价(元) p0 100 50 20 —
1 1

计量 单位 基期 100 200 300

销售数量 报告期 115 220 315

单价(元) 基期 100 50 20 报告期 100 55 25

千克 台 件

销售额(元) p0q0 10000 10000 6000 26000 p1q1 11500 12100 7875 31475 p0q1 11500 11000 6300 28800

p1 100 55 25 —

(1)销售额总指数:

?pq ?pq ?pq ?pq

?

0 0

31475 ? 121.06% 26000
0 0

? pq ?? p q
1 1

?元? ? 31475? 26000? 5475

(2)价格的变动:

1 1 0 1

?

31475 ? 109.29% 28800
0 1

? pq ?? p q
1 1

?元? ? 31475? 28800? 2675

销售量的变动:

?pq ?pq

0 1

?

0 0

28800 ? 110.77% 26000
0 0

?p q ??p q
0 1

?元? ? 28800? 26000? 2800
价格(元) 基期 0.25 报告期 0.2

3.试根据下列资料分别用拉氏指数和帕氏指数计算销售量指数及价格指数。 商品 名称 甲 计量 单位 支 基期 400 销售数量 报告期 600

乙 丙 解: 商品 名称 甲 乙 丙 合 计

件 个

500 200

600 180

0.4 0.5

0.36 0.6

销售量 q0 400 500 200 — q1 600 600 180 —

价格(元) p0 0.25 0.4 0.5 —
1 1 0 1

销售额(元) p0q0 100 200 100 500 p1q1 120 216 108 444 p1q0 80 180 120 380 p0q1 150 240 90 480

p1 0.2 0.36 0.6 —

价格指数:

?pq ?pq

?

444 ? 92.5% 480 480 ? 96% 500

?pq ?pq

1 0 0 0

?

380 ? 76% 500
444 ? 116 .8% 380

销售量指数

?pq ?pq

0 1

?

0 0

?pq ?pq

1 1

?

1 0

4.某公司三种产品的有关资料如下表, 试问三种产品产量平均增长了多少, 产量增长对 产值有什么影响? 产品名称 甲 乙 丙 解: 总产值(万元) 产 品 甲 乙 丙 P0q0 100 100 60 P1q1 120 115 85 个体产量指数 1.25 1.10 1.50 基期产值(万元) 100 100 60 报告期产值(万元) 120 115 85

q1 q0
1.25 1.10 1.50

kq ?

?q p ?q p
1 0

0 0

?q q p ? ?q p
0 0 0 0

q1

0

?

1.25? 100? 1.10? 100? 1.50? 60 325 ? ? 125% 100? 100? 60 260

?p q ??p q
0 1

0 0

? ? 325? 260 ? 65?万元

三种产品产量平均增长了 25%, 由于产量增长使得产值也相应增长了 25%, 绝对额增加 65 万元。 5.三种商品销售资料如下,通过计算说明其价格总的变动情况。

商品 名称 甲 乙 丙 价格总指数
q 0 p0

商品销售总额(万元)
p1 q1

报告期价格 比基期降低(%)

80 20 160

86 34 144

10 5 15

kp ?

?pq ?pq

1 1 0 1

?

?pq 1 ?k pq
1 1 p

?

1 1

86 ? 34 ? 144 264 ? ? 78.44% 86 34 144 336.55 ? ? 0.9 0.95 0.85

三种商品价格平均下降 21.56%,由于价格下降使得销售额也相应下降了 21.56%,绝对 额减少 72.55 万元。 6.某商场上期销售收入为 525 万元,本期要求达到 556.5 万元。在规定销售价格下调 2.6%的条件下,该商场商品销售量要增加多少,才能使本期销售达到原定的目标?

?pq ?p q
0

1 1 0

?

? p q ? ?q p ? p q ?q p
1 1 1 0 1 0

0 0

556.5 ? q1 p0 ? 97.4% ? 525 ? q0 p0

∴销售量指数 k q ?

?pq ?pq

0 1

? 106% ? 97.4% ? 108.83%

0 0

该商场商品销售量要增加 8.83%才能使本期销售达到原定的目标。 7.某地区 2003 年平均职工人数为 229.5 万人,比 2002 年增加 2%;2003 年工资总额为 167076 万元,比 2002 年多支出 9576 万元。试推算 2002 年职工的平均工资。 2002 年平均职工人数 = 229.5÷1.02 = 225(万人) 2002 年工资总额 = 167076—9576 = 157500(万元) 2002 年职工的平均工资=工资总额÷平均职工人数=157500÷225=700 元 8.某电子生产企业 2003 年和 2002 年三种主要产品的单位生产成本和产量资料如下: 产品名称 高能电池 电路板 录音机 要求: (1)计算三种产品的产值总指数和产值增减总额。 (2) 以 2003 年的产量为权数计算三种产品的加权单位产品成本综合指数, 以及因单位 成本变动的产值增减额。 (3) 以 2002 年单位产品成本为权数计算三种产品的加权产量综合指数, 以及由于产量 计量单位 2002 年 节 块 台 900 500 700 产量 2003 年 1000 500 800 单位产品成本(元) 2002 年 8.5 55 100 2003 年 9 58.5 115

变动的产值增减额。 解: 产 品 高能电池 电路板 录音机 合 计 产 量 q0 900 500 700 — q1 1000 500 800 — 单位成本(元) Z0 8.5 55 100 — Z1 9 58.5 115 —
1 1

总成本 Z0q0 7650 27500 70000 105150 Z1q1 9000 29250 92000 130250 z0q1 8500 27500 80000 116000

(1)三种产品的产值总指数

?z q ?z q
0 0

?

0 0

130250 ? 123.87% 105150

产值增减总额

?z q ? ?z q
1 1

?元? ? 130250? 105150? 25100
1 1 0 1

(2)单位产品成本综合指数

?z q ?z q

?

130250 ? 112.28% 116000
0 1

因单位成本变动的产值增减额

?z q ? ?z q
1 1
0 1

?元? ? 130250 ? 116000? 14250

(3)三种产品产量综合指数

?z q ?z q
0 1

?

0 0

116000 ? 110.32% 105150
0 0

由于产量变动的产值增减额

?z q ? ?z q

?元? ? 116000 ? 105150? 10850

9.某工厂有三个生产车间, 基期和报告期各车间的职工人数和劳动生产率资料如下: 试 分析该企业劳动生产率的变动及其原因。 车间 一车间 二车间 三车间 合计 解: 职工人数(人) 劳动生产率(万元/人) 总产值(万元) 职工人数(人) 基期 200 160 150 510 报告期 240 180 120 540 劳动生产率(万元/人) 基期 4.4 6.2 9 6.32 报告期 4.5 6.4 9.2 6.18

f0
一车间 200

f1
240

x0
4.4

x1
4.5

x0 f 0
880

x1 f1
1080

x0 f 1
1056

二车间 三车间 合 计

160 150 510

180 120 540

6.2 9 6.32
1 1 1

6.4 9.2 6.18

992 1350 3222

1152 1104 3336

1116 1080 3252

总水平指数:

x1 x0

?x f ?f ? ?x f ?f
0 0

?
0

6.18 ? 97.78% 6.32

? x1 ? x0 ? 6.18 ? 6.32 ? ?0.14?万元
组水平变动指数:

x1 x假定

?x f ?f ? ?x f ?f
1 1

1 1

?

0 1

6.18 ? 103.52% 5.97

? x1 ? x假定 ? 6.18 ? 5.97 ? 0.21?万元
结构变动指数:

x 假 定 5.97 ? ? 94.46% 6.32 x0

? x假定 ? x0 ? 5.97 ? 6.32 ? ?0.35?万元
总水平指数=组水平变动指数×结构变动指数 97.78%=103.52%×94.46%

x1 ? x 0 ? x1 ? x 假定 ? x 假定 ? x 0
-0.14 = 0.21 + (-0.35)

?

? ?

?

计算结果表明,该企业的劳动生产率报告期比基期下降了 2,。22%,减少 1400 元,是 由于企业结构发生了变动,使得公司的劳动生产率下降 5.54%,平均每车间减少 3500 元; 由于各车间劳动生产率的提高,使企业劳动生产率提高了 3.52%,平均增加 2100 元共同作 用的结果。 10.某市限购令前后的房价如下: 市区商品房 年份 2010 2011 成交套数 500 200 均价(元) 15,000 16,000 郊区商品房 成交套数 500 600 均价(元) 10,000 11,000 成交总数 成交套数 1,000 800 均价(元) 12,500 12,250

要求: (1)计算价格指数。 (2)房价是上升了还是下降了?为什么?

(1)价格指数

?pq ?pq

1 1 0 1

?

16000? 200 ? 11000? 600 9800000 ? ? 108.89% 15000? 200 ? 10000? 600 9000000

(2)限购令后该市的房价不但没有下降,反而上升了 8.89%,主要原因是均价较低的 郊区商品房成交套数增加,并且占全部成交套数的比重由 2010 年的 50%上升到 2011 年的 75%,而均价较高的市区商品房成交套数减少,并且占全部成交套数的比重由 2010 年的 50% 下降到 2011 年的 25%。结构的变化带来该市商品房平均价格下降 250 元的现象。


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