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偏微分方程数值解法(3)


§4 双曲型方程的差分解法 一、一阶双曲型方程的差分格式 一阶双曲型方程的初值问题为

?ut ? aux ? 0 (?? ? x ? ??, t ? 0) ? ?u ( x,0) ? ? ( x)

(1) (2)

a 为常数,亦称(1)为对流方程。称 x ? at ? ? 为(1)的特征线,? 为常数,沿特征线 u (x, t)的方向导数

du du (at ? ? , t ) ? ? au x ? u t ? 0 dt dt
即 u (x, t)沿特征线为常数,再由 (2.) ,得初值问题(1)(2)的解 ,

u( x, t ) ? ? ( x ? at)
这是个单向的传播波,a>0 时,波形?(x)沿 x 轴方向传播,为右传播波,a < 0 时,为左 传播波,在传播过程中,波形均不发生变化。 二阶波动方程

utt ? a 2u xx ? 0
若令 v = u,w = aux 则得一阶双曲型方程组

?vt ? awx ? 0 ? ?wt ? avx ? 0
~ 再令 u ? w ? v, ~ v ? w ? v ,则得

~ ~ ?u t ? au x ? 0 ?~ ~ ?v t ? a v x ? 0
可见,二阶双曲型方程可化为一阶双曲型方程组。 下面建立(1)的差分格式,作网格线

x ? x j ? jh,

j ? 0, ? 1, ? 2, ?

t ? t n ? n? , n ? 0, 1, 2, ?
对区域 G: {( x, t ) ? ? ? x ? ??, t ? 0} 进行剖分,其中 h = ?x 为空间步长,? = ?t 为时间 步长。 a)逆风格式 ut (xj, tn)用向前差商代替,ux(xj, tn)用向前或向后差商代替, u j 表示 u(xj, tn)近似值, 得
n

u n ?1 ? u n j j

?

?a

u n?1 ? u n j j h

?0



u n ?1 ? u n j j

?
令? = ? / h,得

?a

u n ? u n?1 j j h

?0

u n?1 ? u n ? a?(u n?1 ? u n ) j j j j u n?1 ? u n ? a?(u n ? u n?1 ) j j j j
截断误差均为 o(? ? h) ,其节点分布见图 1。

(3) (4)

图1 用 Fourier 方法讨论(3)的稳定性:令 u j ? v e
n n ik jh

,代入(3)得传播因子

G(? , k ) ? 1 ? a? (e ikh ? 1) ? 1 ? a? (1 ? coskh) ? ia? sin kh
G (? , k ) ? ?1 ? a? (1 ? cos kh)? ? a 2 ?2 sin 2 kh
2 2

kh ? kh kh ? ? ?1 ? 2a? sin 2 ? ? 4a 2 ?2 sin 2 cos2 2? 2 2 ? kh ? 1 ? 4a? (1 ? a? ) sin 2 2
当 a>0 时,恒有 G (? , k )
2

2

? 1,格式(3)不稳定,当 a<0 且 a? ? 1 时, G (? , k ) ? 1 ,格
2

式(3)稳定。同样可得格式(4)在 a <0 时不稳定,在 a >0 且 a? ? 1 时稳定。称(3)(4) 、 为一阶双曲方程(1)的逆风差分格式,由于稳定性的要求,a >0 时只能用格式(4) < 0 ,a 时只能用式(3) 。为了编制计算程序方便,可将(3)(4)改写为统一形式: 、

?a ? a n ? a? a n u n ?1 ? u n ? ? ? (u j ? u n?1 ) ? (u j ?1 ? u n )? j j j j 2 ? 2 ?
稳定性条件为 a ? ? 1。 b) Lax-Friedrichs 格式

(5)

1 u n?1 ? (u n?1 ? u n?1 ) u n ? u n j j j j ?1 j ?1 2 ? ?0 ? 2h
该格式构造于 1954 年,用到 u j ?
n

(6)

? h2 1 n (u j ?1 ? u n?1 ) 的技巧,截断误差为 o? j ?? 2 ?

? ? ? o(? ? h 2 ) , ? ?

节点分布见图 2,传播因子

G(? , k ) ? coskh ? ia? sin kh

G (? , k ) ? cos 2 kh ? a 2 ?2 sin 2 kh ? 1 ? (1 ? a 2 ?2 ) sin 2 kh
2

当 a ? ? 1时, G(? , k ) ? 1 ,即格式(6)在 a ? ? 1时稳定。 c)Lax-Wendroff 格式

a a2 2 n u n?1 ? u n ? ? (u n?1 ? u n?1 ) ? ? (u j ?1 ? 2u n ? u n?1 ) j j j j j j 2 2
图2 图3

(7)

该格式构造于 1960 年,它除使用 Taylor 级数展开方法外,还反复利用了微分方程本身,其 节点分布如图 3,截断误差为 o(? 2 ? h 2 ) ,过渡因子

G (? , k ) ? 1 ? 2a 2 ?2 sin 2

kh ? ia? sin kh 2 kh 2 G (? , k ) ? 1 ? 4a 2 ?2 (1 ? a 2 ?2 ) sin 4 2

当 a ? ? 1时有 G ? 1 ,即格式(7)在 a ? ? 1条件下稳定。该格式精度高,节点分布对称, 应用上倍受重视。 d)古典隐式格式 前面介绍的均为显式格式,且都是条件稳定格式,计算时,步长的选取受到一定限制, 而隐式格式无此限制。 ut 用向后差商代替,ux 用中心差商代替得

u n ? u n?1 j j

?
2

?a

u n?1 ? u n?1 j j 2h

?0

(8)

截断误差为 o(? ? h ) ,其节点分布见图 7.2.4,过渡因子

G (? , k ) ?

1 ? a?i sin kh 1 ? a 2 ?2 sin 2 kh 1 2 G (? , k ) ? 2 2 1 ? a ? sin 2 kh

对任意的网格比?利时,均有 G ? 1 ,故差分格式(8)是无条件稳定格式。 e)Grank-Nicholson 型格式

u n ? u n ?1 j j

?
2

n ?1 n ?1 n n a ? u j ?1 ? u j ?1 u j ?1 ? u j ?1 ? ??0 ? ? ? ? 2? 2h 2h ? ?
n? 1 2

(9)

它是在( x j , t n ? 1 )处展开,由 u j

? (u n ? u n ?1 ) / 2 及中心差商以式而得到的,截断误差为 j j

o(? 2 ? h 2 ) ,节点分布见图 5,是一个无条件稳定格式。

显式格式计算简便,但都是条件稳定格式,选定空间步长 h 后,为确保格式的稳定,时 间步长的选取要受限制,使之满足稳定性条件,用隐式格式求解时,每计算一个时间层的 u 值时,需用追赶法求解一个三对角方程组,计算量增大,隐格式是一个无条件稳定格式,从 而时间步长? 可选得大些,但也要受计算精度或其它条件的制约。另外,每一个时间层都对 应一个方程组, 因此隐格式适用于初边值问题和具有周期性条件的初值问题, 一般的初值问 题不适用。 图4 二、二阶双曲型方程的差分格式 这里将直接构造方程 utt ? a 2 u xx 的差分格式 a)显式格式 utt, uxx 均用中心差商代替之,得 图5

u n?1 ? 2u n ? u n?1 j j j

?


? a2

u n?1 ? 2u n ? u n?1 j j j h2

(10)

u n?1 ? 2(1 ? a 2 ?2 )u n ? a 2 ?2 (u n?1 ? u n?1 ) ? u n?1 j j j j j
图6 其中网格比 ? ?

?
h

,截断误差 o(? ? h ) ,节点分布见图 6,这是三层显示格式,当 n ?2
2 2

时,可用(10)计算,n = 1 时,欲计算 u j 需借助于初值条件的离散化,以后再做介绍。三 层差分格式须引入新的未知量,化为二层格式后,再用 Fourier 方法讨论其稳定性,推导从 略,这里仅给出差分格式(10)的稳定性条件: ? ? b)隐格式 利用关系

n

?
h

?

1 。 a

? 2u( x j , t n ) ?x 2
可得三层隐式格式:

2 2 1 ? ? u ( x j ?1 , t n ) ? u ( x j ?1 , t n ) ? ? ? ? ? 2? ?x 2 ?x 2 ? ? ?

u n?1 ? 2u n ? u n ?1 j j j

?2


n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 a 2 ? u j ?1 ? 2u j ? u j ?1 u j ?1 ? 2u j ? u j ?1 ? ? ? ? ? 2 ? h2 h2 ? ? ?

(7.2.11)

?1 ?1 a 2 ?2 u n?1 ? 2(1 ? a 2 ?2 )u n ?1 ? a 2 ?2 u n?1 j j j ?1 ?1 ? ?4u n ? 2(1 ? a 2 ?2 )u n ?1 ? a 2 ?2 (u n?1 ? u n?1 ) j j j j

截断误差是 o(? 1 ? h ) ,节点分布见图 7,可证明此格式绝对稳定。已知 n 层,n+1 层
2

的 u 值,由格式(11) ,借助追赶法,可求得 n + 1 层的 u 值。 图 7.2.7


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