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[名校联盟]福建省长泰县第一中学2012届高三数学二轮复习专题15 数学建模


数 学 建 模

[课前导引]

[课前导引]
1. 一个人以匀速6米/秒去追停在交通 灯前的汽车, 当他距汽车25米时, 灯由红变 绿, 汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走, 则 ( ) A. 人可在7秒内追上汽车 B. 人可在10米内追赶上汽车 C. 人追不上汽车, 其间最近为10米 D. 人追赶不上汽车, 其间最近为7米

[解析] 汽车与人的距离为:

1 2 1 2 t ? 25 ? 6t ? ( t ? 6) ? 7 ? 7. 2 2

[解析] 汽车与人的距离为:

1 2 1 2 t ? 25 ? 6t ? ( t ? 6) ? 7 ? 7. 2 2
[答案] D

2. 一个正方体,它的表面涂满了红色,

在它的每个面上切两刀可得27个小立方块,
从中任取两个, 其中恰有一个一面涂有红 色, 一个两面涂有红色的概率为 ( )

16 A. 117

32 B. 117

8 C. 39

16 D. 39

[解析] 因为恰有一面涂有红色的有6个,
恰有两面涂有红色的有12个,则从中任

取两个, 其中恰有一个一面涂有红色, 一
个两面涂有红色的概率为:

6 ? 12 6 ? 12 ? 2 8 P? 2 ? ? C 27 27 ? 26 39

[解析] 因为恰有一面涂有红色的有6个,
恰有两面涂有红色的有12个,则从中任

取两个, 其中恰有一个一面涂有红色, 一
个两面涂有红色的概率为:

6 ? 12 6 ? 12 ? 2 8 P? 2 ? ? C 27 27 ? 26 39 [答案] C

[考点搜索]

[考点搜索]
近几年,高考的数学科目稳步的加大 应用题的考查力度,突出未来数学教育的

核心——“建模解决实际问题”. 高考中
出现的应用题,大致可分为以下几类:

第一类:与排列、组合、概率有关的
应用题;

第二类:与函数及函数的最值有关
的应用题; 第三类:与数列的通项或数列等求

和有关的应用题;
第四类:与立体几何或解析几何的 位置和轨迹有关的应用题.

[链接高考]

[链接高考]
[例1] 某工厂统计资料显示,一种产 品次品率p与日产量件(x∈N+, 0<x≤100) 之间的关系:

已知一件正品盈利a元, 生产一件次品损失 a 元. 3 (1) 试将该厂的日盈利额 y(元)表 示为日生产量 x(件)的函数;
(2) 为获取最大盈利, 该 厂的日生产

量应定为多少件?

1 1 1 ) x ? ax ? , [解析] (1) y ? a(1 ? 108 ? x 3 108 ? x 1 4 ? y ? ax[3 ? ] (0 ? x ? 100, x ? N ). 3 108 ? x

1 1 1 ) x ? ax ? , [解析] (1) y ? a(1 ? 108 ? x 3 108 ? x 1 4 ? y ? ax[3 ? ] (0 ? x ? 100, x ? N ). 3 108 ? x
(2) 令108 ? x ? t , t ? [8,108), t ? N , 1 4 y ? a(108 ? t )( 3 ? ) 3 t 1 144 ? a[328 ? 3( t ? )] 3 t
?

1 ? a( 328 ? 3 ? 2 ? 12) 3 256 ? a. 3 144 当且仅当t ? , 即t ? 12, t x ? 108 ? 12 ? 96时, 取得最大盈利 . ? 为获取最大盈利日生产量定为 件. , 96

[方法论坛]

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将实际问题转化为数学问题,利用数 学中所学的知识求解,这个过程叫做数学

建模,它的解答步骤:1)分析题意,找
出数量关系或位置关系;2)根据数学知

识转化为数学问题;3)求解数学问题;4)
还原实际作答.

[例2] 某公司取消福利分房和公费医疗, 实行年薪制工资结构改革,该公司从2005年 起每人的工资由三部分组成并按下表实施: 金额(元/ 人· 年) 基础工资 10000 房屋补贴 400 医疗费 1600 项目 性质与计算方法 考虑物价因素从2005 年起每年增加10% (与工龄无关) 按照职工到公司的年 限,每年递增400元 固定不变

如果公司现有5名职工,计划从明年 起新招5名职工. (1) 若今年(2005年)算第一年,试 把第n年该公司付给职工工资总额y(万元) 表示成年限n的函数; (2) 试判断公司每年发给职工工资总 额中,房屋补贴和医疗费的总和能否超过 基础工资的20%?

[解析] (1) 第n年共有5n个职工, 那么基础 1 n 工资总额为n(1 ? ) (万元), 医疗费总额 10 为5n ? 0.16(万元), 房屋补贴为: 5 ? 0.04 ? 5 ? 0.04 ? 2 ? 5 ? 0.04 ? 3 ? ? ? 5 ? 0.04 ? n ? 0.1 ? n( n ? 1)(万元) 1 n ? y ? 5n(1 ? ) ? 0.1 ? n( n ? 1) ? 0.8n 10 1 n ? n[5(1 ? ) ? 0.1( n ? 1) ? 0.8](万元) 10

(2) 用比差法: 1 n 5(1 ? ) ? 20% ? [0.1( n ? 1) ? 0.8] ? 10 1 n 1 1 1 n (1 ? ) ? ( n ? 9) ? [10(1 ? ) ? ( n ? 9)] 10 10 10 10 1 n 1 1 2 1 因10(1 ? ) ? 10(1 ? C n ? Cn ? ?) 10 10 100 n ? 10(1 ? ) ? 10 ? n ? n ? 9. 10 故房屋补贴和医疗费总 和不会超过基础 工资总额的20%.

[例3] A、B两位同学各有5张卡片, 现以

投掷均匀硬币的形式进行游戏, 当出现正面

朝上时A赢得B一张卡片, 否则B赢得A一张
卡片, 规定掷硬币的次数达9次时, 或在此之

前某人已赢得所有卡片游戏终止, 设?表示
游戏终止时掷硬币的次数:

(1) 求?的取值范围;
(2) 求的数学期望E?.

m [解析] (1) 设正面出现的次数为 , ?m ?n5 ? 反面出现的次数为 . 则?m ? n ? ? 可得: n ?1 ? ? ? 9 ? 当m ? 5, n ? 0或m ? 0, n ? 5时? ? 5. 当m ? 6, n ? 1或m ? 1, n ? 6时? ? 7. 当m ? 7, n ? 2或m ? 2, n ? 7时? ? 9. ??的所有可能取值为: 5、、. 79

1 5 2 1 (2) p(? ? 5) ? 2 ? ( ) ? ? ; 2 32 16 5 1 1 7 p(? ? 7) ? 2C 5 ( ) ? ; 2 64 (前5次出现过一次反面或正 ) 面 1 5 55 p(? ? 9) ? 1 ? ? ? ; 16 64 64 1 5 55 275 E? ? 5 ? ? 7 ? ? 9 ? ? . 16 64 64 32

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解决应用题时特别注意三大应用题

方向:
1. 函数和最值相结合的应用题,先 根据各个量之间的关系找出函数的解析 式,写明函数的定义域,再利用基本不 等式、求导、或配方等方法求出其最值;

2. 数列的应用题, 先找出通项或递
推关系式, 若是等差数列或等比数列, 应 确定是通项的应用还是前n项和的应用. 若是不熟悉的数列, 则要通过恒等变形或 不等转化使之成为我们熟悉的数列.

3. 概率或概率分布列的应用题, 应 利用数学中的分类讨论的思想对其进行 全面的考虑, 且利用多种方法进行检验.

[例4] 制订投资计划时, 不仅要考虑可 能获得的盈利, 且要考虑可能出现的亏损. 某人打算投资甲、 乙两个项目, 根据预测, 甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100% 和50%, 可能的最大亏损率分别为30% 和 10%, 投 资人计划投资金额不超过10万元, 要求确保可能的亏损资金不超过1.8万元, 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万 元, 才能使可能的盈利最大?

x [解析] 设投资人分别用 万元、y万元 投资甲、乙两个项目 ,由题意知: ? x ? y ? 10 ?0.3 x ? 0.1 y ? 18 ? ,目标函数z ? x ? 0.5 y , ? x?0 ? ?y ? 0 ? 上述不等式组表示的 区域如图中P区域 (阴影部分, 包括边界)

x [解析] 设投资人分别用 万元、y万元 投资甲、乙两个项目 ,由题意知: ? x ? y ? 10 ?0.3 x ? 0.1 y ? 18 ? ,目标函数z ? x ? 0.5 y , ? x?0 ? ?y ? 0 ? 上述不等式组表示的 区域如图中P区域 (阴影部分, 包括边界)

作直线l 0 : x ? 0.5 y ? 0, 并作平行于l 0 的一组直线x ? 0.5 y ? z , z ? R, 与可行域相交, 其中有一条直线经过 可行域上的M点, 且 与直线x ? 0.5 y ? 0 的距离最大, 这里M 点是直线x ? y ? 10 和 0 .3 x ? 0 .1 y ? 1 .8 的交点.

? x ? y ? 10 解方程组? 得x ? 4, y ? 6. ?0.3 x ? 0.1 y ? 1.8 此时z ? 1 ? 4 ? 0.5 ? 6 ? 7万元, ? 7 ? 0, 当x ? 4, y ? 6时, z取得最大值. 答:投资人用4万元 投资甲项目, 6万元投 资乙项目, 才能在确 保亏损不超过1.8万元 的前提下, 使可能的 盈利最大.

[点评] 实际问题转化成数学问题是 解应用题的关键, 本题数学问题的背景
是运用简单的线性规则知识解决问题.


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