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江苏省常州市武进区2017届第一学期期中考试 高三文科数学试题Word版含答案.doc


江苏省常州市武进区 2017 届第一学期期中考试 高三文科数学试题
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卡相应的位置 上) 1.已知集合 A ? {1, 2,5,6} , B ? {2,3, 4} ,则 A ? B ? ___▲___. 2.设 a ? R ,若复数 (1 ? i)(a ? i) 的虚部为零,则 a ? ___▲___. 3. 要得到函数 f ( x) ? sin ? 2 x ? 个单位. 4. “直线 l 垂直于平面 ? 内的两条直线” 是 “直线 l 垂直于平面 ? ” 的___▲___条件 (填 “充 分不必要” , “必要不充分” , “充要” , “既不充分也不必要” ) .

? ?

??

? 的图象,须将函数 y ? sin 2 x 的图象向右平移___▲___ 3?

1 1 ,则 f (log 2 3) ? f (log 2 ) ? ___▲___. 3 2 ?1 ? ? ? ? ? 6 . 已 知 向 量 a ? (1, 2) , b ? (2,0) , 若 向 量 ? a ? b 与 向 量 c ? (1, ?2) 共 线 , 则 实 数
5.已知函数 f ( x) ?
x

? ? ___▲___.
7.设 Sn 是首项不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和,且 S1 , S2 , S4 成等比数列,则 于___▲___. 8. 如右图,在平行四边形 ABCD 中, AB ? 4 , AD ? 3 , ??? ? 1 ??? ? ? ?DAB ? , 点 E, F 分别在 BC, DC 边上, 且 BE ? EC , 3 2 A ???? ??? ? ??? ? ??? ? DF ? FC ,则 AE ? EF ? ___▲___. 9.已知锐角 ? 满足 sin ?

a2 等 a1
C

D

F

E B

5? ?? ? ? 4 ? ? ? ? ,则 cos ? ? ? 6 ?2 6? 5 ?

? ? 的值为___▲___. ?

10.已知正数 x 、 y 满足 x ? y ? 3 ,则

4 1 ? 的最小值为___▲___. x y ?1
*

11. 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S2 ? 7 ,an?1 ? 2Sn ? 1 ,n ? N ,则 S5 ? ___▲___. 12.长方体 ABCD—A1B1C1D1 中, AB ? BC ? 4 , AA 1 ? 3 ,则四面体 A1BC1D 的体积为

___▲___. 13.已知 ?ABC 的内角 A , B 满足

sin B ? cos( A ? B) ,则 tan B 的最大值为___▲___. sin A

14.已知函数 f ( x) ? x3 ? 3x 在区间 ? a ? 1, a ? 1? ? a ? 0? 上的最大值与最小值之差为 4,则 实数 a 的值为___▲___. 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 15. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2a sin? x cos? x ? 2 3 cos2 ? x ? 3(a ? 0,? ? 0) 的最大值为 2,且最 小正周期为 ? . (1)求函数 f ? x ? 的解析式及期对称轴方程; (2)求函数 f ? x ? 的单调递增区间.

16. (本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, AB ? AC ? AA1 ? 3 , D、 E 分别是 BC、AB 的中点,F 是 CC1 上一点, 且 CF=2C1F. (1)求证: C1 E // 平面 ADF ; (2)若 BC=2,求证: B1 F ? 平面 ADF . F A E D C B A1 C1 B1

17. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中, c ? 5 , b ? 2 6 , a ? (1)求 a 的值; (2)求证: ?B ? 2?A .

3 6 cos A . 2

18. (本小题满分 16 分) 某药厂在动物体内进行新药试验,已知每投放剂量为 m(m ? 0) 的药剂后,经过 x 小时该药 剂 在 动 物 体 内 释 放 的 浓 度 y ( y 毫 克 / 升 ) 满 足 函 数 y ? mf ( x) , 其 中

? 1 2 ? x ? 2 x ? 8, 0 ? x ? 4, ? ? 2 f ( x) ? ? ?? x ? log x ? 12, 4 ? x ? 16, 2 ? ? 2
当药剂在动物体内释放的浓度不低于 12(毫克/升)时,称为该药剂达到有效. (1)为了使在 8 小时之内(从投放药剂算起包括 8 小时)始终有效,求应该投放的药剂 m 的最小值; (2)若 m ? 2 ,k 为整数,若该药在 k 小时之内始终有效,求 k 的最大值.

19. (本小题满分 16 分) 已知 a ? R ,函数 f ( x) ? e ? a( x ? 1) 的图象与 x 轴相切.
x

(1)求 f ( x) 的单调区间; (2)若 x ? 1 时, f ( x) ? mx2 ,求实数 m 的取值范围.

20. (本小题满分 16 分)

?2an ? n, n为奇数, ? a ? a ? t ( t ? ? 1) a 已知数列 ? n ? 中, 1 ,且 n ?1 ? . 1 ?an ? n, n为偶数, ? 2
(1)证明:数列 {a2n ? 1} 是等比数列; (2)若数列 ?an ? 的前 2 n 项和为 S 2 n : ①当 t ? 1 时,求 S 2 n ; ②若 {S 2 n } 单调递增,求 t 的取值范围.

2017 届高三文科数学参考答案及评分意见 1. ?2? 8. ?3 2. ?1 3.

?
6

4.必要不充分

5.1

6. ?1

7.1 或 3

9. ?

24 25

10.

9 4

11.202

12.16

13.

2 4

14. 1 或 0

15. (本小题满分 14 分) 解: (1) f ? x ? ? a sin 2? x ? 3 cos 2? x , 由题意 f ? x ? 的周期为 ? ,所以 ?????????????2 分

2? ? ? ,得 ? ? 1 ,?????????????4 分 2?

? f ? x ? 最大值为 2 ,故 a2 ? 3 ? 2 ,
又 a ? 0 ,? a ? 1 ,

?? ? f ? x ? ? 2sin ? ? 2x ? ?
? 3?
令 2x ?

?????????????7 分

?
3

?

?
2

? k? ,解得 f ? x ? 的对称轴为 x ?

?
12

?

k? (k ??) .??????10 分 2

(2)由 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? 由 2 k? ?

? ?

??

?, 3?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

, k ? Z 得,?????????????12 分

k? ?

5? ? ? x ? k? ? , k ? Z , 12 12

∴函数 f(x)的单调递增区间是 ? k? ? (仅作出函数 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? 16. (本小题满分 14 分)

? ?

5? ?? , k? ? ? , k ? Z .????????14 分 12 12 ?

? ?

??

? 图像得增区间只得 2 分) 3?

证明: (1) (证法一)连接 CE 与 AD 交于点 H ,连接 FH . 因为 D 是 BC 的中点, E 是 AB 中点, 所以 H 是 ΔABC 的重心, 所以 CH ? 2 EH , 又因为 CF ? 2C1 F , 所以 C1 E // FH , ??5 分 ???2 分 ???3 分

A1

B1

C1

F

A

E H D C

B

因为 FH ? 平面 ADF , C1 E ? 平面 ADF , 所以 C1 E // 平面 ADF , ??????7 分

(证法二)取 BD 中点 H ,连接 EH , C1 H . 因为 H 是 BD 的中点, E 是 AB 中点,所以 EH // AD , 因为 AD ? 平面 ADF , EH ? 平面 ADF ,所以 EH // 平面 ADF , ????2 分 ??5 分

又因为 CF ? 2C1 F , CD ? 2 DH 所以 C1 H // DF ,同理 C1 H // 平面 ADF ,

? EH ? C1H ? H 所以平面 C1EH // 平面 ADF ,
又 C1 E ? 平面 C1EH ,所以 C1 E // 平面 ADF , (2)因为 AB ? AC 且 D 是 BC 中点,? AD ? BC ,

??????6 分 ??????7 分

?直三棱柱 ABC ? A1B1C1 ,? B1B ? 平面 ABC ,? B1B ? AD
又 AD ? BC , B B ? BC ? B ,?AD ? 平面 B1 BCC1 ,

? AD ? B1 F ,

??????10 分

? CC1 ? 3 , CF ? 2C1 F ,?CF ? 2, C1 F ? 1 ,在 ?B1C1 F 与 ?FCD 中,? B1C1 ? FC ? 2 , C1 F ? CD ? 1 , ?B1C1 F ? ?FCD ,??B1C1 F ≌ ?FCD , ??C1B1F ? ?CFD ,??C1FB1 ? ?CFD ? 90? ,? B1F ? FD ,
(由 B1F ? DF ? 5, B1D ? 10 ,根据勾股定理得 B1 F ? FD 也可) ??????11 分 ??????13 分

? FD ? AD ? D ,? B1 F ? 平面 ADF .
17. (本小题满分 14 分) 解: (1)因为 a ?

?????14 分

3 6 3 6 b2 ? c 2 ? a 2 . cos A ,所以 a ? ? 2 2 2bc

?????3 分

因为 c ? 5 , b ? 2 6 , 所以 3a 2 ? 40a ? 49 ? 3 ? 0 . 解得: a ? 3 ,或 a ? ?

49 (舍). 3

??????6 分

(2) (解法一)由(1)可得: cos A ?
2 所以 cos 2 A ? 2 cos A ? 1 ?

2 6 . ?3 ? 3 3 6
??????10 分

??????8 分

1 . 3

因为 a ? 3 , c ? 5 , b ? 2 6 ,所以 cos B ? 所以 cos 2 A ? cos B . 因为 c ? b ? a ,

a 2 ? c 2 ? b2 1 ? . 2ac 3

??????12 分

所以 A ? (0, ) . ??????14 分

? 2

因为 B ? (0, ?) ,所以 ?B ? 2?A .

(解法二)因为 A ? (0, ?) ,所以 sin A ? 1 ? cos A ?
2

3 .??????8 分 3

由正弦定理得:

2 6 3 2 2 ? .所以 sin B ? . ??????10 分 sin B 3 3 3
3 6 2 2 ? ? ? sin B . 3 3 3
??????12 分

所以 sin 2 A ? 2 ?

因为 c ? b ? a , sin A ? 所以 ?B ? 2?A . 18. (本小题满分 14 分)

3 2 ? 3 2

所以 A ? (0, ) , B ? (0, ) .

? 4

? 2

??????14 分

? m ? ( x ? 2) 2 ? 10 m,0 ? x ? 4, ? ? 2 解:(1)由 y ? mf ( x) ? ? , ?? mx ? m log x ? 12m, 4 ? x ? 16, 2 ? ? 2
可知在区间 (0, 4] 上有,即 8m ? y ? 10m , 又 f ( x) 在区间 (4,16] 上单调递减, mf ?8? ? 5m , ??????2 分 ??????4 分

?8m ? 12 为使 y ? 12 恒成立,只要 ? , ?5m ? 12
即m?

??????6 分

12 12 ,可得 m ? . 5 5 12 .???8 分 5

即:为了使在 8 小时之内达到有效,投放的药剂剂量 m 的最小值为

?? x2 ? 4 x ? 16,0 ? x ? 4, (2) m ? 2 时,设 y ? g ? x ? ? ? ?? x ? 2log 2 x ? 24,4 ? x ? 16,
2 当 0 ? x ? 4 时, 16 ? ? x ? 4 x ? 16 ? 20 ,显然符合题意

??????10 分

又 f ( x) 在区间 (4,16] 上单调递减, 由 g (6) ? 18 ? 2log 2 6 ? 18 ? log 2 36 ? 12 , ??????12 分 ??????14 分 ????16 分

g (7) ? 17 ? 2log 2 7 ? 17 ? log2 49 ? 12 ,
可得 k ? 6 ,即 k 的最大值为 6. 19. (本小题满分 16 分)

解:(1) f ? ? x ? ? e x ? a ,依题意,设切点为 ( x0 , 0) ,??????2 分

?e x0 ? a( x0 ? 1) ? 0, ? f ( x0 ) ? 0, ? 则? 即? x 0 ? f ?( x0 ) ? 0, ? ?e ? a ? 0,

? x0 ? 0, 解得 ? ? a ? 0不合 ? ??????4 分 ?a ? 1,
所以 f ? ? x ? ? e x ? 1 , 所以,当 x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 .

所以, f ? x ? 的单调递减区间为 (??, 0) ,单调递增区间为 ? 0, ?? ? .?????6 分 (猜出 a ? 1 并求出单调递减区间为 (??, 0) ,单调递增区间为 ? 0, ?? ? 仅得 3 分) (2)法一、令 g ( x) ? f ( x) ? mx2 , 则 g ?( x) ? e x ? 2mx ? 1 , x ? 1 , 令 h( x) ? g ?( x) ,则 h?( x) ? e x ? 2m , x ? 1 ,??????8 分 (ⅰ)当 m ?

e 时, 2

因为当 x ? 1 时, e x ? e ,所以 h?( x) ? 0 , 所以 h( x) 即 g ?( x) 在 ?1, ?? ? 上单调递增. 又因为 g ?(1) ? e ? 2m ? 1 , 所以当 2 m ? e ? 1 即 m ?
e ?1 时, g ?(1) ? 0 ,? g ?( x) ? 0 , 2

从而 g ( x) 在 ?1, ?? ? 上单调递增, 而 g (1) ? e ? m ? 2 , ? g ?1? ? 0 ,? m ? e ? 2 ,

?


e ?1 ? e ? 2 ,? m ? e ? 2 成立.??????10 分 2

e ?1 e ? m ? 时,必存在 x0 ? ?1, ?? ? 使得 h ? x0 ? ? 0 即 g ' ? x0 ? ? 0 , 2 2

当 x ? ?1, x0 ? 时 g ' ? x ? ? 0 ,当 x ? ? x0 , ?? ? 时 g ' ? x ? ? 0 , 故

g ? x?



?1, x0 ?

单 调 递 减 , 在

? x0 , ???

单 调 递 增 ,

? g (1) ? e ? m ? 2 ? e ?

e ?1 e?3 ?2? ?0, 2 2

? 当 x ? ?1, x0 ? 时 g ? x ? ? 0 ,不合题意.??????12 分
(ⅱ)若 m ?
e ,令 h?( x) ? 0 ,解得 x ? ln(2m) ? 1 , 2

? h?(1) ? 0 , h?( x) 在 ?1, ?? ? 单调递增,

必存在 x1 ? ?1, ?? ? 使得 h ? x1 ? ? 0 即 g ' ? x1 ? ? 0 , 当 x ? ?1, x1 ? 时 h' ? x ? ? 0 ,当 x ? ? x1 , ?? ? 时 h' ? x ? ? 0 , 故 h ? x ? 在 ?1, x1 ? 单调递减,在 ? x1 , ?? ? 单调递增,??????14 分
? h(1) ? e ? 2m ? 1 ? 0 , ? h( x1 ) ? 0 ,即 g ?( x) ? 0 ,? g ? x ? ? 0 在 ?1, x1 ? 恒成立,

? g ? x ? 在 ?1, x1 ? 单调递减,

? g (1) ? e ? m ? 2 ? e ?

e e?4 ?2? ? 0 ,? g ? x1 ? ? 0 ,不合题意. 2 2

综上,实数 m 的取值范围是 ? ??, e ? 2? .??????16 分 (2)法二、由题意得 e x - x - 1 > mx 2 ,即

ex - x - 1 > m 在 (1, + ? ) 恒成立,???8 分 x2

设 h( x) =

( x - 2) e x + x + 2 ex - x - 1 ' h ( x ) = , x > 1 ,?????9 分 ,则 ,x> 1 x3 x2

设 s( x) = (x - 2)e x + x + 2, x > 1 , \ s' ( x) = (x - 1)e x + 1, x > 1 ,

\ s' ( x) > 0 在 (1, + ? ) 恒成立, \ s( x) 在 (1, + ? ) 单调递增,
? s(1) = 3 - e > 0 , \ s( x) > 0 即 h' ( x) > 0 在 (1, + ?

??????11 分 ??????13 分

) 恒成立,

故 h( x) 在 (1, + ? ) 单调递增,
? h(1) = e - 2 , \ m ? e
2,

?????15 分 ????16 分

即实数 m 的取值范围是 ? ??, e ? 2? .

20. 解: (1)证明:设 bn ? a2 n ? 1 ,则 b1 ? a2 ? 1,

? a2 ? 2a1 ? 1 ? 2t ? 1 ,?b1 ? 2 ? t ? 1? ? 0 ,

?????1 分

?

2 ? a2n ? n ? ? 2n ? 1? bn?1 a2? n?1? ? 1 ? 2a2 n?1 ? 2n ? 1? ? 1 ? ? ? 1 ? 2 ? a2 n ? 1? ? 2 , ? ? ?? bn a2 n ? 1 a2 n ? 1 a2 n ? 1 a2 n ? 1
(得 a2? n?1? ? 1 ? 2(a2n ? 1) 也可)??????3 分

?数列 {bn } 是公比为 2 的等比数列,故数列 {a2n ? 1} 是等比数列,

??????4 分 ??????6 分

?bn ? b1 ? 2n?1 ? 2 ? t ? 1? ? 2n?1 ? ?t ? 1? ? 2n ,?a2n ? ? t ? 1? ? 2n ? 1 ,
n (2)由(1)得, a2n ? ? t ? 1? ? 2 ? 1 ? 2a2n?1 ? 2n ? 1,

?a2n?1 ? ? t ? 1? ? 2n?1 ? n , ?a2n?1 ? a2n ? 3?t ? 1? ? 2n?1 ? n ? 1 , ? S2n ? ? a1 ? a2 ? ? ? a3 ? a4 ? ? ? ? ? a2n?1 ? a2n ?
? 3 ? t ? 1? ? ?1 ? 2 ? ? ? 2n ?1 ? ? ?1 ? 2 ? ? ? n ? ? n ? 3 ? t ? 1? ? ? 2n ? 1? ?
分 ①当 t ? 1 时,? S2 n ? 6 2n ? 1 ? ② ? {S 2 n } 单调递增,

?????7 分 ??????8 分 ,

n ? n ? 3? 2

,?????10

?

?

n ? n ? 3? 2

? 3 ? 2n ?1 ?

n ? n ? 3? 2

? 6 ;??????11 分

n ?1 (解法一)? S2n ? S2n?2 ? 3? t ? 1? ? 2 ? n ? 1 ? 0 对 n ? 2 且 n ? N * 恒成立, ????12 分

n ?1 n ?1 ,n ? 2, ,设 P n ? n ?1 2n?1 2 n ? 2 n ? 1 ?n ? n?1 ? n ? 0 , 则P n ?1 ? P n ? 2n 2 2
即 3? t ? 1? ?

??Pn ? 在 n ? 2 且 n ? N * 单调递减,

??????14 分

3 3 1 ? P2 ? ,?3? t ? 1? ? ,即 t ? ? , 2 2 2
? 1 ? 故 t 的取值范围为 ? ? , ?? ? . 2 ? ?
??????16 分

n (解法二)? S2n?2 ? S2n ? 3? t ? 1? ? 2 ? n ? 2 ? 0 对 n ? N * 恒成立, ????12 分

n?2 n?2 , n ? N* , ,设 P n ? n 2 2n n ? 3 n ? 2 ?(n ? 1) ? n ? ? 0, 则P n ?1 ? P n ? 2n?1 2 2n?1
即 3? t ? 1? ?

??Pn ? 在 n ? N * 单调递减,

??????14 分

?P 1 ?

3 1 3 ,?3? t ? 1? ? ,即 t ? ? , 2 2 2
??????16 分

? 1 ? 故 t 的取值范围为 ? ? , ?? ? . ? 2 ?


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