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广东省韶关市2015届高考模拟数学试卷(理科)


广东省韶关市 2015 届高考模拟数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) . 1. (5 分)设集合 I={x|﹣3<x<3,x∈z},A={1,2},B={﹣2,﹣1,2},则 A∩(?IB)等于 () A.{1} B.{1,2} C.{0,1,2} D.{﹣1,0,1,2} 2. (5 分)复数 z 满足(﹣1+i)z=(1+i) ,其中 i 为虚数单位,则在复平面上复数 z 对应的 点位() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3. (5 分)下列函数中,既是奇函数又是在定义域上是减函数的为() A.y=x+1 B.y= C.y=﹣x
3 2

D.y=lnx

4. (5 分)在△ ABC 中,若∠A=60°,∠B=45°, A. B. C.

,则 AC=() D.

5. (5 分)如图所示,该程序运行后输出的结果为()

A.14

B.16

C.18

D.64

6. (5 分)设 l 为直线,α,β 是两个不同的平面,下列命题中正确的是() A.若 l∥α,l∥β,则 α∥β B. 若 l⊥α,l⊥β,则 α∥β C. 若 l⊥α,l∥β,则 α∥β D.若 α⊥β,l∥α,则 l⊥β

7. (5 分)现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张,从中任取 3 张, 要求取出的这些卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张,不同取法的种数为() A.232 B.252 C.472 D.484 8. (5 分)列命题中是假命题的个数是() ①?α,β∈R,使 cos(α+β)=cosα+sinβ; ②?a>0,函数 f(x)=ln x+lnx﹣a 有零点 ③?m∈R,使 f(x)=(m﹣1)x
x 2

是幂函数,且在(0,+∞)上递减;

④若函数 f(x)=|2 ﹣1|,则?x1,x2∈[0,1]且 x1<x2,使得 f(x1)>f(x2) . A.0 B. 1 C. 2 D.3

二.填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) . 2 9. (5 分)函数 y=lg(﹣x ﹣2x+3)的定义域是(用区间表示) . 10. (5 分)某工厂的某种型号的机器的使用年限 x 和所支出的维修费用 y(万元)有下表的 统计资料如图: x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 根据上表可得回归方程 =1.23x+ ,则 =.

11. (5 分)已知向量 =(2,﹣3) , =(x,2) ,且 ⊥ ,则| + |的值为.

12. (5 分)已知 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=2x﹣3y 的最大值为.

13. (5 分)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,其公比 q≠1,若 a1=b1,a11=b11,且{an} 和{bn}各项都是正数,则 a6 与 b6 的大小关系是. (填“>”或“=”或“<”) 14. (5 分)已知抛物线 C:y =2px 与双曲线
2

﹣y =1 的右焦点重合,则抛物线 C 上的动点

2

M 到直线 l1:4x﹣3y+6=0 和 l2:x=﹣2 距离之和的最小值为.

三.解答题(本大题共 6 题,满分 80 解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤) . 15. (12 分)已知函数 f(x)=2sinx(cosx+sinx) (x∈R) (1)求 f( )的值;

(2)求 f(x)在区间[0,π]上的最大值及相应的 x 值.

16. (12 分)为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分组区间 是:[20,25) ,[25,30) ,[30,35) ,[35,40) ,[40,45]. (Ⅰ)求图中 x 的值并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在[35,40)岁的人数; (Ⅱ)在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 20 名参加中心广场的宣传活 动,再从这 20 名中采用简单随机抽样方法选取 3 名志愿者担任主要负责人.记这 3 名志愿者 中“年龄低于 35 岁”的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望.

17. (14 分)如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AD=AA1=1,AB=2,点 E 是线段 AB 中点. (1)证明:D1E⊥CE; (2)求二面角 D1﹣EC﹣D 的大小的余弦值; (3)求 A 点到平面 CD1E 的距离.

18. (14 分)已知等差数列{an}中,a1=1,公差 d>0,且 a2,a5,a14 分别是等比数列{bn}的第 二项、第三项、第四项. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; * (2)设数列{cn}满足对任意的 n∈N 均有 an+1=b1c1+b2c2+…+bncn 成立,求证:c1+c2+…+cn<4.

19. (14 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(﹣1,0) 、F2(1,

0) ,且经过定点 P(1, ) ,M(x0,y0)为椭圆 C 上的动点,以点 M 为圆心,MF2 为半径作 圆 M. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若圆 M 与 y 轴有两个不同交点,求点 M 横坐标 x0 的取值范围;

(3)是否存在定圆 N,使得圆 N 与圆 M 恒相切?若存在,求出定圆 N 的方程;若不存在, 请说明理由. 20. (14 分)已知函数 f(x)=a +x ﹣xlna,a>1. (1)求证函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增; (2)若函数 y=|f(x)﹣b+ |﹣3 有四个零点,求 b 的取值范围; (3)若对于任意的 x∈[﹣1,1]时,都有 f(x)≤e ﹣1 恒成立,求 a 的取值范围.
2 x 2

广东省韶关市 2015 届高考模拟数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) . 1. (5 分)设集合 I={x|﹣3<x<3,x∈z},A={1,2},B={﹣2,﹣1,2},则 A∩(?IB)等于 () A.{1} B.{1,2} C.{0,1,2} D.{﹣1,0,1,2} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 由全集 I 及 B,求出 B 的补集,找出 A 与 B 补集的交集即可. 解答: 解:∵集合 I={x|﹣3<x<3,x∈Z}={﹣2,﹣1,0,1,2},A={1,2},B={﹣2,﹣ 1,2}, ∴?IB={0,1}, 则 A∩(?IB)={1}. 故选:A. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 2. (5 分)复数 z 满足(﹣1+i)z=(1+i) ,其中 i 为虚数单位,则在复平面上复数 z 对应的 点位() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点: 复数的代数表示法及其几何意义;复数相等的充要条件. 专题: 计算题. 分析: 根据两个复数相除,分子和分母同时乘以分母的共轭复数,化简复数 z 为=1﹣i,故 z 对应点的坐标为(1,﹣1) ,从而得出结论. 2 解答: 解:∵复数 z 满足(﹣1+i)z=(1+i) ,其中 i 为虚数单位, ∴z= = = = =1﹣i,
2

故复数 z 对应点的坐标为(1,﹣1) ,

故选 D. 点评: 本题主要考查两个复数代数形式的除法,虚数单位 i 的幂运算性质,复数与复平面内 对应点之间的关系,属于基础题. 3. (5 分)下列函数中,既是奇函数又是在定义域上是减函数的为() A.y=x+1 B.y= C.y=﹣x
3

D.y=lnx

考点: 函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 分析: 根据函数奇偶性和单调性的定义分别进行判断即可. 解答: 解:A.y=x+1 单调递增,不满足条件, B.y= 为奇函数,在定义域上不是单调函数, C.y=﹣x 是奇函数,在定义域上为减函数, D.y=lnx 在定义域上为增函数, 故选:C 点评: 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断,要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调 性的性质. 4. (5 分)在△ ABC 中,若∠A=60°,∠B=45°, A. B. C. ,则 AC=() D.
3

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 结合已知,根据正弦定理, 解答: 解:根据正弦定理, , 可求 AC



故选 B 点评: 本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,属于基础试题 5. (5 分)如图所示,该程序运行后输出的结果为()

A.14

B.16

C.18

D.64

考点: 程序框图. 专题: 图表型. 分析: 根据所给程序框图,模拟运行程序,根据 i 的值依次判断是否满足判断框中的条件, 若不满足则继续执行循环体,若满足,则输出 S. 解答: 解:模拟运行如下: i=10,S=0, ∴S=0+2=2,i=10﹣1=9,此时 i=9≤3 不符合条件, ∴S=2+2=4,i=9﹣1=8,此时 i=8≤3 不符合条件, 依次运行, …, ∴S=0+2+…+2=12,i=4﹣1=3,此时 i=3≤3 不符合条件, ∴S=0+2+…+2=14,i=3﹣1=2,此时 i=2≤3 符合条件,输出 S=14. 故选:A. 点评: 本题考查了程序框图.对应的知识点是循环结构,条件结构,其中正确理解各变量 的含义并根据程序功能的需要合理的分析是解答的关键.属于基础题. 6. (5 分)设 l 为直线,α,β 是两个不同的平面,下列命题中正确的是() A.若 l∥α,l∥β,则 α∥β B. 若 l⊥α,l⊥β,则 α∥β C. 若 l⊥α,l∥β,则 α∥β D.若 α⊥β,l∥α,则 l⊥β 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系;空间中直线与平面之间的位置关系;平面与平 面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法,可判断 A; 根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征,可判断 B; 根据线面平行的性质定理,线面垂直及面面垂直的判定定理,可判断 C; 根据面面垂直及线面平行的几何特征,可判断 D. 解答: 解:若 l∥α,l∥β,则平面 α,β 可能相交,此时交线与 l 平行,故 A 错误;

若 l⊥α,l⊥β,根据垂直于同一直线的两个平面平行,可得 B 正确; 若 l⊥α,l∥β,则存在直线 m?β,使 l∥m,则 m⊥α,故此时 α⊥β,故 C 错误; 若 α⊥β,l∥α,则 l 与 β 可能相交,可能平行,也可能线在面内,故 D 错误; 故选 B 点评: 本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系,直线与平面的位置关系及平面 与平面之间的位置关系,熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法是解答的关键. 7. (5 分)现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张,从中任取 3 张, 要求取出的这些卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张,不同取法的种数为() A.232 B.252 C.472 D.484 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 排列组合. 分析: 不考虑特殊情况,共有 红色卡片,共有 种取法,其中每一种卡片各取三张,有 种取法,两种

种取法,由此可得结论. 种取法,其中每一种卡片各取三张,有

解答: 解:由题意,不考虑特殊情况,共有 种取法,两种红色卡片,共有 故所求的取法共有 ﹣ ﹣ 种取法,

=560﹣16﹣72=472

故选 C. 点评: 本题考查组合知识,考查排除法求解计数问题,属于中档题. 8. (5 分)列命题中是假命题的个数是() ①?α,β∈R,使 cos(α+β)=cosα+sinβ; 2 ②?a>0,函数 f(x)=ln x+lnx﹣a 有零点 ③?m∈R,使 f(x)=(m﹣1)x
x

是幂函数,且在(0,+∞)上递减;

④若函数 f(x)=|2 ﹣1|,则?x1,x2∈[0,1]且 x1<x2,使得 f(x1)>f(x2) . A.0 B. 1 C. 2 D.3 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 阅读型;函数的性质及应用;平面向量及应用. 分析: ①可举 β=0,即可判断; ②令 f(x)=0,由 a>0,通过判别式为 1+4a>0 即可判断; ③由幂函数的定义,求出 m 的值,代入检验 f(x)的单调性,即可判断; x x ④若函数 f(x)=|2 ﹣1|,当 0<x<1 时,f(x)=2 ﹣1,函数为增函数,由函数的单调性的 定义,即可判断. 解答: 解:①可举 β=0,则 cos(α+β)=cosα+sinβ 成立,故①对; 2 ②令 f(x)=0,则 ln x+lnx﹣a=0,判别式为 1+4a,a>0,即判别式大于 0,故方程有实根, 故②对;

③若 f(x)=(m﹣1)x

是幂函数,则 m﹣1=1,m=2,f(x)=x ,且在(0,+∞)

﹣1

上为减函数. 故③对; x x ④若函数 f(x)=|2 ﹣1|,当 0<x<1 时,f(x)=2 ﹣1,函数为增函数,故④错. 故假命题的个数为 1. 故选 B. 点评: 本题考查简易逻辑的基础知识,考查存在性命题和全称性命题的真假,注意运用举 反例,同时考查幂函数的定义及函数的单调性,属于基础题. 二.填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) . 9. (5 分)函数 y=lg(﹣x ﹣2x+3)的定义域是(﹣3,1) (用区间表示) . 考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数成立的条件,即可求出函数的定义域. 解答: 解:要使函数 f(x)有意义,则﹣x ﹣2x+3>0,即 x +2x﹣3<0,解得﹣3<x<1, 故函数的定义域为(﹣3,1) , 故答案为: (﹣3,1) . 点评: 本题主要考查函数的定义域求法,要求熟练掌握常见函数成立的条件. 10. (5 分)某工厂的某种型号的机器的使用年限 x 和所支出的维修费用 y(万元)有下表的 统计资料如图: x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 根据上表可得回归方程 =1.23x+ ,则 =0.08.
2 2 2

考点: 线性回归方程. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 求出横标和纵标的平均数,代入 =1.23x+ ,即可求出 的值. 解答: 解:由题意, = ×(2+3+4+5+6)=4, = ×(2.2+3.8+5.5+6.5+7.0)=5, 代入 =1.23x+ ,可得 =0.08. 故答案为:0.08. 点评: 本题考查线性回归方程的应用,是一个运算量比较小的问题,解题时注意平均数的 运算不要出错.

11. (5 分)已知向量 =(2,﹣3) , =(x,2) ,且 ⊥ ,则| + |的值为



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由 ,得出 =0,求出 ,再求出 =0, 和| |即可.

解答: 解:∵ ⊥ ,∴ 即 2x﹣3×2=0,解得 x=3, ∴ =(3,2) , ∴ ∴| =(5,﹣1) , |= =



点评: 本题考查了平面向量的应用问题,解题时应用两向量垂直,它们的数量积为 0,利用 坐标求向量的模长,是基础题.

12. (5 分)已知 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=2x﹣3y 的最大值为 2.

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,进行求最值即可. 解答: 解:由 z=2x﹣3y 得 y= ,

作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分 ABC) : 平移直线 y= ,由图象可知当直线 y= ,过点 A(1,0)时,直线 y= 截距

最小,此时 z 最大, 代入目标函数 z=2x﹣3y, 得 z=2×1﹣3×0=0. ∴目标函数 z=2x﹣3y 的最大值是 2. 故答案为:2.

点评: 本题主要考查线性规划的基本应用,利用目标函数的几何意义是解决问题的关键, 利用数形结合是解决问题的基本方法. 13. (5 分)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,其公比 q≠1,若 a1=b1,a11=b11,且{an} 和{bn}各项都是正数,则 a6 与 b6 的大小关系是>. (填“>”或“=”或“<”) 考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 先根据等差数列的性质得 a1+a11=b1+b11=2a6, 根据基本不等式 等比数列的性质,得到 a6 与 b6 的大小关系. 解答: 解:∵a1=b1,a11=b11 ∴a1+a11=b1+b11=2a6, 则 = =b6, 和

当等号成立时有 b1=b11,此时须有 q=1,与已知矛盾,故等号不可能成立, ∴b6<a6, 故答案为:b6<a6. 点评: 本题考查等差数列、等比数列的基本性质灵活运用,及均值不等式求最值的应用.
2 2

14. (5 分)已知抛物线 C:y =2px 与双曲线

﹣y =1 的右焦点重合,则抛物线 C 上的动点 .

M 到直线 l1:4x﹣3y+6=0 和 l2:x=﹣2 距离之和的最小值为

考点: 双曲线的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 确定 p=2,x=﹣1 是抛物线准线,作 MA⊥l1,MB⊥l2,由抛物线定义 MB=MF,当 M,A,F 三点共线时,距离之和的最小,其值是 F 到 l1 距离,由点到直线距离可得结论.

解答: 解:因为抛物线 C:y =2px 与双曲线

2

﹣y =1 的右焦点重合,

2

所以 p=4,x=﹣2 是抛物线准线, 作 MA⊥l1,MB⊥l2,由抛物线定义 MB=MF, 当 M,A,F 三点共线时,距离之和的最小,其值是 F 到 l1 距离, 由点到直线距离可得,其距离为 故答案为: . .

点评: 本题考查抛物线、双曲线的性质,考查抛物线的定义,考查学生转化问题的能力, 属于中档题. 三.解答题(本大题共 6 题,满分 80 解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤) . 15. (12 分)已知函数 f(x)=2sinx(cosx+sinx) (x∈R) (1)求 f( )的值;

(2)求 f(x)在区间[0,π]上的最大值及相应的 x 值. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)函数解析式去括号后,利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简,再利用两角和 与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,代入求出 f( (2)由 x 的范围求出 ) ;

的范围,根据正弦函数的最值求出原函数得最大值及 x 的值.

解答: 解: (1)f(x)=2sinx(cosx+sinx) =2sinxcosx+2sin x =sin2x+1﹣cos2x= ∴f( = )= =
2

= (2)由 x∈[0,π]得, ∴当 时,即 ∈ 时,

函数 f(x)取最大值,且 点评: 本题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式,正弦函数的最值,以及两角和与差的余 弦函数公式,熟练掌握公式是解本题的关键. 16. (12 分)为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分组区间 是:[20,25) ,[25,30) ,[30,35) ,[35,40) ,[40,45]. (Ⅰ)求图中 x 的值并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在[35,40)岁的人数; (Ⅱ)在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 20 名参加中心广场的宣传活 动,再从这 20 名中采用简单随机抽样方法选取 3 名志愿者担任主要负责人.记这 3 名志愿者 中“年龄低于 35 岁”的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望.

考点: 离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 专题: 概率与统计. 分析: (I)根据小矩形的面积等于频率,而频率之和等于 1.即可得出 x,再用频率×总体 容量即可. (II)分层抽样的方法,从 100 名志愿者中选取 20 名;则其中年龄“低于 35 岁”的人有 20× (0.01+0.04+0.07)×5=12 名,“年龄不低于 35 岁”的人有 8 名.X 的可能取值为 0,1,2,3, 再利用超几何分布即可得出,再利用数学期望的计算公式即可得出. 解答: 解: (I)∵小矩形的面积等于频率,而频率之和等于 1. ∴(0.07+x+0.04+0.02+0.01)×5=1, 解得 x=0.06. 500 名志愿者中,年龄在[35,40)岁的人数为 0.06×5×500=150(人) . (II)用分层抽样的方法,从 100 名志愿者中选取 20 名, 则其中年龄“低于 35 岁”的人有 12 名, “年龄不低于 35 岁”的人有 8 名.

故 X 的可能取值为 0,1,2,3,P(X=0)=

=



=



, 故 X 的分布列为 X 0 P ∴EX=

=



1

2

3

=

= .

点评: 本题考查了频率分布直方图的性质、分层抽样、超几何分布及其数学期望、概率计 算公式等基础知识与基本技能,属于中档题. 17. (14 分)如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AD=AA1=1,AB=2,点 E 是线段 AB 中点. (1)证明:D1E⊥CE; (2)求二面角 D1﹣EC﹣D 的大小的余弦值; (3)求 A 点到平面 CD1E 的距离.

考点: 点、线、面间的距离计算;二面角的平面角及求法. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)根据线面垂直的性质定理,证明 CE⊥面 D1DE 即可证明:D1E⊥CE; (2)建立坐标系,利用向量法即可求二面角 D1﹣EC﹣D 的大小的余弦值; (3)根据点到平面的距离公式,即可求 A 点到平面 CD1E 的距离. 解答: 解: (1)证明:DD1⊥面 ABCD,CE?面 ABCD 所以,DD1⊥CE, Rt△ DAE 中,AD=1,AE=1, DE= = ,
2 2 2

同理:CE= ,又 CD=2,CD =CE +DE , DE⊥CE, DE∩CE=E, 所以,CE⊥面 D1DE, 又 D1E?面 D1EC, 所以,D1E⊥CE. (2)设平面 CD1E 的法向量为 =(x,y,z) ,

由(1)得 ?

=(1,1,﹣1) , =x﹣y=0

=(1,﹣1,0)

=x+y﹣1=0, ?

解得:x=y= ,即 =( , ,1) ; 又平面 CDE 的法向量为 =(0,0,1) ,

∴cos< ,

>=

=

=



所以,二面角 D1﹣EC﹣D 的余弦值为 (3) )由(1) (2)知



=(0,1,0) ,平面 CD1E 的法向量为 =( , ,1)

故,A 点到平面 CD1E 的距离为 d=

=

=



点评: 本题主要考查直线和平面垂直的性质,以及空间二面角和点到直线的距离的计算, 利用向量法是解决本题的关键. 18. (14 分)已知等差数列{an}中,a1=1,公差 d>0,且 a2,a5,a14 分别是等比数列{bn}的第 二项、第三项、第四项. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; * (2)设数列{cn}满足对任意的 n∈N 均有 an+1=b1c1+b2c2+…+bncn 成立,求证:c1+c2+…+cn<4. 考点: 数列的求和. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (1)根据等差数列性质,即可求数列的通项公式; (2)求出 cn 的通项公式,利用作差法即可求数列{cn}的前 n 项和,即可证明不等式. 解答: 解: (1)∵a2,a5, a14 分别是等比数列{bn}的第二项、第三项、第四项. 2 ∴(1+4d) =(1+d) (1+13d) , ∴d=2 或 d=0(舍去) ,

则 an=2n﹣1. 又 b2=a2=3,b3=a5=9, n﹣1 则公比 q=3,即 bn=3 . (2)证明:当 n=1 时,a2=b1c1, ∴c1=3<4, 当 n≥2,an+1=b1c1+b2c2+…+bncn, an=b1c1+b2c2+…+bn﹣1cn﹣1, 两式相减得 an+1﹣an=bncn, 即 cn= , (n≥2)

∴c1+c2+…+cn=3+

=4

4 成立,

所以,对于任意的 c1+c2+…+cn<4. 点评: 本题主要考查递推数列的应用,以及数列求和,综合性较强,运算量较大.

19. (14 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(﹣1,0) 、F2(1,

0) ,且经过定点 P(1, ) ,M(x0,y0)为椭圆 C 上的动点,以点 M 为圆心,MF2 为半径作 圆 M. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若圆 M 与 y 轴有两个不同交点,求点 M 横坐标 x0 的取值范围; (3)是否存在定圆 N,使得圆 N 与圆 M 恒相切?若存在,求出定圆 N 的方程;若不存在, 请说明理由. 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1) 由题设知及椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a, 求出 a=2. 又 c=1. 由此能求出椭圆方程. (2)先设 M(x0,y0) ,得到圆 M 的半径 r= ,再利用圆心 M 到 y 轴距

离 d=|x0|,结合圆 M 与 y 轴有两个交点时,则有 r>d,即可构造关于 x0 不等式,从而解得点 M 横坐标的取值范围. 2 2 (3)存在定圆 N: (x+1) +y =16 与圆 M 恒相切,利用椭圆的定义,即可得出结论. 解答: 解: (1)由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a, 即 2a=4, ∴a=2. 又 c=1, 2 2 2 ∴b =a ﹣c =3. 故椭圆方程为

(2)设 M(x0,y0) ,则圆 M 的半径 r= 圆心 M 到 y 轴距离 d=|x0|, 若圆 M 与 y 轴有两个交点则有 r>d 即 化简得 ∵M 为椭圆上的点 ∴得 解得﹣4<x0< . ∵﹣2≤x0≤2, ∴﹣2≤x0< . , .



>|x0|,

(3)存在定圆 N: (x+1) +y =16 与圆 M 恒相切, 其中定圆 N 的圆心为椭圆的左焦点 F1,半径为椭圆 C 的长轴长 4. ∵由椭圆定义知,|MF1|+|MF2|=4,即|MF1|=4﹣|MF2|, ∴圆 N 与圆 M 恒内切. 点评: 本题考查椭圆方程和直线与圆锥曲线的关系,综合性强,是 2015 届高考的重点.解 题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化. 20. (14 分)已知函数 f(x)=a +x ﹣xlna,a>1. (1)求证函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增; (2)若函数 y=|f(x)﹣b+ |﹣3 有四个零点,求 b 的取值范围; (3)若对于任意的 x∈[﹣1,1]时,都有 f(x)≤e ﹣1 恒成立,求 a 的取值范围. 考点: 函数恒成立问题;函数零点的判定定理. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (1)求导函数,即可得函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增. (2)先判断函数 f(x)的极小值,再由函数有四个零点,进行等价转化方程有解问题,去掉 绝对值,变成两个方程,即可解出 b 的范围; 2 2 (3)求出 f(x)的最大值,要使 f(x)≤e ﹣1 恒成立,只需 a﹣ln a≤e ﹣2 即可,从而求出 a 的取值范围. x 2 解答: (1)证明∵f(x)=a +x ﹣xln a, x x ∴f′(x)=a ?ln a+2x﹣ln a=(a ﹣1)ln a+2x.…(2 分) x ∵a>1,x>0,∴a ﹣1>0,ln a>0,2x>0,∴当 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0, 即函数 f(x)在区间(0,+∞)上单调递增…(4 分) (2)解:由(1)知当 x∈(﹣∞,0)时,f′(x)<0, ∴f(x)在(﹣∞,0]上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. ∴f(x)取得最小值为 f(0)=1…(5 分)
2 x 2

2

2

由|f(x)﹣b+ |﹣3=0,得 f(x)=b﹣ +3 或 f(x)=b﹣ ﹣3,

∴要使函数 y=|f(x)﹣b+ |﹣3 有四个零点,只需

…(7 分)

即 b﹣ >4,即

>0,解得 b>2+

或 2﹣

<b<0.

故 b 的取值范围是(2﹣ ,0)∪(2+ ,+∞) …(8 分) (3)解:由(1)知 f(x)在(﹣∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增, f(﹣1)= +1+ln a,f(1)=a+1﹣ln a,∴f(1)﹣f(﹣1)=a﹣ ﹣2ln a 令 H(x)=x﹣ ﹣2ln x(x>0) ,则 H′(x)=1+ ﹣ = = >0,

∴H(x)在(0,+∞)上单调递增.∵a>1,∴H(a)>H(1)=0. ∴f(1)>f(﹣1) ∴|f(x)|的最大值为 f(1)=a+1﹣ln a,…(12 分) ∴要使 f(x)≤e ﹣1 恒成立,只需 a﹣ln a≤e ﹣2 即可 令 h(a)=a﹣ln a(a>1) ,h′(a)=1﹣ >0,∴h(a)在(1,+∞)上单调递增. ∵h(e )=e ﹣2,∴只需 h(a)≤h(e ) ,即 1<a≤e . 2 故 a 的取值范围是(1,e ]…(14 分) 点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查函数的零点,考查恒成立问题, 考查学生分析解决问题的能力,解题的关键是利用导数确定函数的最值.
2 2 2 2 2 2


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