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高中数学第四章导数应用4.1函数的单调性与极值4.1.3函数的极值课时作业北师大版选修1_1

4.1.3 函数的极值 一、选择题 1.函数 y=(x -1) +1 的极值点是( A. 极大值点 x=-1 C. 极小值点 x=0 2 2 2 3 ) B. 极大值点 x=0 D. 极小值点 x=1 解析:y′=6x(x -1) =0 有三个根,x1=-1,x2=0,x3=1,由解 y′>0 得 x>0;由 解 y′<0 得 x<0,只有 x=0 是极小值点,故选 C. 答案:C 2.已知函数 y=x-ln(1+x ),则函数 y 的极值情况是( A. 有极小值 B. 有极大值 C. 既有极大值又有极小值 D. 无极值 1 2x ?x-1? 2 解析:∵y′=1- = 2 , 2(x +1)′=1- 2 1+x x +1 x +1 令 y′=0 得 x=1,当 x>1 时,y′>0, 当 x<1 时,y′>0,∴函数无极值. 答案:D 1 3 3.函数 f(x)=- x +x 取极小值时,x 的值是( 3 A.2 C.-1 2 2 2 ) ) B.2,-1 D.-3 解析:f′(x)=-x +1=-(x-1)(x+1),f′(x)的图像如右图. ∵在 x=-1 的附近左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0, ∴x=-1 时取极小值. 答案:C 4. [2013·浙江高考]已知 e 为自然对数的底数, 设函数 f(x)=(e -1)(x-1) (k=1,2), 则( ) A. 当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极小值 B. 当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极大值 C. 当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到极小值 D. 当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到极大值 1 x k 解析:当 k=1 时,f(x)=(e -1)(x-1),f′(x)=xe -1,f′(1)≠0,故 A、B 错; 当 k=2 时,f(x)=(e -1)(x-1) ,f′(x)=(x -1)e -2x+2=(x-1)[(x+1)e -2],故 x 2 2 x x x x f′(x)=0 有一根为 x1=1,另一根 x2∈(0,1).当 x∈(x2,1)时,f′(x)<0,f(x)递减,当 x ∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)递增,∴f(x)在 x=1 处取得极小值.故选 C. 答案:C 二、填空题 5.若函数 y=-x +6x +m 的极大值等于 13,则实数 m 等于__________. 解析:y′=-3x +12x,由 y′=0,得 x=0 或 x=4,容易得出当 x=4 时函数取得极 大值,所以-4 +6×4 +m=13,解得 m=-19. 答案:-19 6.已知实数 a,b,c,d 成等比数列,且曲线 y=3x-x 的极大值点坐标为(b,c),则 3 3 2 2 3 2 ad=__________. 解析:∵y′=3-3x ,令 y′=0 得 x=±1, 且当 x>1 时,y′<0, 当-1≤x≤1 时,y′≥0, 当 x<-1 时,y′<0, 故 x=1 为 y=3x-x 的极大值点,即 b=1. 又 c=3b-b =3×1-1=2, ∴bc=2. 又∵a,b,c,d 成等比数列, ∴ad=bc=2. 答案:2 7.已知函数 y=xf′(x)的图像如右图所示(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数),给出 以下说法: ①函数 f(x)在区间(1,+∞)上是增函数; ②函数 f(x)在区间(-1,1)上单调递增; 1 ③函数 f(x)在 x=- 处取得极大值; 2 ④函数 f(x)在 x=1 处取得极小值. 其中正确的说法是__________. 解析: 题号 ① ② 正误 ? ? 原因分析 由图像知,当 x∈(1,+∞)时,xf′(x)>0,故 f′(x)>0,f(x)递增 当 x∈(-1,0)时,xf′(x)>0,故 f′(x)<0;当 x∈(0,1)时,xf′(x)<0, 3 3 2 2 故 f′(x)<0.综上, 当 x∈(-1,0)∪(0,1)时, f′(x)<0, 故 f(x)在区间(- 1,0),(0,1)上是减函数 ③ ? f(x)在区间(-1,0)上单调递减,故 x=- 不是极值点 f(x)在区间(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,故 f(x)在 x=1 1 2 ④ ? 答案:①④ 三、解答题 处取得极小值 8. [2013·重庆高考]设 f(x)=a(x-5) +6lnx, 其中 a∈R, 曲线 y=f(x)在点(1, f(1)) 处的切线与 y 轴相交于点(0,6). (1)确定 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值. 解:(1)因 f(x)=a(x-5) +6lnx, 6 故 f′(x)=2a(x-5)+ . 2 2 x 令 x=1,得 f(1)=16a,f′(1)=6-8a,所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方 1 程为 y-16a=(6-8a)(x-1),由点(0,6)在切线上可得 6-16a=8a-6,故 a= . 2 1 6 ?x-2??x-3? 2 (2)由(1)知,f(x)= (x-5) +6lnx(x>0),f′(x)=x-5+ = . 2 x x 令 f′(x)=0,解得 x1=2,x2=3. 当 0<x<2 或 x>3 时,f′(x)>0,故 f(x)在(0,2),(3,+∞)上为增函数;当 2<x<3 时, f′(x)<0,故 f(x)在(2,3)上为减函数. 9 由此可知 f(x)在 x=2 处取得极大值 f(2)= +6ln2,在 x=3 处取得极小值 f(3)=2+ 2 6ln3. 9.设函数 f(x)= x +bx +cx+d(a>0),且方程 f′(x)-9x=0 的两个根分别为 1,4. 3 (1)当 a=3 且曲线 y=f(x)过原点时,求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)在(-∞,+∞)内无极值点,求 a 的取值范围. 解

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