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广东省湛江市2014届高三高考模拟测试(二)数学【理】试题及答案

试卷类型:A

广东省湛江市 2014 届高三高考模拟测试(二)

数学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟 注意事项:

2014.04.15

1.答卷前,考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡 上。用 2B 铅笔 将答题卡试卷类型(A)填涂在答题卡上。在答题卡右上角“试室号”和“座位号”栏填写 试室号、座位号,将相应的试室号、座位号信息点涂黑。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和 涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考试结束后,将试题与答题卡一并交回。 参考公式: K ?
2

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容量。 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

参考数据:

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.在复平面内,复数 A.第一象限

?1 ? i 对应的点位于 i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.一个几何体的正视图、侧视图、和俯视图形状都相同,大小均相等,则这个几何体不可 以是 A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱

3.已知 a ? 2log 5 2 , A. c ? b ? a

1 b ? 21.1 , c ? ( ) ?0.8 ,则 a 、 b 、 c 的大小关系是 2
B. a ? c ? b C. a ? b ? c D.b ? c ? a

4.下列命题正确的是 A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 5.已知向量 a ? (1, 2) , A. ? ? R 6.已知双曲线

b ? (?2,1) ,则 (? a ? b) ? (a ? ?b) 的充要条件是
B. ? ? 0 C. ? ? 2 D. ? ? ? 1

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的离心率为 2,一个焦点与抛物线 y 2 ? 16 x 的焦 2 a b

点相同,则双曲 线的渐近线方程为 A. y ? ? 3x B. y ? ?

3 x 2

C. y ? ?

3 x 3

D. y ? ?

3 x 2

? x?0 ? 7. 已知实数 x 、y 满足不等式组 ? y ? 0 , 且a x b ? y ?a 1 , ? ?b 0 , ? 0 ?2 x ? y ? 2 ?
的取值范围是 A. ? 0, 4? B. (0, ]

则a ? b ? 恒成立,

3 2 8.对于任意两个正整数 m , n ,定义某种运算“※”,法则如下:当 m , n 都是正奇数时,
C. (0, 2) D. [ , ??)

3 2

m ※ n = m ? n;
当 m , n 不 全 为 正 奇 数 时 , m ※ n = mn 。 则 在 此 定 义 下 , 集 合

M ? ?(a, b) | a※b ? 16, a ? N * , b ? N *?
中的元素个数是 A. 7 B. 11 C. 13 D. 14

二、填空题:本大题共 7 小题.考生作答 6 小题.每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.等比数列 ?an ? 中, a3 ? 4 , a7 ? 16 ,则 a5 ? ________________。 10.阅读如图所示的程序框图,若输入 i ? 5 ,则输出的 k 值为__________. 11.某小区有 7 个连在一起的车位,现有 3 辆不同型号的车 需要停放,如果要求剩余的 4 个车位连在一起,那么 不同的停放方法共有 __________种。(用数字作答)

12.在长为 6 cm 的线段 AB 上任取一点 C ,现作一矩形, 邻边长分别等于线段 AC , CB 的长,则该矩形面积 大于 8 cm 的概率为
2



13.若函数 y ? f ( x) ( x ? R) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且 x ?[?1,1] 时,

f ( x) ? 1 ? x 2 ;函数 g ( x) ? lg | x | ,则函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的
图象在区间 [?6, 6] 内的交点个数共有 (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)极坐标系中,圆 O : ? 2 ? 2? cos? ? 3 ? 0 的圆心到直线 个。

? c o s? ? ? s i n ??

? 7 的距离是 0 _______________.

15.(几何证明选讲选做题)如图所示,圆 O 的直径 AB ? 6 ,

C 为圆周上一点, BC ? 3 ,过 C 作圆 O 的切线 l ,则点 A 到
直线 l 的距离 AD ? ___________.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ?

(sin x ? cos x) sin 2 x . sin x

(1)求 f ( x ) 的定义域及最小正周期; (2)求 f ( x ) 的单调递减区间.

17.(本小题满分 12 分) 某中学将 100 名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”,每班 50 人,吴老 师采用 A、B 两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班进行教学实验。为了解教学效果,期末考试后, 分别从两个 班级中各随机抽取 20 名学生的成绩进行统计,作出的茎叶图如下: 记成绩不低于 90 分者为“成绩优秀”。

(1)在乙班样本的 20 个个体中,从不低于 80 分的成绩中随机抽取 2 个,记随机变量 ? 为 抽到“成绩优秀”的个数,求 ? 的分布列及数学期望 E? ; (2)由以上统计数据填写下面 2 ? 2 列联表,并判断有多大把握认为“成绩优秀”与教学方 式有关?

18.(本小题满分 14 分) 在如图所示的几何体中, 四边形 ABCD 为平行四边形,?ACB ? 90? , EA ? 平面

ABCD ,
EF // AB , FG // BC , EG // AC , AB ? 2 EF .
(1)若 M 是线段 AD 的中点,求证: GM //平面 ABFE ; (2)若 AC ? BC ? 2 AE ? 2 ,求二面角 A ? BF ? C 的余弦值.

19.(本小题满分 14 分) 已知等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 , 公差 d ? 0 , 且 a2 , a 5 ,a 1 4 分别是等比数列 ?bn ? 的

b2 , b3 , b4 。
(1) 求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2) 设数列 ?cn ? 对任意正整数 n 均有 的值。

c1 c2 ? ? b1 b2

?

cn ? an?1 成立,求 c1 ? c2 ? bn

? c2014

20.(本小题满分 14 分) 如图,点 P(0, ?1) 是椭圆 C1 : 圆 C2 : 其中 l1 交圆 C2 于 A 、B 两 x2 ? y 2 ? 4 的直径,l1 , l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线, 点,

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的一个顶点, C1 的长轴是 a 2 b2

l2 交椭圆 C1 于另一点 D 。
(1) 求椭圆 C1 的方程; (2) 求△ ABD 面积的最大值及取得最大值时 直线 l1 的方程。

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ln x. (1) 求函数 f ( x ) 的单调区间; (2) 证明:对任意的 t ? 0 ,存在唯一的 s ,使 t ? f ( s) ; (3) 设 (2) 中所确定的 s 关于 t 的函数为 s ? g (t ) , 证明: 当 t ? e 时, 有
2

2 ln g (t ) 1 ? ? 。 5 ln t 2

数学(理科)参考答案及评分意见
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.A 2.D 3.B 4.C 5.A 6.A 7.B 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 2 9. 8 10. 3 11. 24 12. 13. 10 3 9 15. 2 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分)
16.(本小题满分 12 分) 解:(1)由 sin x ? 0 ,得 x ? k?

8.C 14. 4 2

(k ? Z ) ,
…………………………………….2

故 f ( x ) 的定义域为 ?x | x ? R, x ? k? , k ? Z? . 分 ∵ f ( x) ?

(sin x ? cos x) sin 2 x sin x

? 2cos x(sin x ? cos x) ? sin 2 x ? 2cos 2 x
? sin 2 x ? cos 2 x ? 1

? 2 sin(2 x ? ) ? 1 4
分 ∴函数 f ( x ) 的最小正周期 T ? 分 (2)∵函数 f ( x) ? sin x 的单调递减区间为 [2k? ? 由 2 k? ? 得 k? ?

?

…………………………………….6

2? ?? . 2

…………………………………….7

?
2

, 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
4

? 2 k? ?

3? 7? ? x ? k? ? , (k ? Z ). ……………………………………….10 分 8 8 3? 7? , k? ? ] (k ? Z ). ……………….12 分 ∴函数 f ( x ) 的单调递减区间为 [k? ? 8 8

3? , x ? k? 2

3? ] (k ? Z ) . 2

(k ? Z ). ,

17. (本小题满分 12 分) 解:(1)由题意得 ? ? 0,1, 2 ……………………………………….1 分



P(? ? 0) ?

1 1 2 C5 ? C4 C52 5 C4 1 5 ? , P ( ? ? 1) ? ? , P ( ? ? 2) ? ? . …………….4 分 C92 6 C92 9 C92 18

∴ ? 的分布列为:

1 5 5 10 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? . 6 9 18 9
分 (2)由已知数据得

……………………………………….6

……………………………………….10 分 根据列联表中的数据, K ?
2

40 ? (1?15 ? 5 ?19)2 ? 3.137 。 6 ? 34 ? 20 ? 20

由于 3.137 ? 2.706 , 所以有 90%的把握认为 “成绩优秀” 与教学方式有关。 ……….12 分 18.(本小题满分 14 分)

ACB ? 90 ,? (1)∵ EF / / AB , FG / /BC , EG / /AC , ?


?EGF ? 90?,



ABC





EFG 。

…………………………….2 分

由于 AB ? 2EF ,因此 BC ? 2FG .
连接 AF ,由于 FG / / BC , FG ?

1 BC ,………….3 分 2

在平行四边形 ABCD 中, M 是线段 AD 的中点,

则 AM / / BC ,且 AM ?

1 BC ,……………….4 分 2

因此, FG / / AM 且 FG ? AM , 所以四边形 AFGM 为平行四边形,∴ GM / / FA .
又 FA ? 平面 ABFE, GM ? 平面 ABFE ,∴ GM / / 平面 ABFE . ………………6 分

(2)解:∵ ?ACB ? 90? ,∴ ?CAD ? 90? , 又 EA ? 平面 ABCD ,∴ AC, AD, AE 两两垂直。 分别以 AC, AD, AE 所在直线为 x 轴、 y 轴、

z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz 。
…………………………….7 分 则 A(0,0,0), B(2, ?2,0), C (2,0,0), D(0,0,1) . …………………………….8 分

1 故 AB ? (2, ?2,0), BC ? (0, 2,0) ,又 EF ? AB ,∴ F (1, ? 1, 1) , 2

BF ? (?1,1,1) .设平面 BFC 的法向量 m ? (x1 , y1 , z1) ,则
? ?y ?0 ?m ? BC ? 0 ,∴ ? 1 ,取 z1 ? 1,得 x1 ? 1 ,所以 ? ? x1 ? z1 ? ? m ? BF ? 0

m ? (1, 0 ,1) 。

……………………………………….10 分

设平面 ABF 的法向量 n ? (x2 , y2 , z 2 ) ,则
? n ? AB ? 0 ? x ? y2 ? ,∴ ? 2 ,取 y2 ? 1 ,得 x2 ? 1 ,所以 ? z ? 0 n ? BF ? 0 ? 2 ? ?

n ? (1,1, 0) 。


……………………………………….12

所以 cos ? m, n ??

m?n 1 ? | m || n| 2
1 。 2
……………………………………….14

故二面角 A ? BF ? C 的余弦值为 分

19. (本小题满分 14 分)

解: (1) ∵ a2 ? 1 ? d , a5 ? 1 ? 4d , a14 ? 1 ? 13d ,且 a2 , a5 , a14 成等比数列, ∴ (1 ? 4d )2 ? (1 ? d )(1 ? 13d ) ,即
d ? 2,

……………………………………………2 分



an ? 1 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?1.
分 又∵ b2 ? a2 ? 3 , b3 ? a5 ? 9 , ∴

………………………………………………4

q ? 3 , b1 ? 1, bn ? 3n?1. …………………………………6 分
(2)∵
c1 c2 ? ? b1 b2 cn ? an?1 , bn





c1 ? a2 ,即 c1 ? b1a2 ? 3 , b1 c1 c2 ? ? b1 b2 cn?1 ? an (n ? 2) , bn?1





① ? ②得
cn ? an?1 ? an ? 2 bn

……………………………………………9 分

∴ cn ? 2bn ? 2 ? 3n?1 (n ? 2) ,∴

( n ?1) ?3 ,……………………………………11 分 cn ? ? n?1 ?2 ? 3 ( n ? 2)
则 c1 ? c2 ?

? c2014 ? 3 ? 2 ? 31 ? 2 ? 32 ?

? 2 ? 32014?1

? 3 ? 2 ? (13 ? 23 ?
20.(本小题满分 14 分) 解:(1)由题意得 ?

3 3 ? 2? ?230 1 ? )

3(1 ? 32013 ) ? 32014. ……………14 分 1? 3

?b ?1 ?a ? 2

……………………………………………2 分

∴椭圆 C1 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

…………………………………………3 分

(2)设 A( x1 , y2 ) , B( x2 , y2 ) , P( x0 , y0 ) . 由题意知直线 l1 的斜率存在,不妨设其为 k ,则直线 l1 的方程为 y ? kx ? 1 。……4 分 故点 O 到直线 l1 的距离为 d ?

1 k ?1
2

,又圆 C2 : x2 ? y 2 ? 4 ,

4k 2 ? 3 ∴ | AB |? 2 4 ? d ? 2 . k 2 ?1
2

……………………………………………5 分

又 l1 ? l2 ,∴直线 l2 的方程为 x ? ky ? k ? 0. 由?

? x ? ky ? k ? 0 ,消去 y ,整理得 (4 ? k 2 ) x2 ? 8kx ? 0 , 2 2 ? x ? 4y ? 4

8k 4 ? k2 . 故 x0 ? ? ,代入 l2 的方程得 y0 ? 4 ? k2 4 ? k2

8k 2 4 ? k 2 8 k 2 ?1 2 ∴ | PD |? ( ) ?( ? 1) ? . 4 ? k2 4 ? k2 4 ? k2
分 设△ ABD 的面积为 S ,则

………………………………7

S?

1 8 k 2 ?1 | AB || PD |? 2 4 ? k2
32 4k 2 ? 3 ? 13 4k ? 3
2

∴S ?

? 2

32 4k 2 ? 3 ? 13 4k 2 ? 3

?

16 13 . ………………12 分 13

当且仅当 4k ? 3 ?
2

13 4k 2 ? 3

,即 k ? ?

10 时上式取等号。 2

∴当 k ? ?

10 16 13 时,△ ABD 的面积取得最大值 , 2 13 10 x ? 1. 2
……………………………………………14 分

此时直线 l1 的方程为 y ? ?

21. (本小题满分 14 分)

(1)解:函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??)

f ?( x) ? 2 x ln x ? x ? x(2ln x ? 1) ,令 f ?( x ) ? 0 , 得 x ?
分 当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:

1 …………………………2 e

x
f ?( x ) f ( x)

(0,

1 ) e

1 e
0
极小值

(

1 , ??) e

?

?

所以函数 f ( x ) 的单调递减区间是 (0,

1 1 ) ,单调递增区间是 ( , ??) ……………4 分 e e
x ?[1, ??) .

(2)证明:当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 0 。设 t ? 0 ,令 h( x) ? f ( x) ? t , 由(1)知 h( x) 在区间 (1, ??) 内单调递增。

…………………………6 分

h(1) ? ?t ? t , h(et ) ? e2t ln et ? t ? t (e2t ?1) ? 0 .
故存在唯一的 s ? [1, ??) ,使得 t ? f ( s) 成立。 …………………………8 分

(3)证明:∵ s ? g (t ) ,由(2)知, t ? f ( s) ,且 s ? 1 , ∴

ln g (t ) ln s ln s ln s u ? ? ? ? . …………………………10 分 2 ln t ln f (s) ln(s ln s) 2ln s ? ln ln s 2u ? ln u
其中, u ? ln s ,要使 分 当 t ? e 2 时,若 s ? g (t ) ? e ,则由 f ( s ) 的单调性,有 t ? f (s) ? f (e) ? e2 ,矛盾。 所以 s ? e ,即 u ? 1 ,从而 ln u ? 0 成立。 又设 F (u) ? ln u 2 ? u ,则 F ?(u ) ?

2 ln g (t ) 1 ? ? 成立,只需 ln u ? 0 且 ln u 2 ? u ? 0 。 ………12 5 ln t 2

2 ?1 u

所以 F (u) ? ln u 2 ? u 在 (1, 2) 内是增函数,在 (2, ??) 内为减函数,

F (u) ? ln u 2 ? u 在 (1, ??) 上的最大值为 F (2) ? ln 22 ? 2 ? 0
∴ ln u 2 ? u ? 0 成立。 分 ∴当 t ? e 2 时, ? 分 ………………………13

2 5

ln g (t ) 1 ? 成立。 ln t 2

………………………………14

注:如上各题若有其它解法,请评卷老师酌情给分。


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