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2013年北京市高考数学模拟试卷(三)


2013 年北京市高考数学模拟试卷(三)
第 1 卷(必做题,共 160 分)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 已知集合 A ? ??1,1, 2? , B ? ??1,0, 2? ,则 A ? B ? 2. 若复数 z 满足 z ? (2 ? z )i ( i 是虚数单位) ,则 z ? . . .
[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

3. 在圆 x2+y2=4 所围成的区域内随机取一个点 P(x,y),则| x |+| y | ≤ 2 的概率为 4. 已知 sin(? ?

?
3

) ? sin ? ? ?

4 3 ? , ? ? ? ? 0 ,则 cos ? = 5 2

.

5. 已知直线 y ? t 与函数 f ( x) ? 3x 及函数 g ( x) ? 4 ? 3x 的图象分别相交于 A 、 B 两点,则 A 、B 两点之间的距离 为 .
开始

6. 已知 B 为双曲线

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左准线与 x 轴的交点,点 A(0, b) ,若满足 2 a b
.

2

2

k ? 1, s ? 0
s ? s ? 3k
k ?k?2

??? ? ??? ? AP ? 2 AB 的点 P 在双曲线上,则该双曲线的离心率为

7. 右图是 一个算法的流程图,则输出 S 的值是
2

.

k ? 100



8. 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 1 ,若 ?? ? ( , ), f (sin ? ) ? f (cos? ) ,则实数 a 的取值范围 4 2 为 .
??? ? ??? ? BC 3BD ??? ? ??? ,则四边形 ABCD 的面积 ? ? BC BD
频率 组距

? ?


输出S

结束
第7 题图

??? ? ???? ??? ? BA 9. 在四边形 ABCD 中, AB ? 2 , AD ? BC , ??? ? ? BA



.

10. 在样本的频率分布直方图中, 共有 9 个小长方形, 若第一个长方形的面积 为 0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反 数,若样本容量为 1600, 则中间一组(即第五组)的频 数为 11. 已知变量 a,? ? R ,则 (a ? 2cos? )2 ? (a ? 5 2 ? 2sin ? )2 的最小值为
第10题图
样本数据

. .

12. 已知 f ( x) ? m( x ? 2m)( x ? m ? 1), g ( x) ? 2x ? 1 .若 ?x ? R, f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 ,则实数 m 的取 值范围是 .

13.设定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π 的偶函数,f ?( x ) 是 f(x)的导函数, x ??0, ? ? 当 时, 0<f(x)<1; x∈ 当 (0, π) 且 x≠ 2π ] 上的零点个数为 .

? ? 时 ,( x ? ) f ?( x) ? 0 , 则函数 y=f(x)-si nx 在[-2π, 2 2

14. 在平面直角坐标系 xOy 中, 抛物线 y2=2x 的焦点为 F. 设 M 是抛物线上的动点, 则 最大值为 .

MO 的 MF

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分) 15. (本小题满分 14 分)已知 ?ABC 的三内角 A, B, C 的对边分别是 a , b, c ,面积为 S?ABC , ?? ? ?? ? 且 m ? (b2 ? c2 ? a2 , ?2) , n ? (sin A, S?ABC ) , m ? n . A ? (1)求函数 f ( x) ? 4sin( x ? )cos x 在区间 [0, ] 上的值域; 2 2 ? 1 (2)若 a=3,且 sin( B ? ) ? ,求 b. 3 3

16. (本小题满分 14 分)在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AC=4,CB=2,AA1 =2, ?ACB ? 60 ,
?

E、F 分别是 A1C1 , BC 的中点. (1)证明:平面 AEB ? 平面 BB1C1C ; (2)设 P 是 BE 的中点,求三棱锥 P ? B1C1 F 的体积.

A1

E

C1
B1

P A F B C

[来源:Z#xx#k.Com]

17.(本小题满分 14 分)已知椭圆 C : (1)求椭圆 C 的方程;

2 x2 y 2 ,一条准线 l : x ? 2 . ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a 2 b2

(2)设 O 为坐标原点, M 是 l 上的点, F 为椭圆 C 的右焦点,过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆 D 交于 P, Q 两点. ①若 PQ ? 6 ,求圆 D 的方程; ②若 M 是 l 上的动点,求证点 P 在定圆上,并求该定圆的方程.

18.(本题满分 16 分)如图,某兴趣小组测得菱形养殖区 ABCD 的固定投食点 A 到两条平行 河岸线 l1、l2 的距离分别为 4m、8m,河岸线 l1 与该养殖区的最近点 D 的距离为 1m,l2 与 该养殖区的最近点 B 的距离为 2m. (1 )如图甲,养殖区在投食点 A 的右侧,若该小组测得 ?BAD ? 60? ,请据此算出养殖 区的面积; (2)如图乙,养殖区在投食点 A 的两侧,试在该小组未测得 ?BAD 的大小的情况下,估 算出养殖区的最 小面积.

[来源:学.科.网Z.X.X.K]

[来源:学科网 ZXXK]

19. (本小题满分 16 分) 知数列 ?an ? 是各项均不为 0 的等 差数列, 已 公差为 d ,Sn 为其前 n 项
2 和,且满足 an ? S2n ?1 , n ? N* .数列 ?bn ? 满足 bn ?

1 , Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和. an ? an ?1

(1)求数列 ?an ? 的通项公式 a n 和数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ; (2)若对任意的 n ? N* ,不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1)n 恒成立,求实数 ? 的取值范围; (3)是否存在正整数 m, n (1 ? m ? n) ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在,求出所有 m, n 的值;若不存在,请说明理由.

[来源:Z。xx。k.Com]

20. (本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ?

a 3 1 1 x ? (a ? 1) x2 ? x ? ( a ? R). 3 2 3

(1) 函数 f ( x) 的图象在点 (?1, f (?1)) 处的切线方程为 12 x ? y ? b ? 0 (b ? R) , a 与 b 的值; 求 (2)若 a ? 0 ,求函数 f ( x) 的极值; (3)是否存在实数 a 使得函数 f ( x) 在区间 [0, 2] 上有两个零点?若存在,求出 a 的取值范 围;若不存在,说明理由.

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分)
21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题,并在相应的答 .............. 题区域内作答. ...... A. (选修4-1:几何证明选讲)如图,AB 是半圆的直径,C 是 AB 延长线上一点,CD 切半 圆于点 D,CD=2,DE⊥AB,垂足为 E,且 E 是 OB 的中点,求 BC 的长.

?a c? B. (选修4-2:矩阵与变换)设 T 是矩阵 ? ? 所对应的变换,已知 A(1, 0) 且 T ( A) ? P ?b 0?

(1)设 b>0,当△POA 的面积为 3 , ?POA ?

?
3

,求 a,b 的值;

(2)对于(1)中的 a,b 值,再设 T 把直线 4 x ? y ? 0 变换成 3x ? y ? 0 ,求 c 的值.

1 ? ? x ? 2t ? C. (选修4-4: 坐标系与参数方程) 在直角坐标系 xoy 中, 直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 2 ? 3 t ? ? 2 2 ( t 为参数) ,若以直角坐标系 xoy 的 O 点为极点, ox 为极轴,且长度单位相同,建立极

坐标系,得曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos(? ? ) . 4 ( 1)求直线 l 的倾斜角; (2)若直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,求 AB.

?

D. (选修4-5:不等式选讲)设 f ( x) ? x2 ? x ? 13 ,实数 a 满足 x ? a ? 1 , 求证: f ( x) ? f (a) ? 2( a ? 1) .

【必做题】 第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(?1,1) ,P 是动点,且 ? POA 的三边所在直线的斜率满 足 kOP+kOA=kPA. (1 )求点 P 的轨迹 C 的方程;

??? ? ??? ? (2)若 Q 是 轨迹 C 上异于点 P 的一个点,且 PQ ? ?OA ,直线 OP 与 QA 交于点 M,是否存
在点 P,使得△PQA 和△PAM 的面积满足 S?PQA ? 2S?PAM ?若存在, 求出点 P 的坐标; 不 若 存在,说明理由.

23. (1)求证: n ? N * 时, ( 5 ? 2) 2n?1 ?( 5 ? 2) 2n?1 为正整数; (2)设 ( 5 ? 2)
2 n ?1

? m ? ? (m, n ? N*,0 ? ? ? 1) ,求证: ? (m ? ? )

? 1.


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