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河北省邯郸市一中2013届高三10月月考数学文试题


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河北省邯郸市一中 2013 届高三上学期 10 月份月考 数 学(文)
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。请将答案填在题后的括号内) 1.已知集合 M ? ? y y ? 2 , x ? 0 ? , N ? ?x y ? lg( 2 x ? x ) ? ,则 M ? N 为(
x

2



A. (1, 2 )

B. (1, ? ? )

C. ?2 , ??

?

D. ?1, ?? ? )
?1? ?1? D. ? ? ? ? ? ?3? ?3?
a b

2. 若 a 、 b 是任意实数,且 A. a ? b
2 2

a ? b ,则下列不等式成立的是( ..

B.

b a

?1

C. lg( a ? b ) ? 0 )

3.已知等差{an}中,a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11=( A.58 B.88 C.143 4. 若 ? ? ? , ? , sin 2 ? = ?4 2? A.
3 5
?π π? 3 7 8

D.176

,则 sin ? ? (



B.

4 5

C.

3 4

D.

7 4

5. 已知 ? a n ? 为等比数列, a 4 ? a 7 ? 2 , a 5 a 6 ? ? 8 ,则 a 1 ? a10 ? ( A.7 6. 函数 y B.5
?π x π ? ? 2 sin ? ? ? (0 ? x ? 9 ) 3? ? 6
3



C. -5 的最大值与最小值之和为( C.-1

D. -7 ) D. ? 1 ?
3

A. 2 ?

B.0

7.下列判断正确的是( ) A. 若命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,则命题“ p ? q ”为真命题 B. 命题“若 xy ? 0 ,则 x ? 0 ”的否命题为“若 xy ? 0 ,则 x ? 0 ” C. 命题“ ? x ? R , 2 ? 0 ”的否定是“ ? x 0 ? R , 2
x
x0

?0”

D. “ sin ? ?

1 2

”是“ ? ?

?
6

”的充分不必要条件

8.函数 f ( x ) ? 3 co s 9. A.2 函 数 f ( x) ?

?
2

x ? lo g 2 x ?

1 2

的零点个数为( C.4 ( 其 中 )

) D.5

B.3
A s ? n? ? i (x

?

??
)

A ? 0, ? ?

π 2

) 的图象如图 1 所示, 为了得到 g ( x ) ? sin 2 x 的图象, 则只需将 f ( x ) 的图象(

A.向右平移

π 6

个长度单位

B.向右平移

π 12

个长度单位

C.向左平移 D.向左平移

π 6
π

个长度单位 个长度单位
??? 2 ? ??? ???? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ?

图1

12

A B C 10.在△ A B C 中,若 A B ? A B · C ? B A · C ? C A · B ,则△ A B C 是(

)

A.等边三角形 11. f ( x ) ? ?

B.锐角三角形

C.钝角三角形
2

D.直角三角形 )

? 2, x ? 0, ? ? x ? 2, x ? 0,

则满足不等式 f (3 ? x ) ? f ( 2 x ) 的 x 的取值范围为(

A. ( ? 3, ? 3 )

B. (-3,0)

C. [-3,0)

D. (-3,1)
2

? 12 . 若 函 数 y ? f ( x )( x ? R ) 满 足 f ( x ? 2 )

f ( x ,)且 x ? [ ? 1,1] 时 f ( x ) ? 1 ? x

,函数

( ? l gx x ? 0 ) ? g ( x )? ? 1 ,则 函 数 h ( x ) ? f (x )? g ( )在 区 间 [-5,5] 内 的 与 x 轴 交 点 的 的 个 数 为 x ?? (x ? 0 ) ? x

( ) A.5

B.7

C.8

D.10

第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
? 13. 已知向量 a , b 夹角为 4 5 ,且| a |=1,|2 a - b |= 1 0 ,则| b |=________.

? ?

?

?

?

?

14. 在△ A B C 中, ? B ?

, A C ? 1 , A B ? 3 ,则 B C 的长度为________. 6 2 y 8x 2 ? ? m ? 2 m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 15. 已知 x ? 0, y ? 0 ,若 x y

?

.

16.等比数列{ a n }的公比为 q,其前 n 项和的积为 Tn,并且满足下面条件
a1 ? 1, a 9 9 ? a 1 0 0 ? 1 ? 0, ;

a 99 ? 1 a1 0 0 ? 1

? 0 . 给出下列结论:①0<q<1;② a 99 ? a 101

? 1 ? 0 ;③T100 的值

是 Tn 中最大的;④使 Tn>1 成立的最大自然数 n 等于 198.其中正确的结论是 三、解答题(本大题共 70 分,其中 17 题 10 分,其余每小题 12 分)



?

??

sin x

17.(本小题满分 10 分)已知函数 f ( x ) ? (1)求 f ( x ) 的定义域及最小正周期; (2)求 f ( x ) 的单调递减区间.

(sin x ? cos x ) sin 2 x

A+B 18.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,tan =2sinC. 2

(Ⅰ)求∠C 的大小; (Ⅱ)若 AB=1,求△ABC 周长的取值范围.

19. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x ) ? a x ( a ? 0 ).
2 2

(1)将函数 y ? f ( x ) 图象向右平移一个单位即可得到函数 y ? ? ( x ) 的图象,写出 y ? ? ( x ) 的 解析式及值域; (2)关于 x 的不等式 ( x ? 1) ? f ( x ) 的解集中的整数恰有 3 个,求实数 a 的取值范围;
2

20.(本小题满分 12 分)已知等差数列 ?a n ? 满足: a 5 ? 9 , a 2 ? a 6 ? 14 . (1)求 ?a n ? 的通项公式; (2)若 b n ? a n ? q
an

( q ? 0 ),求数列 ?b n ? 的前 n 项和 S n .

21. (本小题满分 12 分)如图 2,建立平面直角坐标系 xo y , x 轴在地平面上, y 轴垂直于地平面, 单位长度为 1 千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y ? kx ? 曲线上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小) ,其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超过多 少时,炮弹可以击中它?请说明理由.
1 20 (1 ? k ) x ( k ? 0 )
2 2

表示的

?

??

22、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?
1 3 x ?
3

a ?1 2

2 x ? b x ? a ( a , b ? R ) ,且其导函数 f ? ( x ) 的图像过原点.

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的图像在 x ? 3 处的切线方程; (2)若存在 x ? 0 ,使得 f ? ( x ) ? ? 9 ,求 a 的最大值; (3)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的零点个数。

邯郸市一中 2012—2013 学年 10 月月考考试答案数学(文)
一.选择题 1-5 ADBCD 6-10ACBAD 11-12 BC 二.填空题
13. 3 2 14. 2 或 1 15. ( ? 4, 2 ) 16.①②④

三、解答题 17.解: (1)由 sinx≠0 得 x≠kπ(k∈Z), 故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}. ?sinx-cosx?sin2x 因为 f(x)= sinx =2cosx(sinx-cosx) =sin2x-cos2x-1 π = 2sin?2x-4?-1, ? ? 2π 所以 f(x)的最小正周期 T= =π. 2 π 3π (2)函数 y=sinx 的单调递减区间为?2kπ+2,2kπ+ 2 ?(k∈Z). ? ?

?

??

π π 3π 由 2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ ,x≠kπ(k∈Z), 2 4 2 3π 7π 得 kπ+ ≤x≤kπ+ (k∈Z). 8 8 3π 7π 所以 f(x)的单调递减区间为?kπ+ 8 ,kx+ 8 ?(k∈Z). ? ? A+B A+B π C C 18.解: (Ⅰ)由 tan =2sinC 及 = - ,得 cot =2sinC, 2 2 2 2 2 C cos 2 C C ∴ =4sin cos , C 2 2 sin 2 C π C C ∵0< < ,cos >0,sin >0, 2 2 2 2 C 1 C 1 C π π ∴sin2 = ,sin = , = ,C= . 2 4 2 2 2 6 3 AB BC CA 2 3 (Ⅱ)由正弦定理,得 = = = ,△ABC 的周长 sinC sinA sinB 3 2 3 2 3 2π 2 3 3 y=AB+BC+CA=1+ sinA+ sin( -A)=1+ sinA+cosA+ sinA 3 3 3 3 3 π π π 5π 1 π =1+ 3sinA+cosA=1+2sin(A+ ),∵ <A+ < ,∴ <sin(A+ )≤1, 6 6 6 6 2 6 所以周长的取值范围是(2,3]
1 9 .解 : ? ( x ) ? a ( x - 1) , 值 域 为 [0, ? ) (1) ?
2 2

( 2 ) 解 法 一 : 不 等 式 ( x - 1 ) ? f ( x )的 解 集 中 的 整 数 恰 有 3 个 ,
2

? (1 ? a ) x ? 2 x ? 1 ? 0 恰 有 3 个 整 数 解 , 故 1 ? a ? 0
2 2 2

令 h ( x ) ? (1 ? a ) x ? 2 x ? 1,由 h (0 ) ? 1 ? 0 , h (1) ? ? a ? 0 ( a ? 0 )
2 2 2

所 以 函 数 h ( x ) ? (1 ? a ) x ? 2 x ? 1的 一 个 零 点 在 区 间 (0 ,1),
2 2

则 另 一 个 零 点 一 定 在 区 间 [ ? 3, ? 2 ), ? h(2) ? 0 4 3 故? 解得 ? a ? 3 2 ? h (3) ? 0 , 解 法 二 : ? a ) x ? 2 x ? 1 ? 0 恰 有 3个 整 数 解 , 故 1 ? a ? 0 (1
2 2 2

即 a ? 1, ? a ) x ? 2 x ? 1 ? [(1 ? a ) x ? 1][(1 ? a ) x ? 1] ? 0 (1
2 2

1 1? a

? x?

1 1? a 1 1? a

,又 因 为 0 ? ? ? 2, 解 得 4 3

1 1? a

?1 3 2

所以 ?3 ?

? a ?

20.解: (1)设 ? a n ? 的首项为 a 1 ,公差为 d ,则 由 a 5 ? 9, a 2 ? a 6 ? 1 4, 得 ?
? a 1 ? 1, ? d ? 2, ? a1 ? 4 d ? 9 , ? 2 a1 ? 6 d ? 1 4 ,

解得 ?

?

??

所以 ? a n ? 的通项公式 a n ? 2 n ? 1 . ( 2 ) 由 an ? 2n ? 1
S n ? ?1 ?3 ?? ? 5
2n

得 bn ? 2 n ? 1 ? q

2 n ?1

.
??
2

① 当 q ? 0且 q ? 1
q?
1

时 ,

n ( ?2 ?

?

1

?1 ) ? q q
3

??q
5

n?

?

? n ?
2

q ?1 ? q 1? q

?

2



② 当 q ? 1 时, b n ? 2 n ,得 S n ? n ( n ? 1) ;
? n ? n ? 1? ? q ? 1? , ? 2n 所以数列 ? b n ? 的前 n 项和 S n ? ? q ?1 ? q ? 2 ? q ? 0且 q ? 1? . ?n ? 2 1? q ?

1 21.解: (1)令 y=0,得 kx- (1+k2)x2=0, 20 由实际意义和题设条件知 x>0,k>0, 20k 20 20 故 x= = ≤ =10,当且仅当 k=1 时取等号. 1 2 1+k2 k+ k 所以炮的最大射程为 10 km. 1 (2)因为 a>0,所以炮弹可击中目标?存在 k>0,使 3.2=ka- (1+k2)a2 成立 20 ?关于 k 的方程 a2k2-20ak+a2+64=0 有正根 ?判别式 Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0 ?a≤6. 所以当 a 不超过 6 km 时,可击中目标. 22、解: f ( x ) ?
1 3 x ?
3

a ?1 2

2 2 x ? b x ? a , f ? ( x ) ? x ? ( a ? 1) x ? b

由 f ? (0 ) ? 0 得

b ? 0 , f ? ( x ) ? x ( x ? a ? 1) .

(1) 当 a ? 1 时, f ( x ) ?

1 3

3 2 x ? x ? 1 , f ? ( x ) ? x ( x ? 2 ) , f (3) ? 1 , f ? (3) ? 3

所以函数 f ( x ) 的图像在 x ? 3 处的切线方程为 y ? 1 ? 3( x ? 3) ,即 3 x ? y ? 8 ? 0 (2) 存在 x ? 0 ,使得 f ? ( x ) ? x ( x ? a ? 1) ? ? 9 ,
9 ? x 9 x 9 ( x ?) ( ? ? , a ?? ? 7 , ) 6 x

? a ?1 ? ? x

( x? ? )

(?

?)

2 ?

当且仅当 x ? ? 3 时, a ? ? 7. 所以 a 的最大值为 ? 7 .

x

(?? , 0)

0

( ? ? , a ? 1)

a ?1

( a ? 1, ? ? )

?

??
0

f ?( x )

?

0

?

?

(3) 当 a ? 0 时 ,
x, ? f ( x)

f(x)

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

的变化情况如下表:
f ( x ) 的极大值 f (0 ) ? a ? 0 ,

f ( x ) 的极小值 f ( a ? 1) ? a ?

1 6

( a ? 1) ? ?
3

1 ? 3 1 2 1? a ? 3( a ? ) ? ? 0 ? 6? 2 4? ?

又 f (?2) ? ? a ?

14 3

? 0, f ( x ) ?

1 3

x

2

3 3 ? ? x ? ( a ? 1) ? a , f ( ( a ? 1)) ? a ? 0 . ? ? 2 2 ? ? 3 2 ( a ? 1)) 内各有一个零点,

所以函数 f ( x ) 在区间 ? ? 2, 0 ? , (0, a ? 1), ( a ? 1, 故函数 f ( x ) 共有三个零点。


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