当前位置:首页 >> 数学 >>

人教版2019学年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.3直线平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直

2.3.1 直线与平面垂直的判定

A 级 基础巩固

一、选择题

1.下列说法中正确的个数是( )

①如果直线 l 与平面 α 内的两条相交直线都垂直,则 l⊥α ;

②如果直线 l 与平面 α 内的任意一条直线垂直,则 l⊥α ;

③如果直线 l 不垂直于 α ,则 α 内没有与 l 垂直的直线;

④如果直线 l 不垂直于 α ,则 α 内也可以有无数条直线与 l 垂直.

A.0

B.1

C.2

D.3

解析:由直线和平面垂直的定理知①正确;由直线与平面垂直的定义知,②正确;

当 l 与 α 不垂直时,l 可能与 α 内的无数条直线垂直,故③错误,④正确.

答案:D

2.直线 l⊥平面 α ,直线 m? α ,则 l 与 m 不可能( )

A.平行

B.相交

C.异面

D.垂直

解析:若 l∥m,l?α ,m? α ,则 l∥α ,这与已知 l⊥α 矛盾.所以直线 l 与 m 不

可能平行.

答案:A

3.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况,能保证该直线与平面垂直的是

()

①三角形的两边 ②梯形的两边 ③圆的两条直径

④正六边形的两条边

A.①③

B.②

C.②④

D.①②③

解析:由线面垂直的判定定理可知①③是正确的,而②中线面可能平行、相交.④

中由于正六边形的两边不一定相交,所以也无法判定线面垂直.

答案:A

4.如图所示,如果 MC⊥菱形 ABCD 所在平面,那么 MA 与 BD 的位置关系是( )

A.平行 B.垂直相交 C.垂直但不相交 D.相交但不垂直 解析:因为四边形 ABCD 是菱形,所以 BD⊥AC.又 MC⊥平面 ABCD,则 BD⊥MC.因为 AC ∩MC=C,所以 BD⊥平面 AMC.又 MA? 平面 AMC,所以 MA⊥BD.显然直线 MA 与直线 BD 不共 面,因此直线 MA 与 BD 的位置关系是垂直但不相交. 答案:C 5.如图所示,PA⊥平面 ABC,△ABC 中 BC⊥AC,则图中直角三角形的个数是( )

A.1 C.3

B.2 D.4

解析: PBAC⊥? 平平面面AABBCC??????

PA⊥BC ?? AC⊥BC ?? PA∩AC=A??

BC⊥平面 PAC? BC⊥PC, 所以直角三角形有△PAB,△PAC,△ABC,△PBC. 答案:D 二、填空题 6.已知△ABC 所在平面外一点 P 到△ABC 三顶点的距离都相等,则点 P 在平面 ABC 内的射影是△ABC 的____________________ (填“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”). 解析:P 到△ABC 三顶点的距离都相等,则点 P 在平面 ABC 内的射影到△ABC 三顶点 的距离都相等,所以是外心. 答案:外心 7.已知正三棱锥 S?ABC 的所有棱长都相等,则 SA 与平面 ABC 所成角的余弦值为

________. 解析:因为 S?ABC 为正三棱锥,所以设点 S 在底面 ABC 上的射影为△ABC 的中心 O,
连接 SO,AO,如图所示,则∠SAO 为 SA 与底面 ABC 所成的角,设三棱锥的棱长为 a,在 Rt△SOA 中,AO=23·asin 60°= 33a,SA=a,

所以

cos∠SAO=SAAO=

3 3.

3 答案: 3

8.如图所示,平面 α ∩β =CD,EA⊥α ,垂足为 A,EB⊥β ,垂足为 B,则 CD 与 AB 的位置关系是________.

解析:因为 EA⊥α ,CD? α , 根据直线和平面垂直的定义,则有 CD⊥EA. 同样,因为 EB⊥β ,CD? β ,则有 EB⊥CD. 又 EA∩EB=E, 所以 CD⊥平面 AEB. 又因为 AB? 平面 AEB,所以 CD⊥AB. 答案:CD⊥AB 三、解答题 9.如图所示,在正四面体 ABCD 中,E 是棱 AD 的中点,求直线 CE 与底面 BCD 所成的 角的正弦值.

解:设正四面体 ABCD 的棱长为 1,如图,作 AO⊥平面 BCD,垂足为 O,则 O 是△BCD

的中心,故

OD=23×

3 2=

3 3.

取 OD 的中点 G,连接 EG, 因为 EG∩OD=G,则 EG⊥平面 BCD.连接 CG,于是∠ECG 就是直线 CE 与底面 BCD 所成 的角.

因为 EG=12AO=12 AD2-DO2=12×

6

所以

sin∠ECG=EECG=

6 = 3

2 3.

2

12-??? 33???2= 66,又 CE= 23,

所以直线 CE 与底面 BCD 所成的角的正弦值为 32.

10.如图所示,四边形 ABCD 为矩形,AD⊥平面 ABE,F 为 CE 上的点,且 BE⊥平面 ACE.求证: AE⊥BE.

证明:因为 AD⊥平面 ABE,AD∥BC,

所以 BC⊥平面 ABE.

又 AE? 平面 ABE,所以 AE⊥BC.

因为 BF⊥平面 ACE,AE? 平面 ACE,所以 AE⊥BF.

又因为 BF? 平面 BCE,BC? 平面 BCE,BF∩BC=B,

所以 AE⊥平面 BCE.

又 BE? 平面 BCE,所以 AE⊥BE.

B 级 能力提升

1.已知直线 m,n 是异面直线,则过直线 n 且与直线 m 垂直的平面( )

A.有且只有一个

B.至多一个

C.有一个或无数个

D.不存在

解析:若异面直线 m,n 垂直,则符合要求的平面有一个,否则不存在. 答案:B 2.在三棱柱 ABC?A1B1C1 中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点 D 是侧面 BB1C1C 的中 点,则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是________. 解析:如图所示,取 BC 的中点 E,连接 DE,AE,则 AE⊥面 BB1C1C.
所以 AE⊥DE,因此 AD 与平面 BB1C1C 所成角即为∠ADE, 设 AB=a,则 AE= 23a,DE=a2, 有 tan∠ADE= 3,所以∠ADE=60°. 答案:60° 3.(2016·全国卷Ⅱ改编)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,AB=5,AC =6,点 E,F 分别在 AD,CD 上,AE=CF=54,EF 交 BD 于点 H.将△DEF 沿 EF 折到△D′EF 的位置, OD′= 10. 证明:D′H⊥平面 ABCD.
证明:由已知得 AC⊥BD,AD= CD, 又由 AE=CF,得AADE=CCDF,故 AC∥EF. 因为 EF⊥HD,从而 EF⊥D′H. 由 AB=5,AC=6 得 DO=BO= AB2-AO2=4. 由 EF∥AC 得DOOH=AADE=14, 所以 OH=1,D′H=DH=3,

于是 D′H2+OH2=32+12=10=D′O2,故 D′H⊥OH. 又 D′H⊥EF,而 OH∩EF=H,所以 D′H⊥平面 ABCD.