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一元一次不等式 典型例题及相关练习

第七章

一元一次不等式
相关练习 1.比较大小: 已知: 0 ? x ? y (1) x ? 5 ___ y ? 5 ;(2) x ? z ___ y ? z ;

典型例题 1.不等式基本性质的应用: (比较大小) 已知: a ? b (1) a ? 1 ? b ? 1 ; (2) a ? c ? b ? c ; (3) 2a ? 2b ;

(5) 3a ? 2 ? 3b ? 2 ; (6) ? a ? c ? ?b ? c .

1 1 (4) ? a ? ? b ; 2 2

x y ___ ; 2 2 3 3 (5) ___ . x y
(3)

(4) ? x ? 1 ___? y ? 1 ;

注:能说出具体理由. 2.求不等式 2x ? 3 ≤5 的正整数解. 解:求解集为 x ≤4, ∴正整数解为 x ? 1,2,3,4 . 注:不等式的“特殊解” (正整数解、非负整数 解…) .

注意:第(5)题的比较方法. 2.求不等式 12a ? 6 ≤ 5a ? 27 的非负整数 解. 解:

注意:正整数解、非负整数解的区别.

? 1 ? b ? 0 ,则比较 3.如果 a ? 0、

0 ? y ? 1 ,则比较 3.如果 ? 1 ? x ? 0、

a、ab、ab 2 的大小.
解:用“特殊值法” 设: a ? ?1、b ? ? 则 a ? ?1、ab ?
2

x、xy、xy 2 的大小.
解:

1 , 2

1 1 、ab 2 ? ? , 2 4
注意:此类题也可以利用“不等式的性质”解 答.

∴ a ? ab ? ab . 注:重视“特殊值法”在解填空、选择题上的 作用.

4.若不等式组 ? 值范围. 解:画数轴

?x ? 3, ?2x ? 1 ? 3, 有解,则求 m 的取 4.若不等式组 ? 无解,则求 a 的 ?x ? m ?x ? a ? 0
取值范围. 解: m


3



可知: m ? 3 .

第 1 页 共 5 页

注: (1) m ? 3 不满足题意; (2)重视“数轴”在解决这类问题中的作 用.

注意:这里是“无解” .

?x ? a ? 0, ?x ? m ? 0, 只有 3 个 5. 已知不等式组 ? 只有 2 个整 ? ?5 ? 2x ? ?1 ?3 ? 2x ? 0 整数解,求 a 的取值范围. 数解,求 m 的取值范围. 解: ?x ? a ? 0, 解:由 ? ?5 ? 2x ? ?1 ?x ? a, 得? ?x ? 3
5.已知不等式组 在数轴上表示解集: -1a 0 1 2
∣● ∣ ∣ ∣

3



∴可知 ? 1 ? a ? 0 . 注:当 a ? 0 时,满足题目条件.

注意:画数轴的重要性.

6.已知 3x ? y ? 2 .当 x 取何值时,

?1≤ y < 5 . 解:由 3x ? y ? 2 , 得 y ? ?3x ? 2 ,
∴由 ? 1 ≤ y < 5 ,即 ? 得?

6.已知: 3a ? b ? 2 .当 b 取何值时, ?1<a ≤ 2 . 解:

? y ? ?1, ?y ? 5

?? 3x ? 2 ? ?1, ?? 3x ? 2 ? 5 ?x ? 1, 解不等式组得 ? ?x ? ?1 即 ? 1 ? x ? 1. 注:已知 y 的范围,求 x 的范围, 就先把 y 用含 x 的代数式表示,
得不等式组,再求解集.

注意:这里已知 a 的范围,求 b 的范围.

7.若

x ?1 ? 0 ,求 x 的取值范围. 3x ? 2

7.若 解:

x ?1 ? 0 ,求 x 的取值范围. 3x ? 2

第 2 页 共 5 页

解:由

x ?1 ?0 3x ? 2 ?x ? 1 ? 0, ?x ? 1 ? 0, 得 ? 或? ?3x ? 2 ? 0 ?3x ? 2 ? 0 ?x ? ?1, ?x ? ?1, ? ? ∴? 2 或? 2 (无解) x ? x ? ? ? 3 3 ? ? 2 即 ?1 ? x ? . 3
(1) ?分子 ? 0,
? ?分母 ? 0

注:分式的值<0 时的两种情况: (2) ?分子 ? 0, .
? ?分母 ? 0

注意:分式的值>0 时的两种情况.

8.找出下列解不等式过程中的错误并改正:

5x ? 2 ?
解:

2 (5x ? 13) 3
去分母时 2 没乘 3,

8.解不等式(组) : (1)

等号不变号. 改正: (请你给出正确的解题过程)

15x ? 2 ? 2(5x ? 13) 15x ? 2 ? 10x ? 26 15x ? 10x ? 26 ? 2 5x ? 27 27 x ? 5

x ?3 3 ? 4x ? 6? 4 2

﹣ 26 没移项不要变 号, 两边同除以 5,不

?2 (3 ? x ) ? 2 ? ?2, ? ?3 (2) ? ?? 2 ( x ? 5) ? 1 ? 5 ? ? 3

(3) ? 1 ?
第 3 页 共 5 页

2x ? 3 ?2 2

注意:步骤完整是避免计算错误的最好方 注: “去分母”不要忘记“所有的项都要乘最简 公分母” ;最后一步“不等号”到底变不变号. 9.一群学生住若干间宿舍,每间住 4 人, 剩 19 人无房间住;每间住 6 人,有一间宿 舍住不满,可能有多少间宿舍,多少名学 生? 解:设有 x 间宿舍,则有(4x +19)名学生 根据题意,得 法! 9.用若干辆载重量为 8 吨的汽车运一批货 物,若每辆汽车只装 4 吨,则剩下 20 吨货 物;若每辆汽车装满 8 吨,则最后一辆汽车 不满也不空.有多少辆汽车?多少吨货物? 解:

?(4x ? 19) ? 6(x ? 1) ? 0, ? ?(4x ? 19) ? 6(x ? 1) ? 6
解不等式组,得

25 ? x ? , ? 19 25 ? 2 ?x ? 即 ? 2 2 ?x ? 19 ? 2 ? 又因为 x 为正整数, 所以 x ? 10,11,12 4x ? 9 ? 49,53,57 .
答:可能有 10 间宿舍,49 名学生; 或 11 间宿舍,53 名学生; 或 12 间宿舍,57 名学生. 注:本题也可列不等式组

?(4x ? 19) ? 6(x ? 1) ? 1, ? ?(4x ? 19) ? 6(x ? 1) ? 5
(你知道为什么吗?) 10. 直线 l1 : y ? k1 x ? b 与直线 l 2 : y ? k 2 x 在 同一平面直角坐标系中的图象如图所示,求 关于 x 的不等式 k2 x ? k1 x ? b 的解集.

注意: “不满也不空”所表示的不等关系. 10.如图,一次函数 y1 = - x - 1 与反比例函 数 y2 = -

2 的图象交于点 A、 B, 求当 y1 > y2 x

的 x 的取值范围. 解:

第 4 页 共 5 页

解:由函数图象可知 关 于 x 的 不 等 式 k2 x ? k1 x ? b 的解集是:

y l2 3

l1

x ? ?1

-1 O x (第12题图)

注意 : 可以类似 地得出

注: k 2 x 、k 1x ? b 对应了两函数的函数值 (点的纵坐标) , 所以“函数值较大”在图象上 就反映为“图象在上面” .

y 1 ? y 2 时, x 的取值范围.

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