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高中数学新课程创新教学设计案例50篇(09)函数的奇偶性

9 函数的奇偶性

教材分析
函数的奇偶性是函数的重要性质, 是对函数概念的深化. 它把自变量取相反数时函数值间的 关系定量地联系在一起,反映在图像上为:偶函数的图像关于y轴对称,奇函数的图像关于 坐标原点成中心对称.这样,就从数、形两个角度对函数的奇偶性进行了定量和定性的分 析. 教材首先通过对具体函数的图像及函数值对应表归纳和抽象, 概括出了函数奇偶性的准 确定义.然后,为深化对概念的理解,举出了奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数的函 数和非奇非偶函数的实例.最后,为加强前后联系,从各个角度研究函数的性质,讲清了奇 偶性和单调性的联系. 这节课的重点是函数奇偶性的定义, 难点是根据定义判断函数的奇偶 性.

教学目标
1. 通过具体函数,让学生经历奇函数、偶函数定义的讨论,体验数学概念的建立过程,培 养其抽象的概括能力. 2. 理解、掌握函数奇偶性的定义,奇函数和偶函数图像的特征,并能初步应用定义判断一 些简单函数的奇偶性. 3. 在经历概念形成的过程中,培养学生归纳、抽象概括能力,体验数学既是抽象的又是具 体的.

任务分析
这节内容学生在初中虽没学过, 但已经学习过具有奇偶性的具体的函数: 正比例函数 y=kx, 反比例函数 ,(k≠0),二次函数 y=ax2,(a≠0),故可在此基础上,引入奇、偶

函数的概念,以便于学生理解.在引入概念时始终结合具体函数的图像,以增加直观性,这 样更符合学生的认知规律,同时为阐述奇、偶函数的几何特征埋下了伏笔.对于概念可从代 数特征与几何特征两个角度去分析,让学生理解:奇函数、偶函数的定义域是关于原点对称 的非空数集;对于在有定义的奇函数 y=f(x),一定有 f(0)=0;既是奇函数,又是偶 函数的函数有 f x) ( =0, x∈R. 在此基础上, 让学生了解: 奇函数、 偶函数的矛盾概念——— 非奇非偶函数.关于单调性与奇偶性关系,引导学生拓展延伸,可以取得理想效果.

教学设计
一、问题情景 1. 观察如下两图,思考并讨论以下问题:

(1)这两个函数图像有什么共同特征? (2)相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的?

可以看到两个函数的图像都关于 y 轴对称. 从函数值对应表可以看到, 当自变量 x 取一对相 反数时,相应的两个函数值相同. 对于函数 f(x)=x2,有 f(-3)=9=f(3),f(-2)=4=f(2),f(-1)=1=f(1).事 实上,对于 R 内任意的一个 x,都有 f(-x)=(-x)2=x2=f(x).此时,称函数 y= x2 为偶函数.

2. 观察函数 f(x)=x 和 f(x)= 这两个函数有什么共同特征.

的图像,并完成下面的两个函数值对应表,然后说出

可以看到两个函数的图像都关于原点对称.函数图像的这个特征,反映在解析式上就是:当 自变量x取一对相反数时,相应的函数值 f(x)也是一对相反数,即对任一 x∈R 都有 f(- x)=-f(x).此时,称函数 y=f(x)为奇函数. 二、建立模型 由上面的分析讨论引导学生建立奇函数、偶函数的定义 1. 奇、偶函数的定义 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x),那么函数 f(x)就 叫作奇函数. 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么函数 f(x)就叫 作偶函数. 2. 提出问题,组织学生讨论 (1)如果定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-2)=f(2),那么 f(x)是偶函数吗? (f(x)不一定是偶函数) (2)奇、偶函数的图像有什么特征? (奇、偶函数的图像分别关于原点、y 轴对称) (3)奇、偶函数的定义域有什么特征? (奇、偶函数的定义域关于原点对称) 三、解释应用 [例 题] 1. 判断下列函数的奇偶性.

注:①规范解题格式;②对于(5)要注意定义域 x∈(-1,1]. 2. 已知:定义在 R 上的函数 f(x)是奇函数,当 x>0 时,f(x)=x(1+x),求 f(x) 的表达式.

解:(1)任取 x<0,则-x>0,∴f(-x)=-x(1-x), 而 f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).∴f(x)=x(1-x). (2)当 x=0 时,f(-0)=-f(0),∴f(0)=-f(0),故 f(0)=0.

3. 已知:函数 f(x)是偶函数,且在(-∞,0)上是减函数,判断 f(x)在(0,+∞)上 是增函数,还是减函数,并证明你的结论. 解:先结合图像特征:偶函数的图像关于 y 轴对称,猜想 f(x)在(0,+∞)上是增函数, 证明如下: 任取 x1>x2>0,则-x1<-x2<0. ∵f(x)在(-∞,0)上是减函数,∴f(-x1)>f(-x2). 又 f(x)是偶函数,∴f(x1)>f(x2). ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. 思考:奇函数或偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性有何关系? [练 习] 1. 已知:函数 f(x)是奇函数,在[a,b]上是增函数(b>a>0),问 f(x)在[-b, -a]上的单调性如何. 2. f(x)=-x3|x|的大致图像可能是( )

3. 函数 f(x)=ax2+bx+c,(a,b,c∈R),当 a,b,c 满足什么条件时,(1)函数 f (x)是偶函数.(2)函数 f(x)是奇函数.

4. 设 f(x),g(x)分别是 R 上的奇函数和偶函数,并且 f(x)+g(x)=x(x+1), 求 f(x),g(x)的解析式. 四、拓展延伸 1. 有既是奇函数,又是偶函数的函数吗?若有,有多少个? 2. 设 f(x),g(x)分别是 R 上的奇函数,偶函数,试研究: (1)F(x)=f(x)· g(x)的奇偶性. (2)G(x)=|f(x)|+g(x)的奇偶性.

3. 已知 a∈R,f(x)=a-

,试确定 a 的值,使 f(x)是奇函数.

4. 一个定义在R上的函数,是否都可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和的形式?

点 评
这篇案例设计由浅入深,由具体的函数图像及对应值表,抽象概括出了奇、偶函数的定义, 符合学生的认知规律, 有利于学生理解和掌握. 应用深化的设计层层递进, 深化了学生对奇、 偶函数概念的理解和应用.拓展延伸为学生思维能力、创新能力的培养提供了平台.


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