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【原创,自用】1.5 函数y=Asin(wx+φ)的图象(1)_图文

数学必修4
1.5 函数 y=Asin(ωx+φ)的图像(一)

在物理中,简谐运动中单摆对平衡位置的位移y与时间x的 关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形y=Asin(ωx+φ) 的函数(其中A, ω, φ都是常数). 下图是某次试验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象 y y
6 4 2 6

4
2

o
-2
-4 -6

2

4

6

8

x

o
-2
-4 -6

0.01

0.02

0.03

0.04

x

交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线有何关系?

交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线有 何关系?
答 : 交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线很相似, 从解析式来看,函数y ? sin x就是函数y ? A sin(?x ? ? )在 A ? 1, ? ? 1,? ? 0时的情况.

你认为怎样讨论参数? , ? , A对y ? A sin(?x ? ? )的 图象的影响?

(一)探索?对y ? sin( x ? ? ), x ? R的图象的影响 .
y
y ? sin( x ? ) 3

?

y = sin x

y ? sin( x ?
5? 3


?
3
x

)

?

? o ? ? ? 2? π
3 6 3 2 3

7? 6

y ? sin x的图象

? ? ? >0 3

? 向左平移 3 结论 : y ? sin( x ? ? )(其中? ? 0)的图象, 可以看作 是把正弦曲线上所有的点向左(当? ? 0时) 或向右(当? ? 0时)平行移动 ? 个单位长度而得到.

y ? sin( x ? )的图象 3

?

(二)探索?对y ? sin(?x ? ? )的图象的影响 . ? y 1 ? y ? sin( 2 x ? )
?

?
3

? 7?
3 12
?
2

3

y ? sin(
5? 3

2

x?

3

)

2? ? o ? ? 3 6
? y ? sin( x ? )的图象 3

5?π 6


y ? sin( x ?

10? 3
x
3 )

?

所有的点横坐标缩短 1 到原来的 2 倍 纵坐标不变

y ? sin(2 x ?

?
3

)的图象

结论 : 函数y ? sin(? x ? ? )的图象, 可以看作是把y ? sin( x ? ? ) 的函数图象上所有点的横坐标缩短(当? ? 1时)或伸长 (当0 ? ? ? 1时)到原来的 1

?

倍(纵坐标不变)而得到的.

(三)探索A对y ? Asin(?x ? ? )的图象的影响 .
y

2-

po p p ? 6 12 3 2

y ? sin( 2 x ? ) 3 1 p 5 p 7p y = sin(2x + ) 2 3 12 6
π
2π x

?

p y = 2 sin(2x + ) 3

结论 : 函数y ? A sin(? x ? ? )的图象, 可以看作是把y ? sin(? x ? ? ) 上所有点的纵坐标伸长(当A ? 1时)或缩短(当0 ? A ? 1时)到原来 的A倍(横坐标不变)而得到从而 . ,函数y ? A sin(? x ? ? )的值域是

-2-

? ? A, A? , 最大值是A, 最小值是 ? A.

三角函数图象变换 y=sinx
所有的点向左(? >0) 或向右(? <0)平行移动 | ? | 个单位长度 横坐标缩短(?>1)或 伸长(0< ?<1) 1/?倍 纵坐标不变 纵坐标伸长(A>1)或 缩短(0< A<1) A倍 横坐标不变

y=sin(x+?)
y=sin?x y=Asinx

y=sinx y=sinx

y=sinx

y=Asin(?x+ ?)

函数y=Asin(ωx+φ)的图象7
函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的 图象可由 y ? sin x 得到
y ? sin x ? ?0 ? ?? ? ? 0
y

A

y ? A sin(?x ? ? )
A ?1

y ? sin(x ? ? )
0<ω<1横坐标伸长 1 倍 1 ? ω>1横坐标压缩 ? 倍

y ? sin x
?? 0
2?

? ?0

x

y ? sin(?x ? ? )
?A

y ? sin(x ? ? )

0<A<1纵坐标压缩 A倍 A>1 纵坐标伸长A 倍

y ? A sin(?x ? ? )

? ?1 y ? sin(?x ? ? )

总结: y=sinx

y=Asin(?x+?)

方法1:按先平移后变周期的顺序变换
y=sinx
向左?>0 (向右?<0)
平移|?|个单位

y=sin(x+?)

横坐标缩短?>1 (伸长0<?<1)到原来的1/?倍 纵坐标不变

y=sin(?x+?)

横坐标不变

y=Asin(?x+?)

纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍

总结: y=sinx

y=Asin(?x+?)

方法2:按先变周期后平移顺序变换
横坐标缩短?>1 (伸长0<?<1)到原来的1/?倍

y=sinx

纵坐标不变

y=sin?x

向左?>0 (向右?<0) 平移|?|/?个单位

? ? ? y ? sin ?? ( x ? )? ? sin( ?x ? ? ) ? ? ?
y=Asin(?x+?)

横坐标不变

纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍

1 ? 思考 : 怎样由y ? sin x的图象得到 y ? 2 sin( x ? ) 3 6 的图象 ?
函数y ? sin x
(1)向右平移

?
6

y ? sin( x ? )的图象 6 1 ? y ? sin( x ? )的图象 3 6 1 ? y ? 2 sin( x ? )的图象 3 6

?

(2)横坐标伸长到原来的 3倍
纵坐标不变

(3)纵坐标伸长到原来的 2倍
横坐标不变

y
3

2
1

? y=sin(x- )① 6
?
y=sinx

1 ? y ? 2 sin( x ? ) ③ 3 6
1 ? y ? sin( x ? ) ② 3 6
2?
7? 2

o
?
-1

6

? 2

13? 2

x

-2
-3

(1)为了得到函数 y ? 3 sin( x ? )的图象, 只要 5 把C上所有的点? C ? ( A)向右平行移动 ( B )向左平行移动

1.选择题 :已知函数y ? 3sin( x ? )的图象为C. 5 ?

?

? ?
5

个单位长度. 个单位长度.

5 2? (C )向右平行移动 个单位长度. 5 2? ( D )向左平行移动 个单位长度. 5

1.选择题 :已知函数y ? 3sin( x ? )的图象为C. 5
(2)为了得到函数 y ? 3 sin(2 x ? )的图象, 只要 5 把C上所有的点? B ? ( A)横坐标伸长到原来的 2倍, 纵坐标不变 1 ( B)横坐标缩短到原来的 倍, 纵坐标不变 2 (C )纵坐标伸长到原来的 2倍, 横坐标不变 1 ( D)纵坐标缩短到原来的 倍, 横坐标不变 2

?

?

1.选择题 :已知函数y ? 3sin( x ? )的图象为C. 5 ? (3)为了得到函数 y ? 4 sin( x ? )的图象, 只要 5 把C上所有的点? C ? 4 ( A)横坐标伸长到原来的 倍, 纵坐标不变 3 3 ( B )横坐标缩短到原来的 倍, 纵坐标不变 4 4 (C )纵坐标伸长到原来的 倍, 横坐标不变 3 3 ( D)纵坐标缩短到原来的 倍, 横坐标不变 4

?

2.把y ? sin( 2 x ? )的图象向右平移 个单位, 3 6 这时图象所表示的函数 为? D ? A. y ? sin( 2 x ? ) 2 B. y ? sin( 2 x ? ) 6 3 C. y ? sin( 2 x ? ) 2 D. y ? sin 2 x

?

?

? ?

x ? x 3.要得到函数 y ? sin( ? )的图象, 可由y ? sin 2 6 2 的图象? C ? A. 向右平移 B. 向左平移 C. 向右平移 D. 向左平移

?
6

?
6

?
3

?
3