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一元二次方程根的判别式、韦达定理


唐青怀老师专用

一元二次方程根的判别式、 一元二次方程根的判别式、韦达定理
根的判别式: 根的判别式:

1、一元二次方程ax 2 + bx + c = 0(a ? 0)的根的情况可用b 2 通常用“V”来表示,即V= b 2 - 4ac.

4ac来判定,

把b 2 - 4ac叫做一元二次方程ax 2 + bx + c = 0(a  0)的根的判别式, 2、一元二次方程ax 2 + bx + c = 0(a  0)的根的情况与V的关系: ì 1.当Vf 0时,方程有两个不相等的实数根; ? ? ? ? í 2.当V= 0时,方程有两个相等的实数根; ? ? 3.当Vp 0时,方程没有实数根。 ? ? ?
韦达定理: 韦达定理:

1、一元二次方程根与系数的关系: 如果一元二次方程ax 2 + bx + c = 0(a  0, a、b、c是已知数)的两个根为x1,x2, 则x1 +x2 = b c ,x1 gx2 = . a a

ì (1)a ? 0; ? 注:根与系数的关系存在的前提 ? í ? (2)b 2 - 4ac  0. ? ? 2、
2 x1 -x2 = (x1 -x2) 2 = (x1 +x2)-4 x1 gx2

= (-

b 2 c )-4g a a

b 2 - 4ac = a2 = V a

另:x12 -x2 2,x12 +x2 2等。 3、以x1,x2为两根的一元二次方程是x 2 - (x1 +x2 )x + x1 gx2 = 0.即( x-x1 )g( x-x2 )=0

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唐青怀老师专用

精典练习: 精典练习:

1、已知关于x的方程2 x 2 ? k + 1 x + 2k 2 ? 1 = 0,求k 在下列情况下的取值: (4 ) (1)方程有两个不相等的实数根; (2)方程有两个相等的实数根; (3)方程没有实数根。

2、已知关于x的方程x 2 ? k + 2)x + 2k = 0。 ( (1)求证:无论k为何值时,方程总有实数根; (2)若等腰三角形的一边长为1,另两边长恰好是这个方程的两根,求三角形周长。

3、设x1 ,x2是关于x的一元二次方程x 2 ? 2ax + a 2 ? 4a ? 6 = 0的两个实数根, 当a为何值时,x12 + x2 2有最小值?最小值是多少?

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4、已知关于x的一元二次方程x 2 + ( 2m ? 1) x + m2 = 0有两个实数根x1 ,x2 . (1)求实数m的取值范围; (2)当x12 ? x2 2 =0时,求m的值。

5、已知关于x的方程x 2 + ( 2 ? k ) x + k ? 2 = 0有两个实数根x1 ,x2 .是否存在常数k,使 若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由。

x1 x2 3 + = 成立? x2 x1 2

m2 = 0. 4 (1)求证:无论m取什么实数,这个方程总有两个不同的实数根; 6、已知关于x的方程x 2 ? ( m ? 2 ) x ? (2)若这个方程的两个实数根x1 ,x2满足 x2 = x1 +2,求m的值及相应的x1 ,x2 .

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