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2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(辽宁.理)含详解.doc


2009 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷) 数学(理工农医类)
一- 选择题(每小题 5 分,共 60 分) (1)已知集合 M={x|-3<x≤5},N={x|-5<x<5},则 M∩N= (A) {x|-5<x<5} (B) {x|-3<x<5} (C) {x|-5<x≤5} (D) {x|-3<x≤5} 【解析】直接利用交集性质求解,或者画出数轴求解. 【答案】B (2)已知复数 z ? 1 ? 2 i ,那么
5 5 2 5 5

1 z

=
5 5 2 5 5

(A)

?

i

(B)
1 ? 2i

?

i

(C)

1 5

?

2 5

i

(D)

1 5

?

2 5

i

【解析】

1 z

?

1 1 ? 2i

?

(1 ? 2 i )(1 ? 2 i )

?

1 ? 2i 1? 2
2



1 5

?

2 5

i

【答案】D
0 (3)平面向量 a 与 b 的夹角为 6 0 , a ? (2, 0) , b ? 1 则 a ? 2 b ?

(A) 3

(B) 2 3

(C) 4

(D)12

【解析】由已知|a|=2,|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12 ∴ a ? 2b ? 2 3 【答案】B (4) 已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方程为 (A) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

(B) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

(C)

( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

(D) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

【解析】圆心在 x+y=0 上,排除 C、D,再结合图象,或者验证 A、B 中圆心到两直线的距离等于 半径 2即可. 【答案】B (5)从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都 有,则不同的组队方案共有 (A)70 种 (B) 80 种 (C) 100 种 (D)140 种 1 2 【解析】直接法:一男两女,有 C5 C4 =5×6=30 种,两男一女,有 C52C41=10×4=40 种,共计 70 种 间接法:任意选取 C93=84 种,其中都是男医生有 C53=10 种,都是女医生有 C41=4 种, 于是符合条件的有 84-10-4=70 种. 【答案】A

(6)设等比数列{ a n }的前 n 项和为 S n
7 3
S6 S3
3 6

,若
8 3

S6 S3

=3 ,则

S9 S
6

=

w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

(A) 2

(B)

(C)
3

(D)3

【解析】设公比为 q ,则

?

(1 ? q ) S 3 S3

=1+q3=3 ?

q3=2

于是 【答案】B (7)曲线 y=

S9 S
6

?

1? q ? q 1? q
3

?

1? 2 ? 4 1? 2

?

7 3

x x?2

在点(1,-1)处的切线方程为 (B) y=-3x+2
? ?2 ( x ? 2)
2

(A)y=x-2 【解析】y’= 【答案】D
x?2? x ( x ? 2)
2

(C)y=2x-3

(D)y=-2x+1

,当 x=1 时切线斜率为 k=-2

(8)已知函数 f ( x ) =Acos( ? x ? ? )的图象如图所示, f ( (A) ?
2 3

?
2

)? ?

2 3

,则 f (0) =

(B)

2 3

(C)-

1 2

(D)

1
w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

2

2π 【解析】由图象可得最小正周期为 3 2π 2π π 7π 于是 f(0)=f( 3 ),注意到 3 与2关于12对称 2π π 2 所以 f( 3 )=-f(2)=
3 1

【答案】B (9)已知偶函数 f ( x ) 在区间 ? 0, ? ? ) 单调增加,则满足 f (2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范围是 (A) (
1 3 3 2 3



2 3



(B) [

1 3 1 3



2 3



(C)(

1 2



2 3



(D) [

1 2





w.w.w.k.s.5. u.c. o.m

【解析】由于 f(x)是偶函数,故 f(x)=f(|x|) ∴得 f(|2x-1|)<f( 得|2x-1|< 【答案】A 10)某店一个月的收入和支出总共记录了 N 个数据 a 1 , a 2 ,。 a N , 。。 其中收入记为 正数,支出记为负数。该店用下边的程序框图计算月总收入 S 和月净
1 3

),再根据 f(x)的单调性
1 3

解得

<x<

2 3

盈利 V,那么在图中空白的判断框和处理框中,应分别填入下列四个选项中的 (A)A>0,V=S-T (B) A<0,V=S-T (C) A>0, V=S+T
w.w.w.k.s.5.u.c. o. m

(D)A<0, V=S+T 【解析】月总收入为 S,因此 A>0 时归入 S,判断框内填 A>0 支出 T 为负数,因此月盈利 V=S+T 【答案】C (11)正六棱锥 P-ABCDEF 中,G 为 PB 的中点,则三棱锥 D-GAC 与三棱锥 P-GAC 体积之 比为 (A)1:1 (B) 1:2 (C) 2:1 (D) 3:2 【解析】由于 G 是 PB 的中点,故 P-GAC 的体积等于 B-GAC 的体积 在底面正六边形 ABCDER 中 E D BH=ABtan30°=
3 3

AB

F H A B

C

而 BD= 3 AB 故 DH=2BH 于是 VD-GAC=2VB-GAC=2VP-GAC 【答案】C
x

(12)若 x1 满足 2x+ 2 =5, x 2 满足 2x+2 lo g 2 (x-1)=5, x1 + x 2 = (A)
5 2

(B)3
?2
x1

(C)
?5

7 2

(D)4 ① ②

【解析】由题意 2 x

1

2 x 2 ? 2 log 2 ( x 2 ? 1) ? 5

所以 2

x1

? 5 ? 2 x1 , x1 ? lo g 2 (5 ? 2 x1 )
1

即2x

? 2 log 2 (5 ? 2 x1 )

令 2x1=7-2t,代入上式得 7-2t=2log2(2t-2)=2+2log2(t-1) ∴5-2t=2log2(t-1)与②式比较得 t=x2 于是 2x1=7-2x2 【答案】C (13)某企业有 3 个分厂生产同一种电子产品,第一、二、三分厂的产量之比为 1:2:1,用 分层抽样方法(每个分厂的产品为一层)从 3 个分厂生产的电子产品中共取 100 件作 使用寿命的测试,由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命 的平均值分别为 980h,1020h,1032h,则抽取的 100 件产品的使用寿命的平均值为 h. 【解析】 x
? 980 ? 1+1020 ? 2+1032 ? 1 4

=1013

【答案】1013 (14)等差数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,且 6 S 5 ? 5 S 3 ? 5, 则 a 4 ?

【解析】∵Sn=na1+ n(n-1)d
2

1

∴S5=5a1+10d,S3=3a1+3d ∴6S5-5S3=30a1+60d-(15a1+15d)=15a1+45d=15(a1+3d)=15a4 【答案】
1 3

(15)设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为 m) 。

w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

则该几何体的体积为

m

3
w.w.w.k.s.5. u.c. o.m

【解析】这是一个三棱锥,高为 2,底面三角形一边为 4,这边上的高为 3, 体积等于 ×2×4×3=4
6 1

【答案】4 (16) 以知 F 是双曲线
x
2

?

y

2

? 1 的左焦点, (1, 4), P 是双曲线右支上的动点, P F ? P A A 则

4

12

的最小值为 。 【解析】注意到 P 点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为 F’(4,0), 于是由双曲线性质|PF|-|PF’|=2a=4 而|PA|+|PF’|≥|AF’|=5 两式相加得|PF|+|PA|≥9,当且仅当 A、P、F’三点共线时等号成立. 【答案】9 (17) (本小题满分 12 分) 如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船 于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 7 5 , 3 0 ,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均 为 6 0 ,AC=0.1km。试探究图中 B,D 间距离与另外哪两点间距离相等,然后求 B,D 的距离 (计算结果精确到 0.01km, 2 ? 1.414, 6 ? 2.449) (17)解: 在△ABC 中,∠DAC=30°, ∠ADC=60°-∠DAC=30, 所以 CD=AC=0.1 又∠BCD=180°-60°-60°=60°,
0 0 0

w.w.w.k.s.5.u.c. o. m

故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA, 在△ABC 中,
ACsin60 sin 15
?

……5 分

AB sin ? BCA

?

AC sin ? ABC

,

?

即 AB=

?

3 2 ? 20

6

,

因此,BD=

3 2 ? 20

6

? 0 . 33 km 。

故 B,D 的距离约为 0.33km。

……12 分

(18) (本小题满分 12 分) 如图,已知两个正方行 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内,M,N 分别为 AB,DF 的中点 。 (I)若平面 ABCD ⊥平面 DCEF,求直线 MN 与平面 DCEF 所成角的正值弦; (II)用反证法证明:直线 ME 与 BN 是两条异面直线。
w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

(18) (I)解法一: 取 CD 的中点 G,连接 MG,NG。 设正方形 ABCD,DCEF 的边长为 2, 则 MG⊥CD,MG=2,NG=
2

.

因为平面 ABCD⊥平面 DCED, 所以 MG⊥平面 DCEF, 可得∠MNG 是 MN 与平面 DCEF 所成的角。因为 MN= DCEF 所成角的正弦值 解法二: 设正方形 ABCD,DCEF 的边长为 2,以 D 为坐标原点,分别以射线 DC,DF,DA 为 x,y,z 轴正 半轴建立空间直角坐标系如图. 则 M(1,0,2),N(0,1,0),可得 MN =(-1,1,2).
6

,所以 sin∠MNG= ……6 分

6 3

为 MN 与平面

又 DA =(0,0,2)为平面 DCEF 的法向量, 可得 cos( MN , DA )=
MN ? DA || MN || DA | ? ? 6 3

·

所以 MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值为
? 6 3

cos

MN , DA

·

……6 分 ……8 分

(Ⅱ)假设直线 ME 与 BN 共面, 则 AB ? 平面 MBEN,且平面 MBEN 与平面 DCEF 交于 EN 由已知,两正方形不共面,故 AB ? 平面 DCEF。 又 AB//CD,所以 AB//平面 DCEF。面 EN 为平面 MBEN 与平面 DCEF 的交线, 所以 AB//EN。 又 AB//CD//EF, 所以 EN//EF,这与 EN∩EF=E 矛盾,故假设不成立。 所以 ME 与 BN 不共面,它们是异面直线.

……12 分

(19) (本小题满分 12 分) 1 某人向一目射击 4 次,每次击中目标的概率为。该目标分为 3 个不同的部分,第一、二、 3 三部分面积之比为 1:3:6。击中目标时,击中任何一部分的概率与其面积成正比。 (Ⅰ)设 X 表示目标被击中的次数,求 X 的分布列; (Ⅱ)若目标被击中 2 次,A 表示事件“第一部分至少被击中 1 次或第二部分被击中 2 次” , 求 P(A)
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

(19)解: (Ⅰ)依题意 X 的分列为

………………6 分

(Ⅱ)设 A1 表示事件“第一次击中目标时,击中第 i 部分” ,i=1,2. B1 表示事件“第二次击中目标时,击中第 i 部分” ,i=1,2. 依题意知 P(A1)=P(B1)=0.1,P(A2)=P(B2)=0.3,
A ? A1 B1 ? A1 B1 ? A1 B1 ? A 2 B 2 ,

所求的概率为
P ( A ) ? P ( A1 B1 ) ? P ( A1 B1 ) ? P A1 B1) P ( A 2 B 2 ) ( ? P ( A1 B1 ) ? P ( A1 ) P ( B1 ) ? P A1 ) P ( B1 ) ? P ( A 2 ) P ( B 2 ) (
0.1 ? 0 .? 9 0?. 9 ? . 1 ? 0 . 1? 0 . ? 0 1 0 .?3 0.3 0 . 2 ………12 分 8

(20) (本小题满分 12 分) 已知,椭圆 C 过点 A (1, ) ,两个焦点为(-1,0)(1,0) , 。
2 3

(1) 求椭圆 C 的方程; (2) E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值。
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(20)解: (Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程为
x
2

1 1? b
2

?

9 4b
2

? 1 ,解得 b

2

? 3 ,b

2

? ?

3 4

(舍去)

所以椭圆方程为

?

y

2

? 1。

4

3
3 2
2

……………4 分

(Ⅱ)设直线 AE 方程为: y ? k ( x ? 1) ?
(3 ? 4 k ) x ? 4 k (3 ? 2 k ) x ? 4 (
2 2

,代入

x

2

?

y

2

? 1得

4

3

3 2 3 2

? k ) ? 12 ? 0

设 E ( x E , y E ) , F ( x F , y F ) ,因为点 A (1, ) 在椭圆上,所以
4( xF ? 3 ? k ) ? 12
2

2 2 3 ? 4k

y E ? kx E ?

3 2

?k

………8 分

又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以—K 代 K,可得
4( xF ? 3 ? k ) ? 12 2 2 3 ? 4k
2

y E ? ? kx E ?

3 2

?k
? k ( xF ? xE ) ? 2k xF ? xE 1 2

所以直线 EF 的斜率 K E F ?

yF ? yE xF ? xE

?

?

即直线 EF 的斜率为定值,其值为

1 2



……12 分

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=
1 2

x -ax+(a-1) ln x , a ? 1 。
2

(1)讨论函数 f ( x ) 的单调性;

w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

(2)证明:若 a ? 5 ,则对任意 x 1 ,x 2 ? (0, ? ? ) ,x 1 ? x 2 ,有 (21)解:(1) f ( x ) 的定义域为 (0, ? ? ) 。
a ?1 x x ? ax ? a ? 1
2

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2

? ?1。

f (x) ? x ? a ?
'

?

?

( x ? 1)( x ? 1 ? a ) x

x

2分

(i)若 a ? 1 ? 1 即 a ? 2 ,则
f (x) ?
'

( x ? 1) x

2

故 f ( x ) 在 (0, ? ? ) 单调增加。 (ii)若 a ? 1 ? 1 ,而 a ? 1 ,故 1 ? a ? 2 ,则当 x ? ( a ? 1,1) 时, f ( x ) ? 0 ;
'

当 x ? (0, a ? 1) 及 x ? (1, ? ? ) 时, f ( x ) ? 0
'

故 f ( x ) 在 ( a ? 1,1) 单调减少,在 (0, a ? 1), (1, ? ? ) 单调增加。 (iii)若 a ? 1 ? 1 ,即 a ? 2 ,同理可得 f ( x ) 在 (1, a ? 1) 单调减少,在 (0,1), ( a ? 1, ? ? ) 单调增加. (II)考虑函数 g ( x ) ? f ( x ) ? x
? 1 2 x ? a x ? ( a ? 1) ln x ? x
2

则 g ? ( x ) ? x ? ( a ? 1) ?

a ?1 x

? 2

xg

a ?1 x

? ( a ? 1) ? 1 ? ( a ? 1 ? 1)

2

由 于 1<a<5, 故 g ?( x ) ? 0 , 即 g(x) 在 (4, + ∞ ) 单 调 增 加 , 从 而 当 x1 ? x 2 ? 0 时 有
g ( x1 ) ? g ( x 2 ) ? 0 , f (x 1) ?f (x )2 x ? 即 x ? ?0

1

2

, 故

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2

? ? 1 , 0 ? x1 ? x 2 时, 当



f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2

?

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1

? ? 1 ·····12 分 ····

请考生在第(22)(23)(24)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。 、 、 做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明讲
w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

已知 ? ABC

A 中,AB=AC, D 是 ? ABC 外接圆劣弧 ? C 上的点(不与点 A,C 重合) ,延

长 BD 至 E。 (1) 求证:AD 的延长线平分 ? CDE; (2) 若 ? BAC=30, ? ABC 中 BC 边上的高为 2+ 3 ,求
? ABC 外接圆的面积。
w.w.w.k.s.5.u. c.o.m

(22)解: (Ⅰ)如图,设 F 为 AD 延长线上一点 ∵A,B,C,D 四点共圆, ∴∠CDF=∠ABC 又 AB=AC ∴∠ABC=∠ACB, 且∠ADB=∠ACB, ∴∠ADB=∠CDF, 对顶角∠EDF=∠ADB, 故∠EDF=∠CDF, 即 AD 的延长线平分∠CDE. (Ⅱ)设 O 为外接圆圆心,连接 AO 交 BC 于 H,则 AH⊥BC. 连接 OC,A 由题意∠OAC=∠OCA=15 , ∠ACB=75 , ∴∠OCH=60 . 设圆半径为 r,则 r+
3 2
0 0 0

r=2+

3

,a 得 r=2,外接圆的面积为 4 ? 。

(23) (本小题满分 10 分) 选修 4-4 : 坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中, O 为极点, 以 ? x 正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? cos( ? ? )=1,M,N 分别为 C 与 x
3

轴,y 轴的交点。 (1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程。 (23)解: (Ⅰ)由 ? cos( ?
?(
1 2

w.w.w.k.s.5 .u.c. o.m

?

?
3

) ? 1得
3

cos ? ?

sin ? ) ? 1

2

从而 C 的直角坐标方程为

1 2 即

x?

3 2

y ?1

x?

3y ? 2

? ? 0时, ? ? 2,所以 M ( 2 , 0 ) ? ? ?
2 时, ? ? 2 3 3 ,所以 N ( 2 3 ? , ) 3 2

(Ⅱ)M 点的直角坐标为(2,0) N 点的直角坐标为 ( 0 ,
2 3 3 )

所以 P 点的直角坐标为

(1 .

3 3

), 则 P 点的极坐标为

(

2 3 ? , ), 3 6

所以直线 OP 的极坐标方程为 ?

? ? , ? ? ( ?? , ?? )

?

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x ) ? | x ? 1 | ? | x ? a | 。 (1) 若 a ? ? 1, 解不等式 f ( x ) ? 3 ; (2)如果 ? x ? R , f ( x ) ? 2 ,求 a 的取值范围。 (24)解: (Ⅰ)当 a=-1 时,f(x)=︱x-1︳+︱x+1︳. 由 f(x)≥3 得 ︱x-1︳+︱x+1|≥3 (ⅰ)x≤-1 时,不等式化为 1-x-1-x≥3 即-2x≥3

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