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椭圆中焦点三角形的性质及应用


椭圆中焦点三角形的性质及应用 椭圆中焦点三角形的性质及应用
定义:椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。与焦点三角形的有 关问题有意地考查了定义、三角形中的的正(余)弦定理、内角和定理、面积公式等. 一.焦点三角形的形状判定及周长、面积计算 例 1 椭圆

x2 y2 + = 1 上一点 P 到焦点 F1 , F2 的距离之差为 2, 试判断 ?PF1 F2 的形状. 16 12

解:由椭圆定义: | PF1 + | PF2 |= 8, | PF1 | ? | PF2 |= 2. ∴| PF1 |= 5, | PF2 |= 3 . 又∵| F1 F2 |= 4 ,故满足: | PF2 | + | F1 F2 | =| PF1 | , 故 ?PF1 F2 为直角三角形.
2 2 2

说明:考查定义、利用已知、发挥联想,从而解题成功.

性质一: 性质一: 已知椭圆方程为

x2 y2 + = 1(a > b > 0), 两焦点分别为 F1 , F2 , 设焦点三角形 a 2 b2

PF1 F2 中 ∠F1PF2 = θ , 则 S ?F1PF2 = b 2 tan
∵ (2c) 2 = F1 F2
2 2 2

θ
2



= PF1 + PF2 ? 2 PF1 PF2 cos θ

= ( PF1 + PF2 ) 2 ? 2 PF1 PF2 (1 + cos θ )
∴ PF1 PF2 = ( PF1 + PF2 ) 2 ? 4c 2 2(1 + cos θ ) = 4 a 2 ? 4c 2 2b 2 = 2(1 + cos θ ) 1 + cos θ

∴ S ?F1PF2 =

b2 1 θ PF1 PF2 sin θ = = b 2 tan 2 1 + cos θ 2

x2 y2 性质二: 性质二:已知椭圆方程为 2 + 2 = 1(a > b > 0), 左右两焦点分别为 F1 , F2 , 设焦点三角 a b
形 PF1 F2 ,若 ∠F1 PF2 最大,则点 P 为椭圆短轴的端点。 证明:设 P ( x o , y o ) ,由焦半径公式可知: PF1 = a + exo , PF1 = a ? exo 在 ?F1 PF2 中, cos θ =

PF1 + PF1 ? F1 F2
2 2

2

2 PF1 PF2

=

( PF1 + PF2 ) 2 ? 2 PF1 PF2 ? 4c 2 2 PF1 PF2

=

4 a 2 ? 4c 2 4b 2 2b 2 ?1 = ?1= 2 ?1 2 2 PF1 PF2 2(a + exo )(a ? exo ) a ? e 2 xo
2 ∴ xo ≤ a 2

∵ ?a ≤ x0 ≤ a

1

性质三:过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短,通径为 2 性质四:已知椭圆方程为

b2 a

x2 y2 + = 1(a > b > 0), 两焦点分别为 F1 , F2 , 设焦点三角形 a 2 b2

PF1 F2 中 ∠F1 PF2 = θ , 则 cos θ ≥ 1 ? 2e 2 .
证明:设 PF1 = r1 , PF2 = r2 , 则在 ?F1 PF2 中,由余弦定理得: 证明

cos θ =

r12 + r22 ? F1 F2 (r + r ) 2 ? 2r1r2 ? 4c 2 2a 2 ? 2c 2 = 1 2 = ?1 2r1 r2 2r1 r2 2r1 r2
2



2 a 2 ? 2c 2 2 a 2 ? 2c 2 ?1 = ? 1 = 1 ? 2e 2 . 2 r1 + r2 2 2a 2( ) 2

命题得证。

(2000 年高考题)已知椭圆

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的两焦点分别为 F1 , F2 , 若椭圆上存在 a2 b2

一点 P, 使得 ∠F1 PF2 = 120 0 , 求椭圆的离心率 e 的取值范围。 简解:由椭圆焦点三角形性质可知 cos120 ≥ 1 ? 2e . 即 ? 简解
0 2

1 ≥ 1 ? 2e 2 2

,

于是得到 e 的取值范围是 ?

? 3 ? ,1?. 2 ? ? ?

性质五 性质五: 已知椭圆方程为

x2 y2 + = 1(a > b > 0), 两焦点分别为 F1 , F2 , 设焦点三角形 a 2 b2

PF1 F2 , ∠PF1 F2 = α , ∠PF2 F1 = β , 则椭圆的离心率 e =
∠PF1 F2 = α , ∠PF2 F1 = β ,
由正弦定理得:

sin(α + β ) 。 sin α + sin β

F 1F2

sin(180 o ? α ? β )
=

=

PF2

sin α

=

PF 1

sin β

由等比定理得:

F 1F2

PF 1 + PF2

sin(α + β )

sin α + sin β



F 1F2

sin(α + β )

=

PF 1 + PF2 2c 2a = , sin(α + β ) sin α + sin β sin α + sin β

2

∴e =

c sin(α + β ) = 。 a sin α + sin β

已知椭圆的焦点是 F1(-1,0)、F2(1,0),P 为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|和| PF2|的等差中项. (1)求椭圆的方程; (2)若点 P 在第三象限,且∠PF1F2=120°,求 tanF1PF2. 解:(1)由题设 2|F1F2|=|PF1|+|PF2| ∴2a=4,又 2c=2,∴b= 3

∴椭圆的方程为

x2 y2 + =1. 4 3

(2)设∠F1PF2=θ,则∠PF2F1=60°-θ

∵ 椭圆的离心率 e =

1 2 sin θ 3 + sin(60 o ? θ ) 2




1 sin(180 o ? θ ) = = 2 sin 120 o + sin(60 o ? θ )

整理得:5sinθ= 3 (1+cosθ)

3 2? θ 3 sin θ 3 5 =5 3. ∴ = 故 tan = ,tanF1PF2=tanθ= 3 1 + cos θ 5 11 2 5 1? 25

3


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