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2013高考数学 解题方法攻略 数列 理

a 数列问题的题型与方法 一.复习目标: 1. 能灵活地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前 n 项和公式解题; 2.能熟练地求一些特殊数列的通项和前 n 项的和; 3.使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律,深化数学思想方法在解题实践 中的指导作用,灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题; 4.通过解决探索性问题,进一步培养学生阅读理解和创新能力,综合运用数学思想方法 分析问题与解决问题的能力. 5.在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识,沟通各 类知识的联系,形成更完整的知识网络,提高分析问题和解决问题的能力. 6.培养学生善于分析题意,富于联想,以适应新的背景,新的设问方式,提高学生用函 数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维 方法. 二.考试要求: 1.理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种方法, 并能根据递推公式写出数列的前几项。 2.理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式,并能运用公式解答 简单的问题。 3.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式,并能运用公式解决 简单的问题。 4.数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础,所以在高考中占有重要的地 位。高考对本章的考查比较全面,等差数列,等比数列的考查每年都不会遗漏。解答题多为 中等以上难度的试题,突出考查考生的思维能力,解决问题的能力,试题大多有较好的区分 度。有关数列的试题经常是综合题,经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识 综合起来,试题也常把等差数列、等比数列,求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题 是高考的热点,常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想,在主观题中着重 考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想,以及配方法、换元法、待定系数法等 基本数学方法。应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化,常需构造数列模型,将现实 问题转化为数学问题来解决。 三.教学过程: (Ⅰ)基础知识详析 1.可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质. 2.判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法: (1)定义法:对于 n≥2 的任意自然数,验证 an ? an ?1 (an / an ?1 ) 为同一常数。 (2)通项公式法: ①若 ②若 (3)中项公式法:验证 = +(n-1)d= +(n-k)d,则 ?an ? 为等差数列; ,则 ?an ? 为等比数列。 都成立。 3.在等差数列 ?an ? 中,有关 Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解: (1)当 a1 ? 0 ,d<0 时,满足 的项数 m 使得 S m 取最大值. (2)当 a1 ? 0 ,d>0 时,满足 的项数 m 使得 S m 取最小值。 在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 -1- 4.数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。 5.注意事项: ⑴ 证 明 数 列 ?a n ? 是 等 差 或 等 比 数 列 常 用 定 义 , 即 通 过 证 明 a n ?1 ? a n ? a n ? a n ?1 或 a n ?1 a ? n 而得。 an a n ?1 ⑵在解决等差数列或等比数列的相关问题时, “基本量法”是常用的方法,但有时灵活地 运用性质,可使运算简便。 ⑶对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。 ⑷注意一些特殊数列的求和方法。 ⑸注意 s n 与 a n 之间关系的转化。如: an = s1 , n ?1 s n ? s n ?1 , n ? 2 , a n = a1 ? ? (a k ?2 n k ? a k ?1 ) . ⑹数列极限的综合题形式多样,解题思路灵活,但万变不离其宗,就是离不开数列极限 的概念和性质,离不开数学思想方法,只要能把握这两方面,就会迅速打通解题思路. ⑺解综合题的成败在于审清题目,弄懂来龙去脉,透过给定信息的表象,抓住问题的本 质,揭示问题的内在联系和隐含条件,明确解题方向,形成解题策略. ⑻通过解题后的反思,找准自己的问题,总结成功的经验,吸取失败的教训,增强解综 合题的信心和勇气,提高分析问题和解决问题的能力. (Ⅱ)2004 年高考数学数列综合题选 1. (2004 年高考数学北京卷, 函数 f ( x ) 是定义在 18) [0, 上的增函数, 1] 满足 f (x) ?2 f ( ) 且 f (1 ?1,在每个区间 ( ) 数 k 的直线的一部分。 x 2 1 1 , ] ( i ? 1,2??)上, y ? f (x 的图象都是斜率为同一常 ) 2 i 2 i ?1 1 1 4 2 1 1 (II) 设直线 x ? i ,x ? i ? 1 , 轴及 y ? f (x 的图象围成的矩形的面积为 a i( i ? 1, x ) 2 2 ( l a a? k i 1 2 ? ,求 S ( k ) 的表达式,并写出其定义域和最小值。 ) m ) 2??) ,记 S ? ( ?? a n (I)求 f ( 0) 及 f ( ) , f ( ) 的值,并归纳出 f ( i ) i ? , ,? )的表达式; ( 1 2 ? n? ? 1 2 分析:本小题主要考查函数、数列等基本知识,考查分析问题和解决问题的能力. 解: (I)由 f (0) ? 2 f (0) ,得 f (0 ? 0 ) 由 f (1) ? 2 f ( ) 及 f (1 ?1,得 f ( ) ? ) 归纳得 f( i )? i ( ?, , ? . i 1 ?) 2 1 2 1 2 1 1 1 ? 1 1 f ( ) ? . 同理, f ( )? f ( )? . 1 4 2 2 4 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 (II)当 i ?

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