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吉林省自主招生相关的数学试题


数学试题
一、选择题

?x ? 7 ? 4x ? 2 的解集是 x ? 3 ,则 m 的取值范围是( ) ?x ? m A、 m ? 3 B、 m ? 3 C、 m ? 3 D、 m ? 3 0 0 2、在 ?ABC 中, ?ACB ? 90 , ?ABC ? 15 , BC ? 1 ,则 AC ? ( ) A、 2 ? 3 B、 2 ? 3 C、 0 . 3 D、 3 ? 2 3、如图, AB 为⊙ O 的一固定直径,自上半圆上一点 C 作弦 CD ? AB , ?OCD 的平分 线交⊙ O 于点 P ,当点 C 在上半圆(不包括 A 、 B 两点)上移动时,点 P ( ) A、到 CD 的距离不变 B、位置不变 C、等分 D、随 C 点的移动而移动 4、 已知 y ? x ? 1 ? 5 ? x( x ,y 均为实数) , 则 y 的最大值与最小值的差为( )
1、若不等式组 ? A、 2 2 ? 1 B、 4 ? 2 2 C、 3 ? 2 2 D、 2 2 ? 2

5、已知 O 为圆锥的顶点,M 为圆锥底面圆上一点,点 P 在 OM 上。一只蜗牛从 P 点出发, 绕圆锥侧面爬行,回到 P 点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示,若沿 OM 将圆锥侧面剪 开并展平,所得侧面展开图是( )

6、已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍,当这个圆按箭头方向从某一位置 沿正三角形的三边做无滑动的旋转,直至回到原出发位置时,则这个圆共转了( ) A、 6 圈 B、 6 . 5 圈 C、 7 圈 D、 8 圈
2 7、二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象如图所示(图像在上面) ,现有以下结论:① abc ? 0 ;

② b ? a ? c ;③ 4a ? 2b ? c ? 0 ;④ 2c ? 3b ;⑤ a ? b ? m(am ? b) , ( m ? 1) 其中正确 的结论有( ) A、 4 个 B、 3 个 C、 2 个 D、 1个 PE ? AB , B C 中, 8、 如图 (见第二页) , 正 ?A 过 P 作 PD ? BC , P 为正三角形内任意一点,

PF ? AC 连结 AP 、 BP 、 CP ,如果 S ?APF ? S ?BPE ? S ?PCD ?
切圆半径为( A、 1 二、填空题 ) B、 3 C、 2 D、

3 3 ,那么 ?ABC 的内 2

3 2

1 1 1 与 3 ? a ? 是相反数,计算 a ? = . a a 0 a 1 1 ? 1 ? ? ?? ? , 10、 若 ?x ? 表示不超过 x 的最大整数, A ? 则 ? A? = 1? 4 3 1? 4 3 ?1? 4 3 ?
9、 3 ? a ? 1



11、如图, M、N 分别为 ?ABC 两边 AC 、BC 的中点,

AN 与 BM 交于点 O ,则

?BON的面积 = ?ABC的面积
A O M

. C D A O P B

C N 第 12 题 12、 如图, 已知圆 O 的面积为 3 ? ,AB 为直径, 弧 AC 的度数为 80 ? , 弧 BD 图 的度数为 20 ? , 点 P 为直径 AB 上任一点,则 PC ? PD 的最小值为 . 13、从 1,2,3,5,7,8 中任取两数相加,在不同的和数中,是 2 的倍数的个数为 a ,是 3 9 的中位数是 的倍数的个数为 b ,则样本 6、a、b、 . 14、由直线 y ? kx ? 2k ? 1 和直线 y ? (k ? 1) x ? 2k ? 1 (k 是正整数)与 x 轴及 y 轴所围 成的图形面积为 S ,则 S 的最小值是 . 15、如图矩形纸片 ABCD,AB=5cm,BC=10cm,CD 上有一点 E,ED=2cm,AD 上有 一点 P,PD=3cm,过 P 作 PF⊥ AD 交 BC 于 F,将纸片折叠,使 P 点与 E 点重合,折 痕与 PF 交于 Q 点,则 PQ 的长是____________cm. 16.将半径为 4cm 的半圆围成一个圆锥,在圆锥内接一个圆柱(如图示) ,当圆柱的侧面的 面积最大时,圆柱的底面半径是___________cm.

B

第 15 题图
三、解答题

第 16 题图

17、 已知抛物线 y ? ? x ? bx ? c(c ? 0) 过点 C (?1,0) 一个交点. ⑴ 求抛物线的解析式;
2

,且与直线 y ? 7 ? 2 x 只有

⑵ 若直线 y ? ? x ? 3 与抛物线相交于两点 A、B ,则在抛物线的对称轴上是否存在点

Q ,使 ?ABQ 是等腰三角形? 若存在,求出 Q 点坐标;若不存在,说明理由.

2

18、有一河堤坝 BCDF 为梯形,斜坡 BC 坡度 iBC =

3 ,坝高为 5 m,坝顶 CD = 6 m,现 3

有一工程车需从距 B 点 50 m 的 A 处前方取土,然后经过 B—C—D 放土,为了安全起见,工 程车轮只能停在离 A、D 处 1 m 的地方即 M、N 处工作,已知车轮半经为 1 m,求车轮从取 土处到放土处圆心从 M 到 N 所经过的路径长。 (tan150=2- 3 ) C
M N

D

A

B b

F

19、如图,过正方形 ABCD 的顶点 C 在形外引一条直线分别交 AB 、AD 延长线于点 M、N , DM 与 BN 交于点 H , DM 与 BC 交于点 E , BN 与 DC 交于点 F . ⑴ 猜想: CE 与 DF 的大小关系? 并证明你的猜想.⑵ 猜想: H 是 ?AEF 的什么 心? 并证明你的猜想. N

D

F

C

H E

A

B

M

20、如图,已知菱形 ABCD 边长为 6 3 , ?ABC ? 120 ? ,点 P 在线段 BC 延长线上, 半径为

r1 的圆 O1 与 DC 、CP、DP 分别相切于点 H、F、N ,半径为 r2 的圆 O2 与 PD 延长线、 CB 延长线和 BD 分别相切于点 M、E、G .
(1)求菱形的面积; (2)求证: EF ? MN ; (3)求 r1 ? r2 的值. M A O2 G E B H O1 CF D N P

3


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