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解一元二次方程的-换元法例题讲解


解一元二次方程的-换元法 一、知识回顾
1、定义:只含有一个未知数,且未知数最高次数为 2 的方程叫做一元二次方。一元二 次方程的标准式:

a 是二次项系数, b 是一次项系数,c 是常数项 2、一元二次方程根的判别式(二次项系数不为 0) : “△”读作“德尔塔”,在一元二次方程中△=b -4ac △=b -4ac>0 <====> 方程有两个不相等的实数根,即:x1,x2 △=b -4ac=0 <====> 方程有两个相等的实数根,即:x1=x2 △=b -4ac<0 <====> 方程没有实数根。
2 2 2 2

二、典型例题
例 1: (2004·金华)方程(x2-3)2-5(3-x2)+2=0,如果设 x2-3=y,那么原方 程可变形为( ) A.y -5y+2=0 B.y +5y-2=0 C.y -5y-2=0 2 2 分析:此题主要利用换元法变形,注意变形时 3-x 与 x -3 互为相反数,
2 2 2

D.y2+5y+2=0 符号要变化.
2

解答:∵x -3=y ∴3-x =-y 用 y 表示 x 后代入(x -3) -5(3-x )+2=0 得: y +5y+2=0. 故选 D.
2 2 2 2 2

________________________________________________________________________ _________________ 例 2:已知(x2+y2+1)(x2+y2+3)=8,则 x2+y2 的值为( A.-5 或 1 D.5 或-1 分析:解题时把 x +y 当成一个整体来考虑,再运用因式分解法就比较简单 解答:设 x +y =t,t≥0,则原方程变形得 (t+1)(t+3)=8,化简得: (t+5)(t-1)=0, 解得:t1=-5,t2=1 又 t≥0 ∴t=1 ∴x +y 的值为只能是 1. 故选 B. ________________________________________________________________________ _________________
2 2 2 2 2 2

) C.5

B.1

三、解题经验
换元法在解特殊一元二次方程的时候用的特别多,也可以称为整体思想法,在数学中, 整体思想是重要思想之一,因此我们要掌握。上面例题中,例 3 我们要注意,不要误认为有 两个值,一定要化到最简,然后判断是否有跟。
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