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最新人教A版必修四高中数学2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角公开课课件_图文

§2.4 平面向量的数量积 内容 索引 01 明目标 知重点 填要点 记疑点 02 03 探要点 究所然 当堂测 查疑缺 04 明目标、知重点 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程,能运用数量积 的坐标表示进行向量数量积的运算. 2.能根据向量的坐标计算向量的模,并推导平面内两点间的 距离公式. 3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直. 填要点·记疑点 1.平面向量数量积的坐标表示 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a· b=x x +y y . 1 2 1 2 即两个向量的数量积等于 . 相应坐标乘积的和 2.两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则a ⊥ b ? x1x2+y1y2=0 . 3.平面向量的模 (1)向量模公式:设a=(x1,y1),则|a|= 2 x2 + y 1 1 . (2)两点间距离公式:若A(x1,y1),B(x2,y2), 则 = . 2 2 → ? x 4.向量的夹角公式 2-x1? +?y2-y1? |AB| 设两非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则cos θ= = . a· b |a||b| x1x2+y1y2 2 2 x1+y1 2 2 x2+y2 探要点·究所然 情境导学 在平面直角坐标系中,平面向量可以用有序实数对来表示,两个 平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来,那么学 习了平面向量的数量积之后,它能否用坐标来表示?若能,如何 通过坐标来实现?平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗? 同时,平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示?通过回顾两 个向量的数量积的定义及向量的坐标表示,在此基础上推导、探 索平面向量数量积的坐标表示. 探究点一 平面向量数量积的坐标表示 思考1 已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与b 的坐标表示a· b? 答 ∵a=x1i+y1j,b=x2i+y2j, ∴a· b=(x1i+y1j)· (x2i+y2j) =x1x2i2+x1y2i· j+x2y1j· i+y1y2j2. 又∵i· i=1,j· j=1,i· j=j· i=0, ∴a· b=x1x2+y1y2. 思考2 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a· b=x1x2+y1y2,这就是平 面向量数量积的坐标表示.你能用文字描述这一结论吗? 答 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 例1 已知a与b同向,b=(1,2),a· b=10. (1)求a的坐标; 解 设 a = λb = (λ , 2λ) (λ>0) ,则有 a· b = λ + 4λ = 10 , ∴λ = 2 , ∴a=(2,4). (2)若c=(2,-1),求a(b· c)及(a· b)c. 解 ∵b· c=1×2-2×1=0,a· b=1×2+2×4=10, ∴a(b· c)=0a=0, (a· b)c=10(2,-1)=(20,-10). 反思与感悟 两个向量的数量积是实数,这和前面三种运算 性质不同.同时本例进一步验证了平面向量的数量积不满足结 合律. 跟踪训练1 若a=(2,3),b=(-1,-2),c=(2,1),则(a· b)· c =____________ (b· c)=____________. (-16,-8) ;a· (-8,-12) 解析 ∵a· b=2×(-1)+3×(-2)=-8, ∴(a· b)· c=-8×(2,1)=(-16,-8). ∵b· c=(-1)×2+(-2)×1=-4, ∴a· (b· c)=(2,3)×(-4)=(-8,-12). 探究点二 平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式 思考2 如图,若A(x1,y1),B(x2,y2),如何计算向量 → 的模? AB → → → 答 ∵AB=OB-OA =(x2,y2)-(x1,y1) =(x2-x1,y2-y1), → ∴|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. 探究点三 平面向量夹角的坐标表示 思考 1 设向量 a = (x1 , y1) , b =(x2 , y2) ,若a⊥b ,则 x1 , y1 , x2 , y2之间的关系如何?反之成立吗? 答 a⊥b?x1x2+y1y2=0. 思考2 设a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与 b的夹角,那么cos θ如何用坐标表示? x1x2+y1y2 a· b 答 cos θ=|a||b|= 2 2 2 2. x1+y1· x2+y2 3 例如,(1)若a=(3,0),b=(-5,5),则a与b的夹角为________. π 4 (2)已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC的形状是________三 直角 角形. ? 1? 所以 λ 的取值范围为?-∞,-2?. ? ? ? 1 ? 所以 λ 的取值范围为?-2,2?∪(2,+∞). ? ? 跟踪训练 2 已知a = (1 ,- 1) , b =(λ ,1) ,若a 与b 的夹角 α 为钝 角,求λ的取值范围. 解 ∵a=(1,-1),b=(λ,1), ∴|a|= 2,|b|= 1+λ ,a· b=λ-1. 2 ∵a,b的夹角α为钝角. ? ? ?λ-1<0, ?λ<1, ?2 ∴? 即 2 ? ?λ +2λ+1≠0. ? 2 1+λ ≠1-λ, ? ∴λ<1且λ≠-1. ∴λ的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,1). 例3 已知在△ABC中,A(2,-1)、B(3,2)、C(-3,-1),AD为 BC边上的高,求 解 设点D的坐标为(x,y), → 与点D的坐标. |AD| → → 则AD=(x-2,y+1),BC=(-6,-3), → BD=(x-3,

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