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四川省成都外国语学校2018-2019学年高二下学期3月月考试题数学(理)(含答案)

成都外国语学校 2018-2019 学年度高二下期第一次月考 数学(理科)试卷
(时间:120 分钟 总分:150 分 ) 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题
目要求的. 1.已知集合 A ? {x ? Z | ? 2x ? 3?? x ? 3? ? 0} , B ? {x | y ? 1 ? lnx} ,则 A ? B ? ( A. ? 0, e



?

B. ?0, e?

C. ?1, 2? )

D. ?1, 2 ?

2、下列导数式子正确的是( A. (cos x)? ? sin x B. (sin

? ? )? ? cos 3 3

C. (e )? ? e
?x

?x

D. (log 2 x)? ?

1 x ln 2

2x ? y ? 6 ? 0
3.设 x , y 满足约束条件 { x ? 2 y ? 6 ? 0 ,则目标函数 z ? x ? y 取最小值时的最优解 ? x, y ? 是( )

y?0
A. ? 6, 0 ? 4.已知 A. ? B. ? 3,0 ? C. ? 0, 6 ? 则 D. ? 2, 2 ?

f ( x) ? x 2 ? 2 xf ' (1) ? 6 ,

f ' (1) 等于(
D.



2

B. 0

C. 2

4

5.某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准,现选择 15 名志愿者,对其身高和臂展进行测量(单位:厘米) , 左图为选取的 15 名志愿者身高与臂展的折线图,右图为身高与臂展所对应的散点图,并求得其回归方程为 ,以下结论中不正确的为( )

A.15 名志愿者身高的极差小于臂展的极差

B.15 名志愿者身高和臂展成正相关关系,

C.可估计身高为 190 厘米的人臂展大约为 189.65 厘米 D.身高相差 10 厘米的两人臂展都相差 11.6 厘米, 6.如图,平行六面体 中,
1



交于点

,设

,则 A. C. 7.已知 A. B. D. 为等差数列, B. C. 为其前 项和,公差为 ,若 D. 上有最大值无最小值,则实数 a 的取值范围为( D. ? ) ,则 的值为( )

8. 若函数 f ( x) ? ax3 ? 2x2 ? x ? 1 在 A. a ? ?

3 4

B. a ? ?

5 3

C. ?

5 3 ?a?? 3 4
的导函数为

5 3 ?a?? 3 4
,当 时, ,若

9.已知定义域为 的奇函数 ,则 A. 10.已知抛物线 A. B.

的大小关系正确的是( B. 上有三点 C. C. ,

) D. 的斜率分别为 3,6, D. 年,莱布尼茨改进了帕斯卡的计 ,则 的重心坐标为( )

11. 1642 年,帕斯卡发明了一种可以进行十进制加减法的机械计算机

算机,但莱布尼兹认为十进制的运算在计算机上实现起来过于复杂,随即提出了“二进制”数的概念 之后, 人们对进位制的效率问题进行了深入的研究 研究方法如下:对于正整数 , 卡片,其中写有数字 0,1,…, ,我们准备 张不同的

的卡片各有 张 如果用这些卡片表示 位 进制数,通过不同的卡片组 , 时,我们可以表示出 共 个不同的整 最

合,这些卡片可以表示 个不同的整数 例如 数 假设卡片的总数

为一个定值,那么 进制的效率最高则意味着

张卡片所表示的不同整数的个数

大 根据上述研究方法,几进制的效率最高? A.二进制 12. 已知函数 的取值范围为 A. B. C. D. B.三进制 C.十进制 ,函数 D.十六进制 ,若方程 有 4 个不同实根,则实数

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二.填空题 :本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案写在答题卷相应位置上.

2

13. 已知向量 14. 已知 ,则

, 若 的值为 , . ,

, 则实数 的值为

.

15. 如图所示,正方形的四个顶点 线 和



,及抛物 中,则质点落

,若将一个质点随机投入正方形 . 中,

在图中阴影区域的概率是 16.如图:已知双曲线 轴的上端点,若在线段 构成以

为左右顶点, 为右焦点, 为虚 ,使得 .

上(不含端点)存在不同的两点

为斜边的直角三角形,则双曲线离心率 的取值范围是

三、解答题:本大题 6 题,共 70 分.解答应在答题卷写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 10 分)设命题 :函数 (1)若 为真命题,求实数 的取值范围; (2)若 是 的充分不必要条件,求实数 的取值范围。 无极值.命题 ,

18.(本题满分 12 分)《汉字听写大会》不断创收视新高,为了避免“书写危机”,弘扬传统文化,某市大 约 10 万名市民进行了汉字听写测试 现从某社区居民中随机抽取 50 名市民的听写测试情况, 发现被测试市民 正确书写汉字的个数全部在 160 到 184 之间,将测试结果按如下方式分成六组:第 1 组 , ,第 6 组 率分布直方图. 若电视台记者要从抽取的市民中选 1 人进行采访,求被采访人恰好 在第 2 组或第 6 组的概率; 试估计该市市民正确书写汉字的个数的中位数; 已知第 4 组市民中有 3 名男性,组织方要从第 4 组中随机抽取 2 名市民组成弘扬传统文化宣传队,求至 少有 1 名女性市民的概率. ,如图是按上述分组方法得到的频 ,第 2 组

19. (本题满分 12 分)已知 a∈R,函数 f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R). (1)当 a=2 时,求函数 f(x)在[0,2]上的最值; (2)若函数 f(x)在(-1,1)上单调递增,求 a 的取值范围. 20. ( 本题满分 12 分 ) 如图,在四面体 , , 中, 分别是线段 与平面 的中点, 所成的角等于

,直线
3

. (Ⅰ)证明:平面 (Ⅱ)求二面角 平面 ;

的余弦值.

21. (本题满分 12 分)已知圆 上,且满足 求曲线 E 的方程; 若直线 l: 分别为 、 ,



,点

,C 为圆

上任意一点,点 P 在直线

C

,点 P 的轨迹为曲线 E.

不与坐标轴重合 与曲线 E 交于 M,N 两点,O 为坐标原点,设直线 OM、ON 的斜率 ,求实数 的取值范围.

,对任意的斜率 k,若存在实数 ,使得

22. (本题满分 12 分)已知函数 (1)若 (2)设 (3)当 在 处取得极值,求 的值; ,试讨论函数 时,若存在正实数 满足



.

的单调性; ,求证: .

高二下期第一次月考数学(理科)答案
CDBAD DBCDC BB 11.设 假设 , 因为 13.2 14. 15. 16. , , , ,可得 ,可得 时,函数 取得最大值, , .

为定值,则 nx 张卡片所表示的不同整数的个数 ,则 ,所以当 ,即 , ,求导可得: ,当 , ,

比较 , 的大小即可,分别 6 次方可得: 根据上述研究方法,3 进制的效率最高。 12. 方程 要使方程 而当 时,方程 ,化为 ,即



, 有 3 个不同根,如图:

有 4 个不同实根,则需方程 有 1 个根,
4

则只需: 当 时,

时,

与 ,过点 ,把点 , 切线斜率为

有两个交点即可. 作 代入上式得 ,所以 的切线,设切点为 或 ,即 ,令 有两个交点, , , ,解得 . ( ) ,

切线方程为 因为 当 故当 即方程 ,所以 时, 时,满足

,与 轴交点为 时, 与

有 4 个不同实根。 为直径的圆与线段 ,据此可得: ,半径为 , 整理可得: ,结合 的方程为 有两个交点, , ,即 ,故 , , .

16.原问题等价于以 很明显 以 ,则

为直径的圆圆心坐标为 ,结合

据此有: 据此可得:

可得:双曲线离心率 的取值范围是

17. 解: (1) 真时,则 (2) 真: 是 18. ,设集合 A={

恒成立 },集合 B={
?

得 }
?k ? 5,

的充分不必要条件,

k ? 1 ? 1, 所以 是 的充分不必要条件,即 B ? A.则有 ? ?

被采访人恰好在第 1 组或第 4 组的概率 中位数

设中位数为 x,则 共

人,其中男生 3 人,设为 a,b,c,女生三人,设为 d,e, , , , , , , , , , , , ,

则任选 2 人,可能为 , ,

,共 15 种, , , ,共 3 种情况,设事件 A:至少有 1 名女性,

其中两个全是男生的有

则至少有 1 名女性市民的概率 19.解 (1)当 a=2 时,f(x)=(-x2+2x)ex,f′(x)=(-x2+2)ex.令 f′(x)=0,则 x=- 2或 x= 2 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
5

x f′(x) f(x)

0

(0, 2) + 0

2

( 2,2)

2

↘ f(2)=0

f(0)=0
2

↗ ,f(x)min= f(0)=0.

极大值 f( 2)

所以,f(x)max= f( 2)=(-2+2 2)e

(2)因为函数 f(x)在(-1,1)上单调递增,所以 f′(x)≥0 在(-1,1)上恒成立. 又 f′(x)=[-x2+(a-2)x+a]ex,即[-x2+(a-2)x+a]ex≥0,注意到 ex>0, x2+2x 1 因此-x2+(a-2)x+a≥0 在(-1,1)上恒成立,也就是 a≥ =x+1- 在(-1,1)上恒成立. x+1 x+1 1 1 1 设 y=x+1- ,则 y′=1+ >0,即 y=x+1- 在(-1,1)上单调递增, x+1 ?x+1?2 x+1 1 3 3 则 y<1+1- = ,故 a≥ . 2 2 1+1 20. (Ⅰ)在 因为 所以 又 , 所以 是 中, 是斜边 的中点,所以 ,所以 平面 的中点,所以 ,且 . 又因为 , 因为 ,则 .又因为 平面 .因此 平面 , , 是直线 . . 的平面角. , 的余弦值为 . , 与平面 所成的角. , ,所以 , 所以平面 平面 , . .

(Ⅱ)方法一:取 因为 所以 故 过点 作 过点 作 因为 所以 平面

中点 ,连 ,所以 ,所以

,所以 于 ,则 于 ,连接 平面 ,则 ,且 为二面角

,所以 ,因此二面角

方法二:如图所示,在平面 BCD 中,作 x 轴⊥BD,以 B 为坐标原点,BD,BA 所在直线为 y 轴,z 轴建立空间 直角坐标系 所以 设平面 设平面 所以 .因为 , 的法向量 的法向量 , ,则 则 (同方法一,过程略) 则 , ,即 ,即 ,取 ,取 ,得 ,得 . . 的余弦值为 . , , .

,由图得二面角
6

为锐角,则二面角

21. 则

由 , ,

,可得

,则点 P 的轨迹是以 ,则曲线 E 的方程为 ,

为焦点的椭圆,





,则

,消 y 可得







当 当 则

时, 时,

, ,由于 , , , 对任意 k 恒成立, 综上所述 .

22. (1)因为 因为 在 处取得极值,所以 时, 在

,所以

, ,解得 .

验证:当

处取得极大值.

(2)解:因为 所以 ①若 当 ②若 当 当 当 , 时,易得函数 时, 在 和 ,则当 时, 时, , 函数 ,所以函数 在 , 上单调递增,在 在 上单调递增; 上单调递增,在 , ,所以 ,所以 , 时, ,则 ,所以函数
7

. 在 上单调递增;

上单调递减.

上单调递减;

恒成立,所以函数 在 和

时,易得函数 时,

上单调递减.

(3)证明:当 因为 即 令 当

, . , 在 上单调递减;

当 所以函数 所以 因为 所以

时,

,所以函数 在 ,即



上单调递增.

时,取得最小值,最小值为 . ,所以 .当 时, ,此时不存在 或 满足条件, .

为正实数,所以 .

8


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