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《志鸿优化设计》2014届高考数学(山东专用理科)一轮复习题:第十一章概率与统计11.3随机数与几何概型练习

课时作业 57

随机数与几何概型

一、选择题 1.如图,矩形长为 6 ,宽为 2,在矩形内随机地撒 300 颗黄豆,数得落在椭圆外的黄 豆数为 96 颗,以此试验数据为依据可以估算出椭圆的面积约为( ).

A.3.84 B.4.84 C.8.16 D.9.16 2.在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 M,并以线段 AM 为边作正方形,则这个正方 形的面积介于 36 cm2 与 81 cm2 之间的概率为( ). 1 1 A. B. 4 3 4 4 C. D. 27 15 S 3. 在面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任取一点 P, 则△PBC 的面积大于 的概率是( ). 4 1 1 3 2 A. B. C. D. 4 2 4 3 4.若在区间[- 5,5]内任取一个实数 a,则使直线 x+y+a=0 与圆(x-1)2+(y+2)2=2 有公共点的概率为( ). 2 2 3 3 2 A. B. C. D. 5 5 5 10 π π? 1 5.在区间? ). ?-2,2?上随机取一个数 x,cos x 的值介于 0 到2之间的概率为( 1 2 1 2 A. B. C. D. 3 π 2 3 6.(2012 湖北高考)如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两 个半圆.在扇形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( ).
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1 1 1 A. - B. 2 π π 2 2 C.1- D. π π 7.在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 O 为底面 ABCD 的中心,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 内随机取一点 P,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为( ). π π A. B.1- 12 12 π π C. D.1- 6 6 二、填空题 8.在区间[-1,2]上随机取一个 数 x,则 x∈[0,1]的概率为__________.
[来源:学。科。网]

? ?0<x<2 9. 在区域 M={?x,y?|? }内随机撒一把黄豆, 落在区域 N={?x,y?|?y>x ?0<y<4 ?

?x+y<4
}内

?x>0

的概率是__________. 10.点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点 B,则劣弧 ? AB 的长度小于 1 的概率为________. 三、解答题 11.已知向量 a=(-2,1),b=(x,y). (1)若 x, y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,5 ,6)先后 抛掷两次时第一次、第二次出现的点数,求满足 a· b=-1 的概率; (2 )若 x,y 在连续区间[1,6]上取值,求满足 a· b<0 的概率. 12.一只蚂蚁在边长分别为 5,6, 13的三角形区域内随机爬行,试求其恰在离三个顶 点距离都大于 1 的地方的概率.
[来源:学_科_网][来源:学科网 ZXXK]

参考答案
一、选择题 1.C 解析:矩形的面积为 12, 设椭圆的面积为 S, S 300-96 则 ≈ ,解得 S≈8.16. 12 300 2.A 解析:面积为 36 cm2 时,边长 AM=6 cm; 面积为 81 cm2 时,边长 AM=9 cm. 9-6 3 1 ∴P= = = . 12 12 4 3.C 解析:如图,在 AB 边上取点 P′,

AP′ 3 AP′ 3 = ,则 P 只能在 AP′上( 不包括 P′点)运动,则所求概率为 = . AB 4 AB 4 |1-2+a| |a-1| 4.B 解析:若直线与圆有公共点,则圆 心到直线的距离 d= = ≤ 2, 2 2 解得-1≤a≤3. 4 2 又 a∈[-5,5],故所求概率为 = . 10 5 π π? π? 1 ? π 5.A 解析:如图,在? ?-2,2?上任取 x,0<cos x<2的 x 的取值范围 是 x∈?-2,-3? π π? ∪? ?3,2?. 使

π π? - 2? 2 3? 1 ? 1 记“cos x 的值介于 0 到 之间”为事件 A,则 P(A)= = . 2 π 3 6.C 解析:设 OA=OB=2R,连接 AB,如图所示,由对称性可得,阴影的 面积就等 1 1 于直角扇形拱形的面积,S 阴影= π(2R)2- ×(2R)2=(π-2)R2,S 扇=πR2,故所求的概率是 4 2 2 (π-2)R 2 =1- . πR2 π

7.B 解析:正方体的体积为:2×2×2=8,以 O 为球心,1 为半径且在正方体内部 的 1 4 1 4 2 半球的体积为: × πr3= × π×13= π,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为: 2 3 2 3 3 2 π 3 π 1- =1- . 8 12 二、填空题 1 8. 解析:[-1,2]的区间长度为 3,[0,1]的区间长度为 1,根据几何概型知所求概率 3 1 为 . 3 1 9. 解析:画出区 域 M,N,如图,区域 M 为矩形 OABC,区域 N 为图中阴影部分. 2

1 S 阴影= ×4×2=4, 2 4 1 故所求概率 P= = . 4×2 2 2 10. 解析:圆周上使弧 ? AM 的长度为 1 的点 M 有两个,设为 M1,M2,则过 A 的圆 3

? M 的长度为 2,B 点落在优弧 M ? M 上就能使劣弧 ? 弧M AB 的长度小于 1,所以劣弧 ? AB 1 2 1 2 2 的长度小于 1 的概率为 . 3 三、解答题 11. 解: (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次, 所包含的基本事件总数为 6×6 =3 6 个;由 a· b=-1 有-2x+y=-1, 所以满足 a· b=-1 的基本事件为(1,1),(2,3),(3,5),共 3 个; 3 1 故满足 a· b=-1 的概率为 = . 36 12 (2) 若 x , y 在 连 续 区 间 [1,6] 上 取 值 , 则 全 部 基 本 事 件 的 结 果 为 Ω = {(x , y)|1≤x≤6,1≤y≤6}; 满足 a· b<0 的基本事件的结果为 A={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6 且-2x+y<0}; 画出图形如下图,
[来源:Z,xx,k.Com]

矩形的面积为 S 矩形=25, 1 21 阴影部分的面积为 S 阴影=25- ×2×4=21,故满足 a· b<0 的概率为 . 2 25 12.解:由题意,画出示意图(如图所示).

在△ABC 中,由余弦定理, 62+52-( 13)2 4 得 cos B= = . 5 2×6×5 于是 sin B= 1-cos2B 4?2 3 = 1-? ?5? =5. 1 3 所以 S△ABC= ×5×6× =9. 2 5 又图中阴影部分的面积为△AB C 的面积减去半径为 1 的半圆的面积, π 即为 S 阴影=9- , 2 π 9- 2 π 所以蚂蚁恰在离三个顶点距离都大于 1 的地方的概率为 P= =1- . 9 18


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