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2015届五校联考文科数学试卷


广东省五校协作体 2015 届高三第一次联考试卷

数学(文科)
命题学校:真光中学 命题:李兴舫 审题:黄林盛 2014.12 本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 参考公式:锥体体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高. 3

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求。 ) 1. 设 U ? R , A ? {x | x ? 0}, B ? {x | x ? 1} , 则 A ? CU B =( A. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | x ? 0} ) ) D. {x | x ? 1}

2. 已知复数 z 满足 (1 ? i) z ? 1 ? i ,则复数 z 的共轭复数 z ? ( A. ? i B. i C. 1 ? i D. 1 ? i

3. 下列函数中,既是偶函数又在 (0, ??) 单调递增的函数是( A .y??

) D. y ? cos x

1 x

B. y ? ? x ? 3
2

C. y ? e

| x|

4.以下有关命题的说法错误的是(
2


2

A.命题“若 x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为“若 x ? 1 ,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ” B.“ x ? 1 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件
2

C. 对于命题 p : ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0
2 2

D. 若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题 5.已知 0 ? ? ? A.

?7

π 4 π ,且 cos ? ? ,则 tan(? ? ) 等于( 2 5 4 3 B. ?1 C. 4

) D. 7 )

6.已知向量 a ? (2, m), b ? (?1, m) ,若向量 (2a ? b) 与 b 垂直,则 | a | 等于( A.1 B.2 C.3 D.4 )

7. 执行如图的程序框图,如果输入的 N 的值是 6,那么输出的 p 的值是(
五校联考数学(文科)试题 第 1 页 共 4 页

开始

输入 N

k ? 1, p ? 1

p ? p?k

k ?N?




输出 p

结束

k ?k?2
A.15 B.105 C.120 D.720

8.已知 ? 、 ? 、 ? 是三个不重合的平面, m 、 n 是两条不重合的直线,下列命题为真命题的是 ( ) B. ? / /? , n / / ? , ?

A. m / /? , n / /? , 则 m / / n C. ? / / ? , m ? ? , n ? ? , 则 m / / n 9. 设 P 是双曲线 x2 ?

? ? m, 则 m / / n

D. ? / /? , n ? ? , n ? ? , ?

? ? m, 则 m / / n

y2 右焦点, △ PF1 F2 ? 1 上除顶点外的任意一点,F1 、F2 分别是双曲线的左、 4
) D.1

的内切圆与边 F1 F2 相切于点 M ,则 F1M ? MF2 ? ( A.5 B.4 C.2

10、函数 f ( x) ? x2 ? 3x 的图象为曲线 C1 ,函数 g ( x) ? 4 ? x2 的图象为曲线 C2 ,过 x 轴上的动 点 M (a,0)(0 ? a ? 3) 作垂直于 x 轴的直线分别交曲线 C1 , C2 于 A, B 两点,则线段 AB 长度 的最大值为( A.2 ) B.4 C. 5 D.

41 8

二、填空题(本大共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. ) (一)必做题(11—13 题) 11.若曲线 y ? x ? ax 在原点处的切线方程是 2 x ? y ? 0 ,则实数 a ?
3

。 ;

12 . 已 知 {an } 是 公 比 为 2 的 等 比 数 列 , 若 a3 ? a1 ? 6 , 则 a1 ?

a1 ? a2 ? .....? an ? _____。
?x ? 0 ? 13.已知变量 x,y 满足约束条件 ? y ? 1 , 则 z=4x· 2y 的最大值为 ?x ? y ?
(二)选做题(14—15 题,考生只能从中选做一题)
五校联考数学(文科)试题 第 2 页 共 4 页

2

2

2



14.(几何证明选讲选做题)如图, PA 是圆的切线, A 为切点,

PB 1 PA ? ,则 ? PBC 是圆的割线,且 BC 2 BC

C



A
.

B

P

15.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,已知曲线 C 的 方程是 ? ? 4 sin ? ,过点 ( 4,

?
6

) 作曲线 C 的切线,则切线长等于

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 16.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A、B,C,所对的边分别为 a , b, c ,且 C ? (Ⅰ)求 sin B 的值; (Ⅱ)若 c ? a ? 5 ? 10 ,求 ?ABC 的面积。

3 5 ? , sin A ? 4 5

17.(本小题满分 12 分) 2014 第三季度,国家电网决定对城镇居民民用电计费标准做出调整,并根据用电情况将居民 分为三类: 第一类的用电区间在 (0,170] ,第二类在 (170, 260] ,第三类在 (260, ??) (单位:千 瓦时). 某小区共有 1000 户居民,现对他们的用电情况进行调查,得到频率分布直方图如图所 示. ⑴ 求该小区居民用电量的中位数; ⑵ 本月份该小区没有第三类的用电户出现,为鼓励居民节约用电, 供电部门决定:对第一类每户奖励 20 元钱,第二类每户奖励 5 元钱, 求每户居民获得奖励的平均值; ⑶ 利用分层抽样的方法从该小区内选出 5 户居民代表,若从该 5 户居民代表中任选两户居民,求这两户居民用电资费属于不同类型的 概率.
0.005 0.003 0.002 0 0.020

频率/组距

0.015

110 130 150 170 190 210 230 月用电量

五校联考数学(文科)试题 第 3 页 共 4 页

18. (本小题满分 14 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, CA ? CB , AB ? AA1 , ?BAA1 ? 60 .

C
(Ⅰ)证明: AB ? A1C ; (Ⅱ)若 AB ? CB ? 2 , A1C ? 19. (本小题满分 14 分) 已知数列 { an } 是首项为 a1 ? 数列 { cn } 满足 cn ? an bn ; (Ⅰ)求证:数列 { bn } 成等差数列; (Ⅱ)求数列 { cn } 的前 n 项和 Sn ; (Ⅲ)若 cn ?

C1 B1 A1

6 ,求三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积.

B A

1 1 , 公比 q ? 的等比数列, 设 bn ? 2 ? 3log 1 an ( n ? N* ) , 4 4 4

1 2 m ? m ? 1 对一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围。 4
1 2 x ? 1 上, 点 P 是抛物线 C1 上 2
C2 C1

20. (本小题满分 14 分) 如图, 已知抛物线 C1 : x 2 ? 2 py 的焦点在抛物线 C 2 : y ? 的动点. (I)求抛物线 C1 的方程及其准线方程; (II)过点 P 作抛物线 C 2 的两条切线, M 、 N 分别为两个切点, 设点 P 到直线 MN 的距离为 d ,求 d 的最小值.

y M

N
21. 已知函数 f ( x) ? 2 x ? a ln x(a ? R) (I) 当 a ? ?2 时,求函数 f ( x ) 的单调性; (II) 若函数 f ( x ) 有两个零点,求实数 a 的取值范围;

O

P

x

(第 20 题)

(III) 若定义在区间 D 上的函数 y ? f ( x) 对于区间 D 上的任意两个值 x1、x2 总有以下不等式
x ? x2 1 [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] ? f ( 1 ) 成立,则称函数 y ? f ( x) 为区间 D 上的“凹函数”.若函数 f ( x ) 的 2 2

最小值为 g (a ) ,试判断函数 g (a ) 是否为“凹函数” ,并对你的判断加以证明.
五校联考数学(文科)试题 第 4 页 共 4 页


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