2.2.2
事件的相互独立性
双基达标
?限时 20 分钟?
1. A 与 B 是相互独立事件, 设 则下列事件中不相互独立的是 A.A 与- B 解析 B.-与 B A C.-与- A B
(
).
D.A 与- A
由相互独立事件的性质知,A、B、C 选项的两事件相互独立,而 A 与
-是对立事件,不是相互独立事件. A 答案 D
2.打靶时,甲每打 10 次可中靶 8 次,乙每打 10 次可中靶 7 次,若两人同时射 击一目标,则他们都中靶的概率是 14 A.25 解析 12 B.25 3 C.4 3 D.5 ( ).
设“甲命中目标”为事件 A,“乙命中目标”为事件 B,依题意知,
8 4 7 P(A)=10=5,P(B)=10,且 A 与 B 相互独立. 故他们都命中目标的概率为 4 7 14 P(AB)=P(A)P(B)=5×10=25. 答案 A 1 3.从应届高中生中选拔飞行员,已知这批学生体型合格的概率为3,视力合格的 1 1 概率为6,其他几项标准合格的概率为5,从中任选一名学生,则该生三项均 合格的概率为(假设三项标准互不影响) 4 A.9 解析 答案 4 C.5 1 1 1 1 该生三项均合格的概率为3×6×5=90. B 1 B.90 5 D.9 ( ).
1 2 4.已知 A、B 是相互独立事件,且 P(A)=2,P(B)=3,
- -- 则 P(A B )=________;P( A B )=________. 解析 1 2 ∵P(A)=2,P(B)=3,
1 1 ∴P(-)=2,P(-)=3. A B 1 1 1 ∴P(A-)=P(A)P(-)=2×3=6, B B 1 1 1 P(--)=P(-)P(-)=2×3=6, AB A B 答案 1 6 1 6
5.甲袋中有 8 个白球,4 个红球,乙袋中有 6 个白球,6 个红球,从每袋中任取 一球,则取到相同颜色的球的概率是________. 解析 8 6 1 若都取到白球,P1=12×12=3,
4 6 1 若都取到红球,P2=12×12=6, 1 1 1 则所求概率 P=P1+P2=3+6=2. 答案 1 2
6.从一副扑克牌(52 张)中任抽一张,设 A=“抽得老 K” ,B=“抽得红牌”, 判断事件 A 与 B 是否相互独立?是否互斥?是否对立?为什么? 解 由于事件 A 为“抽得老 K” ,事件 B 为“抽得红牌”,故抽得红牌中有
可能抽到红桃 K 或方块 K,即有可能抽到老 K,故事件 A,B 有可能同时发 生,显然它们不是互斥事件,更不是对立事件,以下考虑他们是否互为独立 4 1 26 1 事件:抽到老 K 的概率为 P(A)=52=13,抽到红牌的概率 P(B)=52=2,故 1 1 1 P(A)P(B)=13×2=26,事件 AB 即为“既抽得老 K 又抽得红牌”,亦即“抽 2 1 得红桃老 K 或方块老 K” ,故 P(A· 52=26,从而有 P(A)· B)= P(B)=P(AB),因 此 A 与 B 互为独立事件.
综合提高(限时 25 分钟)
1 1 7.甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为2和3,两人同时参加测试, 其中有且只有一人能通过的概率是 ( ).
1 A.3 解析
2 B.3
1 C.2
D.1
设事件 A 表示“甲通过听力测试”, 事件 B 表示“乙通过听力测试”.
1 1 依题意知,事件 A 和 B 相互独立,且 P(A)=2,P(B)=3.记“有且只有一人通 过听力测试”为事件 C,则 C= A- ∪ -B ,且 A-和-B 互斥. B A B A
( ) ( ) 故 P(C)=P(A-)∪(-B) B A
=P(A-)+P(-B) B A =P(A)P(-)+P(-)P(B) B A 1? ? 1? 1 1 ? =2×?1-3?+?1-2?×3 ? ? ? ? 1 =2. 答案 C
8.在如图所示的电路图中,开关 a,b,c 闭合与断开的 1 概率都是2,且是相互独立的,则灯亮的概率是 ( 1 A.8 1 C.4 解析 3 B.8 7 D.8 设开关 a,b,c 闭合的事件分别为 A,B,C,则灯亮这一事件 E= ).
ABC∪AB-∪A-C,且 A,B,C 相互独立, C B ABC,AB-,A-C 互斥,所以 C B P(E)=P(ABC)∪ AB- ∪ A-C C B
(
) (
)
=P(ABC)+P(AB-)+P(A-C) C B =P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(-)+P(A)P(-)P(C) C B 1? 1 ? 1? 1 3 1 1 1 1 1 ? =2×2×2+2×2×?1-2?+2×?1-2?×2=8. ? ? ? ? 答案 B
9.某条道路的 A,B,C 三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内平均开放绿灯的 时间分别为 25 秒、35 秒、45 秒,某辆车在这条路上行驶时,三处都不停车 的概率是________. 解析 答案 25 35 45 35 P=60×60×60=192. 35 192
10.一件产品要经过两道独立的工序,第一道工序的次品率为 a,第二道工序的 次品率为 b,则该产品的正品率为________. 解析 由于经过两道工序才能生产出一件产品,当两道工序都合格时才能生
产出正品,又由于两道工序相互独立,则该产品的正品率为(1-a)(1-b). 答案 (1-a)(1-b)
11.有甲、乙、丙三支足球队互相进行比赛.每场都分出胜负,已知甲队胜乙队 的概率是 0.4,甲队胜丙队的概率是 0.3,乙队胜丙队的概率是 0.5,现规定比 赛顺序是:第一场甲队对乙队,第二场是第一场中的胜者对丙队,第三场是 第二场中的胜者对第一场中的败者,以后每一场都是上一场中的胜者对前场 中的败者,若某队连胜四场则比赛结束,求: (1)第四场结束比赛的概率; (2)第五场结束比赛的概率. 解 (1)∵P(甲连胜 4 场)=0.4×0.3×0.4×0.3=0.014 4.
P(乙连胜 4 场)=0.6×0.5×0.6×0.5=0.09, ∴P(第 4 场结束比赛)=0.014 4+0.09=0.104 4. (2)第 5 场结束比赛即某队从第 2 场起连胜 4 场. 只有丙队有可能; ∵P(甲胜第一场,丙连胜 4 场)=0.4×0.7×0.5×0.7×0.5=0.4×0.122 5, P(乙胜第一场,丙连胜 4 场)=0.6×0.5×0.7×0.5×0.7=0.6×0.122 5. ∴P(第 5 场结束比赛)=0.4×0.122 5+0.6×0.1225=0.122 5. 12.(创新拓展)计算机考试分理论考试和上机操作考试两部分进行,每部分考试 成绩只记“合格”与“不合格”,两部分考试都“合格”则计算机考试合格 3 3 2 并颁发合格证书.甲、乙、丙三人在理论考试中合格的概率分别为5,4,3;
9 5 7 在上机操作考试中合格的概率分别为10,6,8.所有考试是否合格相互之间没 有影响. (1)甲、乙、丙三人在同一计算机考试中谁获得合格证书的可能性最大? (2)求这三人计算机考试都获得合格证书的概率. 解 记“甲理论考试合格”为事件 A1,“乙理论考试合格”为事件 A2,“丙
理论考试合格”为事件 A3,记-i 为 Ai 的对立事件,i=1,2,3;记“甲上机 A 考试合格”为事件 B1,“乙上机考试合格”为事件 B2,“丙上机考试合格” 为事件 B3. (1)记“甲计算机考试获得合格证书”为事件 A,记“乙计算机考试获得合格 证书”为事件 B,记“丙计算机考试获得合格证书”为事件 C, 3 9 27 则 P(A)=5×10=50, 3 5 5 2 7 7 P(B)=4×6=8,P(C)=3×8=12, 有 P(B)>P(C)>P(A), 故乙获得合格证书可能性最大. (2)记“三人该课程考核都合格”为事件 D. P(D)=P[(A1B1)(A2B2)(A3B3)] =P(A1B1)P(A2B2)P(A3B3) =P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)P(A3)P(B3) 3 9 3 5 2 7 63 =5×10×4×6×3×8=320. 63 所以,这三人计算机考试都获得合格证书的概率是320.