高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-3《2.2.2独立重复实验与二项分布》评估训练

2.2.2

事件的相互独立性

双基达标

?限时 20 分钟?

1． A 与 B 是相互独立事件， 设 则下列事件中不相互独立的是 A．A 与－ B 解析 B.－与 B A C.－与－ A B

(

)．

D．A 与－ A

由相互独立事件的性质知，A、B、C 选项的两事件相互独立，而 A 与

－是对立事件，不是相互独立事件． A 答案 D

2．打靶时，甲每打 10 次可中靶 8 次，乙每打 10 次可中靶 7 次，若两人同时射 击一目标，则他们都中靶的概率是 14 A.25 解析 12 B.25 3 C.4 3 D.5 ( )．

设“甲命中目标”为事件 A，“乙命中目标”为事件 B，依题意知，

8 4 7 P(A)＝10＝5，P(B)＝10，且 A 与 B 相互独立． 故他们都命中目标的概率为 4 7 14 P(AB)＝P(A)P(B)＝5×10＝25. 答案 A 1 3．从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为3，视力合格的 1 1 概率为6，其他几项标准合格的概率为5，从中任选一名学生，则该生三项均 合格的概率为(假设三项标准互不影响) 4 A.9 解析 答案 4 C.5 1 1 1 1 该生三项均合格的概率为3×6×5＝90. B 1 B.90 5 D.9 ( )．

1 2 4．已知 A、B 是相互独立事件，且 P(A)＝2，P(B)＝3，

－ －－ 则 P(A B )＝________；P( A B )＝________． 解析 1 2 ∵P(A)＝2，P(B)＝3，

1 1 ∴P(－)＝2，P(－)＝3. A B 1 1 1 ∴P(A－)＝P(A)P(－)＝2×3＝6， B B 1 1 1 P(－－)＝P(－)P(－)＝2×3＝6， AB A B 答案 1 6 1 6

5．甲袋中有 8 个白球，4 个红球，乙袋中有 6 个白球，6 个红球，从每袋中任取 一球，则取到相同颜色的球的概率是________． 解析 8 6 1 若都取到白球，P1＝12×12＝3，

4 6 1 若都取到红球，P2＝12×12＝6， 1 1 1 则所求概率 P＝P1＋P2＝3＋6＝2. 答案 1 2

6．从一副扑克牌(52 张)中任抽一张，设 A＝“抽得老 K” ，B＝“抽得红牌”， 判断事件 A 与 B 是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？ 解 由于事件 A 为“抽得老 K” ，事件 B 为“抽得红牌”，故抽得红牌中有

可能抽到红桃 K 或方块 K，即有可能抽到老 K，故事件 A，B 有可能同时发 生，显然它们不是互斥事件，更不是对立事件，以下考虑他们是否互为独立 4 1 26 1 事件：抽到老 K 的概率为 P(A)＝52＝13，抽到红牌的概率 P(B)＝52＝2，故 1 1 1 P(A)P(B)＝13×2＝26，事件 AB 即为“既抽得老 K 又抽得红牌”，亦即“抽 2 1 得红桃老 K 或方块老 K” ，故 P(A· 52＝26，从而有 P(A)· B)＝ P(B)＝P(AB)，因 此 A 与 B 互为独立事件．

综合提高（限时 25 分钟）
1 1 7．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为2和3，两人同时参加测试， 其中有且只有一人能通过的概率是 ( )．

1 A.3 解析

2 B.3

1 C.2

D．1

设事件 A 表示“甲通过听力测试”， 事件 B 表示“乙通过听力测试”．

1 1 依题意知，事件 A 和 B 相互独立，且 P(A)＝2，P(B)＝3.记“有且只有一人通 过听力测试”为事件 C，则 C＝ A－ ∪ －B ，且 A－和－B 互斥． B A B A

( ) ( ) 故 P(C)＝P(A－)∪(－B) B A
＝P(A－)＋P(－B) B A ＝P(A)P(－)＋P(－)P(B) B A 1? ? 1? 1 1 ? ＝2×?1－3?＋?1－2?×3 ? ? ? ? 1 ＝2. 答案 C

8.在如图所示的电路图中，开关 a，b，c 闭合与断开的 1 概率都是2，且是相互独立的，则灯亮的概率是 ( 1 A.8 1 C.4 解析 3 B.8 7 D.8 设开关 a，b，c 闭合的事件分别为 A，B，C，则灯亮这一事件 E＝ )．

ABC∪AB－∪A－C，且 A，B，C 相互独立， C B ABC，AB－，A－C 互斥，所以 C B P(E)＝P(ABC)∪ AB－ ∪ A－C C B

(

) (

)

＝P(ABC)＋P(AB－)＋P(A－C) C B ＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(－)＋P(A)P(－)P(C) C B 1? 1 ? 1? 1 3 1 1 1 1 1 ? ＝2×2×2＋2×2×?1－2?＋2×?1－2?×2＝8. ? ? ? ? 答案 B

9．某条道路的 A，B，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内平均开放绿灯的 时间分别为 25 秒、35 秒、45 秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车 的概率是________． 解析 答案 25 35 45 35 P＝60×60×60＝192. 35 192

10．一件产品要经过两道独立的工序，第一道工序的次品率为 a，第二道工序的 次品率为 b，则该产品的正品率为________． 解析 由于经过两道工序才能生产出一件产品，当两道工序都合格时才能生

产出正品，又由于两道工序相互独立，则该产品的正品率为(1－a)(1－b)． 答案 (1－a)(1－b)

11．有甲、乙、丙三支足球队互相进行比赛．每场都分出胜负，已知甲队胜乙队 的概率是 0.4，甲队胜丙队的概率是 0.3，乙队胜丙队的概率是 0.5，现规定比 赛顺序是：第一场甲队对乙队，第二场是第一场中的胜者对丙队，第三场是 第二场中的胜者对第一场中的败者，以后每一场都是上一场中的胜者对前场 中的败者，若某队连胜四场则比赛结束，求： (1)第四场结束比赛的概率； (2)第五场结束比赛的概率． 解 (1)∵P(甲连胜 4 场)＝0.4×0.3×0.4×0.3＝0.014 4.

P(乙连胜 4 场)＝0.6×0.5×0.6×0.5＝0.09， ∴P(第 4 场结束比赛)＝0.014 4＋0.09＝0.104 4. (2)第 5 场结束比赛即某队从第 2 场起连胜 4 场． 只有丙队有可能； ∵P(甲胜第一场，丙连胜 4 场)＝0.4×0.7×0.5×0.7×0.5＝0.4×0.122 5， P(乙胜第一场，丙连胜 4 场)＝0.6×0.5×0.7×0.5×0.7＝0.6×0.122 5. ∴P(第 5 场结束比赛)＝0.4×0.122 5＋0.6×0.1225＝0.122 5. 12．(创新拓展)计算机考试分理论考试和上机操作考试两部分进行，每部分考试 成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”则计算机考试合格 3 3 2 并颁发合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中合格的概率分别为5，4，3；

9 5 7 在上机操作考试中合格的概率分别为10，6，8.所有考试是否合格相互之间没 有影响． (1)甲、乙、丙三人在同一计算机考试中谁获得合格证书的可能性最大？ (2)求这三人计算机考试都获得合格证书的概率． 解 记“甲理论考试合格”为事件 A1，“乙理论考试合格”为事件 A2，“丙

理论考试合格”为事件 A3，记－i 为 Ai 的对立事件，i＝1，2，3；记“甲上机 A 考试合格”为事件 B1，“乙上机考试合格”为事件 B2，“丙上机考试合格” 为事件 B3. (1)记“甲计算机考试获得合格证书”为事件 A，记“乙计算机考试获得合格 证书”为事件 B，记“丙计算机考试获得合格证书”为事件 C， 3 9 27 则 P(A)＝5×10＝50， 3 5 5 2 7 7 P(B)＝4×6＝8，P(C)＝3×8＝12， 有 P(B)＞P(C)＞P(A)， 故乙获得合格证书可能性最大． (2)记“三人该课程考核都合格”为事件 D. P(D)＝P[(A1B1)(A2B2)(A3B3)] ＝P(A1B1)P(A2B2)P(A3B3) ＝P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)P(A3)P(B3) 3 9 3 5 2 7 63 ＝5×10×4×6×3×8＝320. 63 所以，这三人计算机考试都获得合格证书的概率是320.