当前位置:首页 >> 数学 >>

2018版高中数学第二章数列2.1数列的概念与简单表示法(二)学案新人教A版必修5

2.1 数列的概念与简单表示法(二) [学习目标] 1.理解数列的几种表示方法,能用函数的观点研究数列.2.理解递推公式的含 义,能根据递推公式求出数列的前几项. 知识点一 数列的函数性质 1.数列可以看成以正整数集 N (或它的有限子集{1,2,?,n})为定义域的函数 an=f(n), 当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值. 2.在数列{an}中,若 an+1>an,则{an}是递增数列;若 an+1<an,则{an}为递减数列;若 an+1= * an,则{an}为常数列. 思考 1 从定义上看,数列是特殊的函数,因此,表示数列除可以用通项公式外,还可以有 哪些方法? 答案 还可以用列表法,图象法. 思考 2 数列单调性与函数单调性的区别和联系是什么? 答案 联系:若函数 f(x)在[1,+∞)上单调,则数列 f(n)也单调.反之不正确,例如 f(x) 5 2 =(x- ) ,数列 f(n)单调递增,但函数 f(x)在(1,+∞)上不是单调递增. 4 区别:二者定义不同,函数单调性的定义:函数 f(x)的定义域为 D,设 D? I,对任意 x1,x2 ∈I,当 x1<x2 时,若 f(x1)>f(x2),则 f(x)在 I 上单调递减,若 f(x1)<f(x2),则 f(x)在 I 上 单调递增,定义中的 x1,x2 不能用有限个数值来代替.数列单调性的定义:只需比较相邻的 an 与 an+1 的大小来确定单调性. 知识点二 数列的表示方法 1.数列的递推公式:如果数列{an}的第 1 项或前几项已知,并且数列{an}的任一项 an 与它的 前一项 an-1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子就叫做这个数列的递 推公式. 2.数列的表示方法:数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法. 思考 1 已知数列{an}满足 a1=3,an+1=2an+1,则数列的第 5 项 a5=________,由此归纳出 {an}的一个通项公式为________,可以求得 a8=________. 答案 ∵a1=3,∴a2=2a1+1=7,a3=2a2+1=15,a4=2a3+1=31,a5=2a4+1=63,∴a5 =63.可以看出 an=2 n+1 -1,∴a8=2 -1=511. 9 思考 2 由思考 1,体会一下数列的通项公式与递推公式有什么区别? 答案 通项公式直接反映了 an 与 n 之间的关系,即知道 n 值,即可代入通项公式求得该项的 值 an;递推关系则是间接反映数列的式子,它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关 系,要求 an,须将前面的各项依次求出才行. 1 题型一 数列的函数特征 例 1 已知数列{an}的通项公式为 an= 性. 1 2 1 4 5 解 当 n=1,2,3,4,5 时,an 依次为 , , , , , 10 13 6 25 34 n 2 n +9 (n∈N ),写出其前 5 项,并判断数列{an}的单调 * an+1-an= n -n -n+9 - 2 = . 2 2 (n+1) +9 n +9 [(n+1) +9][n +9] 2 n+1 2 1 2 37 2 ∵函数 f(x)=-x -x+9=-(x+ ) + 在[1,+∞)上单调递减, 2 4 又 f(1)=7>0,f(2)=3>0,f(3)<0, ∴当 n=1,2 时,an+1>an,当 n≥3,n∈N 时,an+1<an, 即 a1<a2<a3>a4>a5>?. ∴数列{an}的前 3 项是递增的,从第 3 项往后是递减的. 反思与感悟 判断数列的增减性,一般是将其转化为比较相邻两项的大小,常用的方法有作 差法、作商法,作差法判断数列增减性的步骤为:①作差;②变形;③定号;④结论.作商 法适用于各项都是同号的数列,且应比较比值与 1 的大小关系. 跟踪训练 1 求例题中的数列{an}的最大项. 解 ∵a1<a2<a3>a4>a5>?, 1 ∴数列{an}的最大项为 a3= . 6 题型二 递推公式的简单应用 例 2 (1)已知数列{an}满足 anan-1=an-1+(-1) 且 a1=1,则 等于( A. 16 4 B. 15 3 8 8 C. D. 15 3 2an .通过它的前 5 项,归纳得出数列的一个通项公式是 an+2 n * a5 a3 ) (2)已知数列{an}满足 a1=1,an+1= ________. 答案 (1)B (2)an= 2 n+1 (n∈N ) 2 * 解析 (1)由 a1=1 知 a2a1=a1+(-1) ,得 a2=2; 1 3 由 a3a2=a2+(-1) ,得 a3= ; 2 2 2 2 a5 3 4 同理得 a4=3,a5= ,故 = = ,选 B. 3 a3 1 3 2 2 2× 3 1 2 2 2×1 2 (2)a1=1= ,a2= = ,a3= = = , 2 1+2 3 2 2 4 +2 3 1 2 2× 2× 2 2 5 1 2 a4= = ,a5= = = . 1 5 2 3 6 +2 +2 2 5 故数列的一个通项公式为 an= 2 * (n∈N ). n+1 反思与感悟 (1)递推公式是表示数列的一种方法, 其作用与数列的通项公式类似. 可以根据 递推公式依次求得数列中的项. (2)利用递推公式求得数列的前几项,可以帮助我们猜想数列的通项公式. 跟踪训练 2 数列{an}满足 a1=1,an+1+2anan+1-an=0. (1)写出数列的前 5 项; (2)由(1)写出数列{an}的一个通项公式. 1 1 1 1 1 解 (1)由已知可得 a1=1= ,a2= ,a3= ,a4= ,a5= . 1 3 5 7 9 (2)由(1)可得数列的每一项的分子均为 1,分母分别为 1,3,5,7,9,?,所以它的一个通 1 项公式为 an= . 2n-1 题