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2009届金台区高三质量检测理科数学试卷2008.12


2009 届金台区高三质量检测
理科数学试卷 2008.12
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分 满分 150 分.考试时间 120 分钟 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上 2. 答选择题时, 必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮檫擦干净后,再选涂其他答案标号 3.答非选择题时,必须用 0.5mm 黑色签字笔,将答案书写在答题卡规 定的位置上 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试卷上答题无效 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B) = P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A · = P(A) · B) P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 n 次独立重复试验中恰 好发生 k 次的概率 Pn (k ) ? C n P (1 ? P)
k k n?k

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的 四个选项中,只有一项是符合题目要求的 (1)在复平面内,复数 z ? sin3 ? i cos3 对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)设集合 M={1,3,5,7,?,2n-1,?}(n∈N*).若 a∈M,b∈M,a ? b∈M, 则运算 ? 可能是 A.加法 B.减法 C.乘法 D.除法 (3)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a2+c2-b2=ac,则 角 B 的值为 A. 30? B. 60? C. 30? 或 150? D. 60? 或 120? (4)“双曲线的渐近线方程为 y ? ?

x2 y 2 4 ? 1 ”的 x ”是“双曲线方程为 ? 9 16 3

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (5)如图,矩形 ABCD 中,AB=2BC,设 M、N 分别为 AB 边及 CD 边的 中点,沿 MN 将 MBCN 折起至 MB′C′N,使它与 AMND 所成二面角为锐角,则下列等式恒成立的是 A. AN ? C ?N =0 C. B ?C ? ? AC ? =0 B. B ?C ? ? AN =0 D. B ?C ? ? AM =0
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(6)规定一个运算程序:若 m&n=k,则 m&(n+1)=k+3(m,n,k∈N*), 且 2&1=2,则 2&2006 的输出结果为 A.2 006 B.2 008 C.4 011 D.6 017

x2 y2 ? ? 1 的长轴在 x 轴上且其焦距为 4 ,则 m ? m ? 2 10 ? m A. 4 B. 5 C. 7 D. 8 ?1 x ?3 ?1 (8)已知函数 f ( x) ? 2 ,函数 f ( x) 是 f ( x) 的反函数,若 mn ? 16 ( m,n ? R + ) ,则 f (m) ? f (n) 的值为 A.10 B.4 C.1 D. ?2 ? x ? 1 x ? ? ?1, 0? ? (9)已知 f ( x ) ? ? ,则下列函数的图象错误的是 .... 2 ? x ? 1 x ? (0,1] ?
(7)已知椭圆

(10)由于人数众多,某次区教学质量检测,甲、乙、丙三科考试成绩分 布的直方图可视为正态分布,如右图所示,则由 图中曲线可得下列说法中正确的一个是 A. 甲科总体的标准差最小 B. 乙科总体的标准差及平均数都居中 C. 丙科总体的平均数最小 D. 甲、乙、丙的总体的平均数不相同 (11)已知 m,n 是直线,α,β,γ 是平面,给出下列命题中错误的命题是 A.若 ? / / ? , m / / n, m ? ? ,则 n ? ? ; B.若 ? / / ? ,α∩γ=m,β∩γ=n,则 m∥n; C.若 m / / n 且 n ? ? ,则 m∥β; D.若 α∩β=m, m / / n ,且 n ? α,n ? β,则 n∥α 且 n∥β. ? ? (12)已知直平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 的 各条棱长均为 9,∠BAD=60° ,长为 6 的线段 MN 的一个端点 M 在 DD1 上运动,另一端点 N 在底面 ABCD 上运动,则 MN 的中点 P 的轨迹 (曲面)与共一顶点 D 的三个面所围成的几何 体的体积为 A. 6? B. 4? C. 18? D. 36?
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第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分 把答案填在答题卡 中对应题号后的横线上 5 5 4 3 2 (13)若(x -2) = a0x +a1x +a2x +a3x +a4x+a5, 则 a1+a2+a3+a4+a5 =_________.(用数字作答) (14)给出平面区域(包括边界)如图所示,若 使目标函数 z=a x+ y(a>0)取得最大值的最优解有 无穷多个,则 a 的值为_______________

f (n 2 ) (15) f (n)=1+2+3+…+n (n∈N ),则 lim 若 = n ? ? [ f ( n )] 2
*

(16)某人有 4 种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够 多) ,要在如右图所示的 6 个点 A、B、C、A1、B1、C1 上 各装一个灯泡,要求同一条弧两端的灯泡不同色,则 每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 种(用数字作答)

A1 C1

B1

A

C

B

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程 或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xoy 中,以 ox 轴为始边做两 个角 ? , ? ? (0, ? ) ,它们的终边分别与单位圆相交于 A、B 两点,已知 A、 B 的横坐标分别为 ?

3 10 5 , 10 5 (Ⅰ)求 tan(? ? ? ) 的值;
(Ⅱ)求函数 f ( x) ?

2 sin( x ? ? ) ? cos( x ? ? ) 的最大值.
?

(18) (本小题满分 12 分)在等腰梯形 ABCD 中, ?DAB ? 60 ,E 是 AB 边上的点,满足 AE:AB=DC:AB=1:3(如图 1).将梯形 ABCD 沿 ED 折起到 ?DEF 的位置, 使二面角 F-ED-B 成直二面角, 连结 FB、 (如 FC 图 2) (Ⅰ)求证:EF⊥平面 BEC; (Ⅱ)求直线 EF 与平面 BCF 所成角的大小;
D C F

D E 图2

C

A

E

图1

B

G

B

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(19) (本小题满分 12 分) 已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球,乙盒内有大小相同的 2 个 红球和 4 个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球. (Ⅰ)求取出的 4 个球均为黑球的概率; (Ⅱ)求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率; (Ⅲ)设 ? 为取出的 4 个球中黑球的个数,求 ? 的分布列和数学期望.

(20) (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? e ? k x,x ? R
x

(Ⅰ)已知函数 f ( x) 上点 A 的横坐标为 1,求该点切线方程; (Ⅱ)若 k ? 0 ,且对于任意 x ?R , f ( x ) ? 0 恒成立,试确定实 数 k 的取值范围;
(21) (本小题满分 12 分) 已知二次函数 f ( x) ?

1 2 x ? a x 满足 f ?(1) ? 1 ? 2n,(n ? N * ) ,若数列 2 ?bn ? 满足 bn?1 ? f ?(bn ) ,且 b1 ? 0.25
(Ⅰ)求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ? an ? 满足 an ?
n

1 bn 4 n ? ? ak ak ?1 ? 2 3 k ?1

求证:①

? ak ? 5 ;②
k ?1

(22) (本小题满分 14 分)椭圆的中心在原点 O,它的短轴长为 2 2 ,相 应于焦点 F(c,0)(c>0)的准线 l 与 x 轴相交于点 A, OF ? 2 FA ,过点 A 的直线与椭圆交于 P、Q 两点. (Ⅰ)求椭圆的方程;

??? ?

??? ?

OQ (Ⅱ)若 OP · =0,求直线 PQ 的方程;
(Ⅲ)设 AP ? ? AQ (λ>1),过点 P 且平行于准线 l 的直线与椭圆相交于 另一点 M,求证: FM ? ?? FQ .

2009 届金台区高三质量检测
理科数学试题参考答案 2008.12
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分
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(1)D (2)C (3)B (4)B (5)D (6)D (7)D (8)D (9)D (10)A (11)C (12)A (10)析:从图中看出,甲、乙、丙三种曲线对称轴相同,即 μ 相同,即三 者总体平均数相同,但三者的“胖瘦”不同,即 δ 不同,且有 δ 丙>δ 乙>δ 甲, 即甲的标准差最小. (12)解∵△MDN 为直角三角形,P 为 MN 的中点,∴DP=

1 MN=3. 2

∴P 点的轨迹是以 D 为球心半径为 3 的球被平行六面体截得的曲面,

2? , 3 1 1 1 1 4? 3 ∴它的体积是该球体积的 × = ,即 × × = 6? . 3 3 2 6 6 3
由题意得∠ADC=120° = 二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. (13)-2 (14)0.6 (15)2 (16)216

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. (17) (本小题满分 12 分)

3 10 5 , cos ? ? 10 5 10 2 5 ?? , ? ? (0, ? ) ,? sin ? ? ,sin ? ? 10 5 1 (Ⅰ) tan ? ? ? , tan ? ? 2 3 1 ? ?2 tan ? ? tan ? 于是 tan(? ? ? ) = ? 3 ?1 2 1 ? tan ? tan ? 1? 3 (Ⅱ) f ( x) ? 2 sin( x ? ? ) ? cos( x ? ? )
解:由已知条件得 cos ? ? ?

4分

8分

3 5 5 5 2 5 sin x ? cos x ? cos x ? sin x 5 5 5 5 ? ? 5 sin x ??

f ( x) 的最大值为 5 .
(18) (本小题满分 12 分) 解:不妨设 AB 边长为 3 (Ⅰ)在图 1 中,取 BE 中点 G,连结 GD, ∵AE:AB=DC:AB=1:3,∴AE=EG=GB=DC=1
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12 分

又∵四边形 ABCD 为等腰梯形,即 AD=BC 且 CD//AB 0 ∴四边形 BCDG 是平行四边形,即 DG=BC=AD,而∠A=60 ∴△ADG 是正三角形,又 AE=EG=1,∴DE⊥AG 在图 2 中,EF⊥ED,BE⊥ED, ∴∠A1EB 为二面角 A1-EF-B 的平面角 4分 由题设条件知此二面角为直二面角, ∴EF⊥BE,又 BE ? DE ? E ∴EF⊥平面 BED,即 EF⊥平面 BEC
D C F

6分

D E 图2

C

A

E

图1

G

B

G

B

(Ⅱ)在图 2 中,由(Ⅰ)知 EF⊥平面 BEC,∴EF⊥BC 从而 BC 垂直于 EF 在平面 FBC 内的射影(三垂线定理的逆定理) 设 EF 在平面 FBC 内的射影为 FQ,且 FQ 交 BC 于点 Q, 则∠FQE 就是 EF 与平面 FBC 所成的角,且 BC⊥FQ 0 在△EBC 中,BE=EC=2 而∠EBC=60 , ∴△EBC 是等边三角形.又 EF⊥平面 BEC, ∴FB=FC, ∴Q 为 BC 的中点,且 EQ ? 3 ,又 EF=1, 在 Rt△EFQ 中, tan ?EFQ ?

EQ ? 3 ,∴∠EA1Q=60o, EF
0

∴直线 A1E 与平面 A1BP 所成的角为 60

12 分

(19) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设“从甲盒内取出的 2 个球均为红球”为事件 A , “从乙盒内取出的 2 个球均为红球”为事件 B . 由于事件 A, B 相互独立, 1分
2 C32 1 C4 2 且 P ( A) ? 2 ? , P ( B ) ? 2 ? . C6 5 C4 2

2分

故取出的 4 个球均为红球的概率为

2 1 1 P( A B) ? P( A· P( B) ? ? ? . · ) 5 2 5

4分

(Ⅱ)设“从甲盒内取出的 2 个球均为红球;从乙盒内取出的 2 个球中,1

个是红球,1 个是黑球”为事件 C , “从甲盒内取出的 2 个球中,1 个是红 球,1 个是黑球;从乙盒内取出的 2 个球均为红球”为事件 D .
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由于事件 C,D 互斥, 且 P(C ) ?

5分
1 2 1 4 2 3 2 4

C C C· C C 1 4 · ? , P( D) ? · ? . 2 C C 5 C6 C 15
2 4 2 6 1 3 2 4

7分

故取出的 4 个球中恰有 1 个黑球的概率为

1 4 7 P(C ? D) ? P(C ) ? P( D) ? ? ? . 5 15 15 (Ⅲ) ? 可能的取值为 0 1 2,. , 3 , 1 7 由(Ⅰ)(Ⅱ)得 P(? ? 0) ? , P(? ? 1) ? , , 5 15 1 1 C3 1 P (? ? 3) ? 2· 2 ? . C6 C4 30
从而 P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) ?

8分

? 的分布列为 ?
P
0 1 2

3 . 10

3

1 5

7 15

3 10

1 30
12 分

1 7 3 1 7 ? 的数学期望 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 5 15 10 30 6
(20) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? e ? ex ,所以 f ?( x) ? e ? k .
x x

由已知得 A (1, e ? k ) , 故 f ( x) 在点 A 的切线方程为 y ? (e ? k ) ? (e ? k )( x ? 1) 即 (e ? k )( x ? 1) ? y ? (e ? k ) ? 0 (Ⅱ)由 f ( ? x ) ? f ( x ) 可知 f ( x ) 是偶函数. 于是 f ( x ) ? 0 对任意 x ?R 成立 等价于 f ( x) ? 0 对任意 x≥ 0 成立. 由 f ?( x) ? e ? k ? 0 得 x ? ln k .
x x 1] ①当 k ? (0, 时, f ?( x) ? e ? k ? 1 ? k ≥ 0( x ? 0) .

6分

? 此时 f ( x) 在 [0, ?) 上单调递增.
故 f ( x) ≥ f (0) ? 1 ? 0 ,符合题意.

, ②当 k ? (1 ? ?) 时, ln k ? 0 .
当 x 变化时 f ?( x),f ( x) 的变化情况如下表:

x

(0, k ) ln
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ln k

(ln k, ?) ?

f ?( x) f ( x)

?
单调递减

0
极小值

?
单调递增

由此可得,在 [0, ?) 上, f ( x) ≥ f (ln k ) ? k ? k ln k . ? 依题意, k ? k ln k ? 0 ,又 k ? 1 ?1 ? k ? e . , 综合①,②得,实数 k 的取值范围是 0 ? k ? e . (21) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由 f ?( x) ? x ? a ,又 f ?(1) ? 2n ? 1,(n ? N )
*

12 分

1 2 x ? 2nx(n ? N * ) ; 2 ∵ bn ?1 ? f ?(bn ) ,∴ bn ?1 ? bn ? 2n 即 bn ?1 ? bn ? 2n
∴ a ? 2n ,即 f ( x) ? 由累加得 bn ? 0.25 ? n ? n
2

3分

∴ bn ? (n ? ) (n ? N ) ;
2 *

1 2

6分

(Ⅱ)∵由 an ?

1 1 ? (n ? N * ) bn (n ? 1 ) 2 2 1 1 1 1 1 ∴ ak ? ? ? ? ? (k ? 2) 1 1 k (k ? 1) k ? 1 k (k ? )2 k (k ? 1) ? 2 4 当 n ? 1 时,显然成立; 当 n ? 2 时, n 1 1 1 1 1 1 ? ak ? 4 ? [(1 ? 2 ) ? ( 2 ? 3) ? ? ? ( n ? 1 ? n )] ? 5 ? n ? 5 9 分 k ?1 1 1 1 , ak ak ?1 ? ? ? 1 1 1 1 (k ? )(k ? ) k ? k? 2 2 2 2

? ? ? ? ? ? ?1 1? ?1 1? ? 1 1 ? 1 ? ak ak ?1 ? ? 1 ? 3 ? ? ? 3 ? 5 ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? ? 2 ? 1 k ?1 ? ? ? ? ? n? n? ? n? ?2 2? ?2 2? ? 2 2? 2 所以不等式成立。 12 分 (22) (本小题满分 14 分)
n

(Ⅰ)解:设椭圆的方程为

x2 y2 ? =1(a> 2 ) 2 a2

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?a 2 ? c 2 ? 2 ? 由已知得 ? 解得 a = 6 , c =2, a2 ?c ? 2( ? c) c ? x2 y2 ? 所以椭圆的方程为 =1. 6 2 ? x2 y2 ? 1, ? ? 由方程组 ? 6 2 ? y ? k ( x ? 3), ?

5分

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可得 A(3,0).设直线 PQ 的方程为 y=k(x-3). 得(3k2+1)x2-18k2x+27k2-6=0,

6 6 <k< . 3 3 18 k 2 27 k 2 ? 6 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2= 2 ① x1x2= ② 3k 2 ? 1 3k ? 1
依题意 Δ=12(2-3k2)>0,得 ? 于是 y1y2=k2(x1-3)(x2-3)=k2[x1x2-3(x1+x2)+9] ∵ OP ? OQ =0,∴x1x2+y1y2=0. ④ ③

5 6 6 ∈( ? ). , 5 3 3 所以直线 PQ 的方程为 x ? 5 y-3=0 或 x+ 5 y-3=0.
由①②③④得 5k2=1,从而 k=± (Ⅲ)证明: AP =(x1-3,y1), AQ =(x2-3,y2).

10 分

? x1 ? 3 ? ? ( x2 ? 3)且 ? ? y1 ? ? y2 , 2 ? 2 5? ? 1 由已知得 ? x1 ? y1 ? 1且 注意 λ>1,解得 x2= , 2? 6 2 ? ?x 2 y 2 ? 2 ? 2 ? 1. 2 ? 6
因 F(2,0), M(x1,-y1), 故 FM =(x1-2,-y1)=(λ(x2-3)+1, ? y1)=( 而 FQ =(x2-2,y2)=(

? ?1 ,y2),所以 FM ? ?? FQ 2?

1? ? ? ?1 , ? y1)= ? λ( ,y2). 2 2?
14 分

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