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《单位圆任意角的正弦函数、余弦函数的定义》优质课


任意角的正弦函数、 余弦函数的定义

问题1 初中阶段正弦、余弦函数是如何定义 的?借助了什么几何图形?

锐角的正弦、余弦函数的定义:
斜边 对边

?

邻边

sin ? ? _____;cos ? ? _____ .
对边 斜边

邻边 斜边

问题2
?

前面我们学习了任意角,sin330°的值还是 直角三角形中330°的对边与斜边的比值吗

不是!

问题3 在直角坐标系中,锐角α的正弦函数、 余弦函数又是怎么样的呢 当点P(u,v) 就是 ? 的终边与单位圆的交点时,
锐角三角函数会有什么结果? 以原点为O圆心,以单位长度为半径的 y 圆叫做单位圆.
MP sin ? ? ? v, OP OM cos ? ? ? u, OP

P(u,v) O α M x

问题4 如何给任意角的正弦、余弦函数定义:
如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于 点P(u,v),那么我们规定:

(1)v叫做α的正弦,记作sinα,

即sinα=v; (2)u叫做α的余弦,记作cosα, 即cosα=u.
P(u,v) O

y α

A(1,0) x

问题5 关系式中谁是自变量? α、u、v的取值范

围分别是多少? α是自变量,三角函数u、v都是以角为自 变量,以单位圆上的点的坐标为函数值的 函数.
函数
v =sinα u =cosα

定义域 R R

值域 [-1,1] [-1,1]

问题6 如何将上述形式修改成我们 熟悉的y = f(x)的形式?
?y

= sin x ? y = cos x

x∈R,y ∈[-1,1] x∈R, y ∈[-1,1]

问题7 填写下列的表格(判断正负)

第一象限

第二象限

第三象限

第四象限

sinα

cosα

正弦、余弦函数值的符号
y

正弦为正 余弦为负
O

正弦、余弦

全为正 余弦为正
正弦为负

x

正弦、余弦 全为负

例1. 确定下列各三角函值的符号:

⑴ cos250°;⑵ sin(-π/4); ⑶ sin(-672°); ⑷ cos3π.
例2. 已知 sinθ<0且 cosθ>0,确 定θ角的象限。

? ?? 例3 在直角坐标系的单位圆中,

?
4

,

?; (2)求出角 ?的终边与单位圆的交点坐标; (3)求出角?的正弦、余弦函数值。
(1)画出角 (1)如图6,以原点为角的顶点,以 x 轴正 ? 半轴为始边,顺时针旋转 后 ,与单位圆交于 点P, ? ? ?MOP ? ?

y

M

x
1

o

?

? 4

P

? 4
4

即为所求作的角。
图6

y

? 的终边与单位圆的交点坐标; (3)求出角? 的正弦、余弦函数值。
(2)求出角

解: (2)由于 ? ? ?

? 点P在第四象限,
4 ,
2 2

M

o

?

? 4

1

P

所以点P的坐标为 ( 2 , ? 2 )
2 图6 ? 2 sin( ? ) ? ? ,cos( ? ) ? . (3)由任意角的三角函数定义,易得 4 2 4 2

?

sin330°等于 ____
点评:本例的目的是要熟悉角与单位圆的关系,巩固
并加深理解任意角的正弦、余弦函数的定义以及利用

单位圆解题,熟悉并善于利用数形结合的思想解题。

练习.已知角α的终边经过点P(2,-3),求角 α的正弦、余弦.
3 2 sin ? ? ? 13, cos ? ? 13. 13 13

变式1.设角? 的终边过点 P(4a, ?3a) ,其中 a ? 0 ,

则 sin ? ?

3 5

.

3 8? ,且 cos ? ? ? , 变式2. 若角 ? 的终边过点 P?a, 5 ?6 则 a ? ________ .

小结:

1.任意角的正弦、余弦函数的定义.
设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于 点P(u,v),则 sin ? ? v,cos ? ? u. 2.基本方法是定义法,关键是求出终边与单 位圆的交点。 3.解题时注重数形结合的数学思想。

作业 p.20

1,2,3.


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