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高2013届高三数学优化设计第二轮复习专题5-1空间几何体的三视图、表面积与体积


第1讲 空间几何体的三视图、表面积与体积

【考情快递】 考点统计 三视图 空间几何体的表面积 与体积 9 考查频度 8 考例展示 2012· 福建4,2012· 陕西 8,2012· 新课标全国7 2012· 江西7,2012· 广东 7,2012· 北京7

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1.空间几何体的三视图 思考1:识、记、画三视图的关键是什么? 研讨:要牢记三视图的观察方向和长、宽、高的关系.正视
图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上 方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形,反映了几何 体的各个侧面的特点.正视图反映物体的主要形状特征,是 三视图中最重要的视图;俯视图要和正视图对正,画在正视 图的正下方;侧视图要画在正视图的正右方,高度要与正视 图齐平.
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2.空间几何体的表面积与体积 思考2:如何解决几何体的表面积与体积问题?
研讨:(1)求几何体的表面积与体积问题,可以多角度、多方 位地考虑,熟记公式是关键.求三棱锥的体积,等体积转化 是常用的方法,转换原则是其高易求,底面放在已知几何体 的某一面上.(2)求不规则几何体的体积,常用分割或补形的 思想,将不规则几何体转化为规则几何体以便于求解.

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1.(2012· 福建)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等, 那么这个几何体不可以是 A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱 ( ).

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解析

考虑选项中几何体的三视图的形状、

大小,分析可得. 球、正方体的三视图形状都相同,大小均相 等,首先排除选项A和C.对于如图所示三棱 锥O-ABC,当OA、OB、OC两两垂直且OA =OB=OC时,其三视图的形状都相同,大小均相等,故排除 选项B. 不论圆柱如何放置,其三视图的形状都不会完全相同,故选 D.

答案 D
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2.(2012· 陕西)将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥,得到如 图(2)所示的几何体,则该几何体的左视图为 ( ).

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解析 还原正方体后,将D1,D,A三点分别向正方体右侧面 作垂线.D1A的射影为C1B,且为实线,B1C被遮挡应为虚线.
答案 B

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3.(2012· 新课标全国)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗 线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为 ( ).

A.6 B.9 C.12 D.18

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解析

结合三视图知识求解三棱锥的体积.由题意知,此几

1 何体是三棱锥,其高h=3,相应底面面积为S= 2 ×6×3=9, 1 1 ∴V=3Sh=3×9×3=9.

答案 B

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4.(2012· 安徽)某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积 是________.

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解析 将三视图还原为直观图求解.由几何体的三视图可 知,该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱(如图所示). 在四边形ABCD中,作DE⊥AB,垂足为E,则DE=4,AE= 3,则AD=5. 1 所以其表面积为:2× 2 ×(2+5)×4+2×4+4×5+4×5+ 4×4=92.
答案 92

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类型一 空间几何体的三视图 【例1】 若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何 体的体积是________cm3.

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[思路点拨]

先根据三视图画出其直观图,确定几何体的形

状,再求其体积.

[尝试解答]

由几何体的三视图可知,

该几何体由两个直四棱柱构成,其直 观图如图所示.上底面直四棱柱的长 是3 cm,宽是3 cm,高是1 cm,故其体 积为9 cm3,下底面直四棱柱的高是3

cm,长是1 cm,宽是3 cm,其体积为9 cm3. 故该几何体的体积为V=18 cm3.
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答案 18

[规律方法]

将三视图还原成直观图是解答该类问题的关键,

其解题技巧是对常见简单几何体及其组合体的三视图,特别 是正方体、长方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等几何体 的三视图分别是什么图形,数量关系有什么特点等都应该熟 练掌握.

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【变式训练1】 体积为

(2012· 广东)某几何体的三视图如图所示,它的 ( ).

A.12π B.45π C.57π D.81π

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解析

利用三视图还原几何体,结合直

观图求解. 由三视图知该几何体是由圆柱、圆锥两 几何体组合而成,直观图如图所示. 圆锥的底面半径为3,高为4,圆柱的底 面半径为3,高为5, ∴V=V圆锥+V圆柱= 1 3 Sh1+Sh2= 1 3

×π×32×4+π×32×5=57π.

答案 C
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类型二 空间几何体的表面积与体积 【例2】 如图所示,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD为正方形, PA⊥AD,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD 的中点.

(1)求证:BC∥平面EFG; (2)求三棱锥E-AFG的体积.

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[思路点拨] (1)可转化为证明BC∥EF. (2)利用VE-AFG=VG-AEF求解.
[尝试解答] EF∥AD. 又∵ABCD为正方形, ∴BC∥AD,∴BC∥EF. 又∵BC?平面EFG,EF?平面EFG, ∴BC∥平面EFG. (1)证明 ∵E,F分别是线段PA,PD的中点,∴

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(2)∵平面PAD⊥平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD.CD⊥AD, ∴CD⊥平面PAD,即GD⊥平面AEF. 又∵EF∥AD,PA⊥AD, ∴EF⊥AE. 1 又∵AE=EF=2AD=1, 1 GD=2CD=1, 1 1 1 1 ∴VEAFG=VGAEF=3×S△AEF×GD=3×2×1×1×1=6.
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[规律方法]

(1)直接法:直接利用几何体的体积计算公式进行

几何体的体积计算.(2)转换法:当所给几何体的体积不能直 接运用公式或直接运用公式不容易求出时,常常是转换一下 几何体中有关元素的相对位置进行计算求解.(3)分割法:在 求解一些不规则的几何体的体积以及两个几何体的体积之比 时,常常需要用到分割法.(4)补形法:补形的方法可将不规 则的几何体转化成规则的几何体.这也是求多面体体积的常 用方法.

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【变式训练2】 (2012· 山东)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱 长为1,E,F分别为线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1- EDF的体积为________.

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解析 利用三棱锥的体积公式直接求解. 1 1 1 1 VD1-EDF=VF-DD1E=3S△D1DE· AB=3×2×1×1×1=6.

1 答案 6

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类型三 多面体与球 【例3】 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面, 已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的高为 3,底面周长为3,那么这个球的体积为________.

[思路点拨]

先根据已知条件及球与正六棱柱的关系求出球的

半径,再利用球的体积公式易求结果.

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[尝试解答] ∵底面是正六边形, 1 ∴边长为2.∴AD=1.

AD1为球的直径,其长度为 3+1=2,∴R=1. 4 3 4π ∴V=3πR = 3 .

4π 答案 3
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[规律方法]

(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过

球心及多面体中的特殊点或线作截面,把空间问题化归为平 面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系.(2) 若球面四点P、A、B、C构成的线段PA、PB、PC两两垂直, 且PA=a,PB=b,PC=c,则4R2=a2+b2+c2.

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【变式训练3】 (1)(2012· 新课标全国)已知三棱锥S-ABC的所有 顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为 球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为 2 3 2 2 A. 6 B. 6 C. 3 D. 2
(2)(2012· 新课标全国)平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球 心O到平面α的距离为 2,则此球的体积为 A. 6π B.4 3π C.4 6π D.6 3π ( ).

(

).

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解析

(1)利用三棱锥的体积变换求解.

由于三棱锥S-ABC与三棱锥O-ABC 底面都是△ABC,O是SC的中点,因此 三棱锥S-ABC的高是三棱锥O-ABC 高的2倍, 所以三棱锥S-ABC的体积也是三棱锥 O-ABC体积的2倍. 在三棱锥O-ABC中,其棱长都是1,如图所示, 3 3 2 S△ABC= 4 ×AB = 4 ,
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高OD=

1

2

? -? ? ?

6 3? 2 ? =3, 3? ?

1 3 6 2 ∴VS -ABC=2VO -ABC=2×3× 4 × 3 = 6 . (2)利用截面圆的性质先求得球的半径 长. 如图,设截面圆的圆心为O′,M为截面 圆上任一点,则OO′= 2,O′M=1, ∴OM= ? 2?2+1 = 3 ,即球的半径为 4 3,∴V=3π( 3)3=4 3π. 答案 (1)A (2)B
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三视图识图不准致误

通过分析近几年的高考试题可以看出,对于空间几何体的 表面积与体积,考查由原来的套用简单公式渐渐变为考查三视 图及柱、锥与球的接切问题,特别是已知空间几何体的三视图 求表面积、体积是近两年高考考查的热点,题型一般为选择题 或填空题.

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【典例仿真】

(满分5分)某空间几何体的三视图如下图所示, ( ).

则该几何体的体积是
1 A.3 C.1 2 B.3 D.2

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[规范解答]

由三视图,可知该空间几何体是底面为直角三角

形的直三棱柱,直角边长分别为1和 2,三棱柱的高为 2,则 1 该几何体的体积为V=2×1× 2× 2=1.故选C. 答案 C

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易错提示:解本题易出现的错误有:(1)还原空间几何体形状时 出错,不能正确判断所对应的几何体;(2)计算时不能准确把 三视图中的数据转化为对应几何体中的线段长度,尤其是侧 视图中的数据处理很容易出错.

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防范措施:(1)在由三视图还原空间几何体的实际形状时,要从 三个视图综合考虑,注意空间几何体的可见轮廓线在三视图 中为实线,不可见轮廓线为虚线. (2)通过三视图的数据对应出空间几何体的相关数据,从而求 出表面积和体积. (3)揭示空间几何体的结构特征,包括几何体的形状、平行、 垂直等结构特征,这些正是数据运算的依据.

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