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弹性力学综合题及其解题提示

CK07 弹性力学基础综合训练 1. 基本概念

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(1) 什么是体力、面力和应力?其方向是如何规定的?试画出正、负 y 面上正的应力和正 的面力,写出平面问题应力分量满足的 Cauchy 公式。

? lσ x + m τ xy = f x ( s ) ?σ x τ xy ? ? l ? ? f x ? ? ?τ ? ? ?=? ? ?? ? m σ y + lτ yx = f y ( s ) ? yx σ y ? s ? m ? ? f y ? s ? ? ?
(2) 弹性力学有哪些基本假定(6 个)? 1) 连续性假设:物体内物理量-用连续函数表示 2) 线弹性假设:物体服从胡克定律-弹性常数不变 3) 均匀性假设:物体由同一材料组成-材料常数不变 4) 各向同性假设:物体内任一点弹性性质各向同性-弹性常数不随方向而变 --符合以上四个假定的物体称为理想弹性体 5) 小变形假设:微小位移和应变-尺寸不变-可略去高阶小量-方程线性化 6) 无初始应力假设:物体处于自然状态-求解应力仅由外力或温度改变而产生 (3) 已知物体的边界形状、材料性质、体力和边界约束,如何求解应力、形变和位移? (4) 弹性力学的两类平面问题是什么? 等厚度薄板,只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力或约束,同时, 体力也平行于板面且不沿厚度变化。这类问题即为平面应力问题 平面应力问题。 平面应力问题 很长的柱形体,其横截面不沿长度变化,在柱面上受平行于横截面且不沿长度变化 的面力或约束,同时,体力也平行于横截面且不沿长度变化,这类问题即为平面应 平面应 变问题。 变问题 平面应力问题的物理方程为:

εx =

1 1 2(1 + ? ) (σ x ? ?σ y ) , ε y = (σ y ? ?σ x ) , γ xy = τ xy E E E

平面应变问题的物理方程为:

εx =

1 ? ?2 1 ? ?2 2(1 + ? ) ? ? (σ x ? (σ y ? σy) , εy = σ x ) , γ xy = τ xy E 1?? E 1?? E

(5) 圣维南原理的基本内容是什么?写出与主矢和主矩对应的静力等效条件。 圣维南原理指出:作用在物体表面上一个局部区域内的平衡力系(主矢量为 0,对于同 一点的主矩也为 0),可以用一个与之静力等效的任意力系来代替,由他们产生的应力 分布在力系作用区域内有显著不同,在离开力系作用区域相当远的范围内,其应力分 布几乎是相同的(可忽略不计)。
1

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h 0 , ?2h (τ xY ) x = 0 dy 2



h 2 ? h (σ x ) x = 0 dy 2

=



=

h 0 , ?2h (σ x ) x = 0 2



ydy = ? M

(6) 什么是位移法和应力法?写出其求解过程。 (7) 写出平面应力问题和常体力情况下的平面问题的求解过程。 (8) 什么是逆解法和半逆解法?比较其求解过程。 (9) 在单连体中,应力函数应满足哪些条件? (10) 分别写出直角坐标和极坐标下的基本方程、边界条件和 Laplace 算符。 2. 证明函数φ

= qρ 2 cos 2? 可以作为应力函数。(解题提示:验证是否满足相容方程)

? 4φ = 0

1 ? 2φ 1 ? 1 ? 2 ? 2 φ 1 ?φ ( 2+ )( )=0 + + + ρ ?ρ ρ 2 ?? 2 ?ρ 2 ρ ? ρ ρ 2 ?? 2 ?ρ
?2
Q ? 2φ ?ρ 2
? 2φ

= 2q cos 2?

1 ?φ 1 ? 2φ = 2q cos 2? , 2 = ?4q cos 2? 2 ρ ?ρ ρ ??

1 ?φ 1 ? 2φ ) = 2q cos 2? + 2q cos 2? ? 4q cos 2? = 0 ∴( 2 + + ρ ?ρ ρ 2 ?? 2 ?ρ
故有:? 4φ = 0 ,该函数可以作为应力函数。 3. 检验函数 φ ( x , y ) = Ay 3 + Bx 2 能否作为应力函数;若能,试求应力分量(不计体力) ;指

出该应力函数所能解决如图所示矩形板的何种受力问题(用边界面力分布图表示)。

(解题提示:验证是否满足相容方程,写出应力分量,分析边界条件) 解(1)检验函数: 相容方程: ? 4φ = ? 4φ ? 4φ ? 4φ + 2 2 2 + 4 = 0, ?x 4 ?x ?y ?y
2

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Q

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? 4φ ? 4φ ? 4φ = 0, 2 2 = 0, 4 = 0 ?x 4 ?x ?y ?y

可见满足相容方程,故该函数可作为应力函数。 ? 2φ ? 2φ ? 2φ (2)应力分量: σ x = 2 = 6 Ay , σ y = 2 = 2 B , τ xy = ? =0 ?y?x ?y ?x (3)板边面力
h 上下边界 y = ± , σ y= 2 B , τ xy = 0 2

左边界 (σ x ) X = 0 = 6 Ay , (τ xy ) x = 0 = 0 右边界 (σ x ) X = l = 6 Ay , (τ xy ) x = 0 = 0

4. 图中的梁受到均布荷载的作用,试用下面应力表达式求解其他应力。

(l>>h,δ=1) (解题提示:根据题意,按应力求解,平衡微分方程,相容方程,主要/次要边界条件) 题意要求按照应力解法。在应力解法中,需要验证应力分量满足 ① 平衡微分方程:

? ?σ x ?τ yx ? ?x + ? y + f x = 0 ? ? ? ?σ y + ?τ xy + f = 0 y ? ?y ?x ?
?f y ? ? ?f ?=0 ② 相容方程:? 2 (σ x + σ y ) = ? (1 + ? )? x + ? ?x ?y ? ? ? ③ 在主要边界上:

h y=± 2
h 2 h y=+ 2 y=?

τ xy = 0
σ y = ?q

2 3q ? ? C1 = ? ? 6 q ? h + C1 ? x = 0 2h ? h3 4 ? ? ? q 2q h 3 h C2 = ? ? 3 ? + C1 + C 2 = ? q 2 2 h 8

σ y = 0 ,将 C1,C2 代入后满足。
3

CK07 弹性力学基础综合训练 将 C1,C2 代入应力表达式得到应力公式:

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σx =?

2qy

? ? 1 3 y 2 y 3 ?? σ y = ? q? ? + 3 ? ? ? 2 2h h ? ? ?? ? ? ? 3qx ? 4 y 2 ? τ xy = ? 1? ? ? 2h ? h 2 ? ? ?
④校核边界条件:将次要边界条件代入应力公式

(3 x 2 ? 2 y 2 ) ? 3 ? h

?

x = 0 τ xy = 0
其主矢量为:

σx =

4qy 3 h3

x=l

3ql ? 4 y ? 1 ? ,其主矢量为:∫ h / 2 τ dy = ? ql ? h2 ? ? h / 2 xy x = 0 2h ? ? h/ 2 q σ x = ? 3 6l 2 y ? 4 y 3 ,其主矢量为: ∫? h / 2 σ x dy = 0 h ? ql 2 qh2 ? h/ 2 ? ? 其主矩为: ∫ h / 2 σ x ydy = ? ? ? ? 2 20 ? ? ?

τ xy =

h/ 2 ∫? h / 2σ x dy ? 2 ?

=0

h/ 2 ,其主矩为: ∫ σ ydy = ?h / 2 x

qh2 20

(

)

(解题提示:写出平面法向方向余弦,代入 Cauchy 公式得出法向应力分量,求解正/剪应 力,求解主应力行列式,求解方向余弦的齐次行列式) (1) 求平面 x+3y+z=1 的法线的方向余弦: (2) 将各应力分量及方向余弦代入 Cauchy 公式得:
X N = lσ x + m τ yx + nτ zx = 1.508MPa Y N = lτ xy + m σ y + nτ zy = 2.111MPa

Z N = lτ xz + m τ yz + nσ z = 0.905MPa

(3) 求斜面上的正应力及剪应力:

σN = XN ? l +YN ? m+ZN ? n= 2.637MPa
2 2 2 2 τ N = ( X N + YN + Z N ) ? σ N = 0.771MPa

(4) 计算主应力,将各应力分量代入主应力行列式得:

?σ 1 2

1 2 ?σ 0

2 0 =0 1?σ

4

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展开得

(σ ? 3)(σ 2 ? 3) = 0

解得 σ 1 = 3MPa , σ 2 = 1.732MPa , σ 3 = ?1.732MPa (5) 计算主应力方向:将各主应力及各应力分量代入方向余弦的齐次方程组得出:

σ x ?σ τ yx τ zx
解得各主应力方向:

τ xy σ y ?σ τ zy

τ xz τ yz σz ?σ

=0

( l1 , m1 , n1 ) = ( ?0.5774,?0.5774,?0.5774) & (0.5774,0.5774,0.5774)

( l 2 , m2 , n2 ) = (0.211,?0.787,0.576) & ( ?0.211,0.787,?0.576)

( l3 , m3 , n3 ) = (0.789,?0.211,?0.576) & ( ?0.789,0.211,0.576)
可见主应力方向是相互正交的。 6. 如图所示的矩形薄板,给出如下的函数,试分别检验它们能否作为应力函数?若能, 试写出应力分量(不计体力),并利用边界条件求出面力,并画在图中(假定 a>0,b>0)。 (1) φ= a (x3 + y2) ; (2) φ= a x4+by3

(解题提示:验证是否满足相容方程,若满足即可代入应力函数表达的应力分量公式)
对于(1)φ= a (x3 + y2)代入相容方程得:

? 4φ =

? 4φ ? 4φ ? 4φ + 2 2 2 + 4 = 0, 满足,可作为应力函数。 ?x 4 ?x ?y ?y

? 2φ ? 2φ ? 2φ σ x = 2 = 2a , σ y = 2 = 6ax , τ xy = ? = 0, ?y?x ?y ?x
对于(2) φ= a x4+by3,代入相容方程 ?
4

φ=

? 4φ ? 4φ ? 4φ + 2 2 2 + 4 = 24a ≠ 0, ?x 4 ?x ?y ?y

可见,不满足相容方程,故不能作为应力函数。

其压力为 q。 (1)若在该处开挖一半径为 7. 弹性地基深度为 H 的某点处于静水压力状态, a 的圆形坑道,a<<H ,试求坑道周围岩体中的应力和坑道边壁的应力。(2)如果坑道充水,
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水压力为 p, 试求在这种情况下坑道周围岩体中的应力和坑道边壁的应力。 (解题提示:写出拉梅公式,
R2

σρ = ?

ρ2

?1 q1 ?

1?

r2

R2 q2 , σ ? =

ρ2

ρ2

+1 q1 ?

1+

r2

ρ2

R2 ?1 r2

r2 1? 2 R

R2 ?1 r2

r2 1? 2 R

q2

根据题设要求,解决不同条件下的厚壁筒问题) 已知弹性体拉梅解答公式:

R2

σρ = ?

ρ2

?1 q1 ?

1?

r2

R2 q2 , σ ? =

ρ2

ρ2

+1 q1 ?

1+

r2

ρ2

R2 ?1 r2

r2 1? 2 R

R2 ?1 r2

r2 1? 2 R

q2

(1) 该问题可看成内压 q1=0,外压 q2=q, r=a,R→∞的厚壁筒问题,则坑道周围的应力 为:

σ ρ = ?(1 ?

a2

ρ

)q , σ ? = ? (1 + 2

a2

ρ2

)q, τ ρ? = 0

在坑道边壁(ρ=a)的应力为:

σ ρ = 0 , σ ? = ?2q, τ ρ? = 0
(2) 该问题可看成内压 q1= p , 外压 q2=q, r=a, R→∞的厚壁筒问题, 则坑道周围的应力为:

σρ = ?

a2

ρ2

p ? (1 ?

a2

ρ

)q , σ ? = 2

a2

ρ2

p ? (1 +

a2

ρ2

)q, τ ρ? = 0

在坑道边壁(ρ= a)的应力为:

σ ρ = ? p , σ ? = p ? 2q , τ ρ? = 0
8. 如图所示,半平面体表面受均布剪力 q,试用应力函数 φ = ρ 2 ( A sin 2? + c? ) 求解应力 分量。

(解题提示:利用应力函数的极坐标公式求解应力分量表达式,利用边界条件确定待定系 数,最后写出应力分量)
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解:应力分量为:

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σρ =

1 ?φ 1 ? 2φ ? 2φ + 2 = 2c? ? 2 A sin 2? , σ ? = = 2c? + 2 A sin 2? , ρ ?ρ ρ ?? 2 ?ρ 2
? 1 ?φ ( ) = ?2 A cos 2? ? c ?ρ ρ ??

τ ρ? = ?

边界条件:

? = 900 , τ ρ? = q, 得: 2 A ? c = q
? = 90 0 , σ ? = 0, 得: c = 0
解得:A=q / 2 , C = 0 应力分量: σ ρ = ? q sin 2? ,

σ ? = q sin 2? , τ ρ? = ? q cos 2?

9. 已知如图所示矩形薄板,离边界较远处有半径为 a 的小圆孔,左右板边受均布拉力 q 作用,上下板边受均布压力 q 作用时板内应力分布为

σ ρ = q(1 ?

a2

ρ2

)(1 ? 3

a2

ρ2

) cos 2? , σ ? = ? q cos 2? (1 + 3

a4

ρ4

)τ ρ? = ? q(1 ?

a2

ρ2

)(1 + 3

a2

ρ2

) sin 2?

。若该带小圆孔的矩形板在边界受纯剪切力 q 作用,如图所示,求板内应力分布,并求出孔 边的最大正应力。
q

q

q

q
q

x

q

q

x
450

x

q

y

y
y

(解题提示:由纯剪切的应力状态可知,在与 x 轴成 450(-450)的斜面上,只作用有集度为 q 的均匀拉力或压力,因此,将坐标顺时针转动 45,以(φ-450)代入公式中的 φ,利用极坐标 公式即得开孔的矩形板在边界受纯剪切力 q 作用时板内应力分量,再根据题设边界条件求出 板内应力分布及孔边最大正应力) 解:由纯剪切的应力状态可知,在与 x 轴成 450(-450)的斜面上,只作用有集度为 q 的均匀拉力或压力,因此,将坐标顺时针转动 45,以(φ-450)代入公式中的 φ,即得开孔 的矩形板在边界受纯剪切力 q 作用时板内应力分量为:

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σ ρ = q(1 ?

a2

ρ

)(1 ? 3 2

a2

ρ

) cos 2(? ? 2 a4

π
4

) = q(1 ? a4

a2

ρ

)(1 ? 3 2

a2

ρ2

) sin 2? ,

q
q

σ ? = ? q cos 2(? ? τ ρ? = ? q(1 ?
a
2 2

π
4

)(1 + 3 a
2 2

ρ

4

) = ? q(1 + 3

ρ

4

) sin 2? a
2 2

q
x

ρ

)(1 + 3

ρ

) sin 2(? ?

π
4

) = q(1 ?

ρ

)(1 + 3

a

2

ρ2

) cos 2?

45 0
q

y

孔边应力(ρ=a) σ ρ = 0, σ ? = ?4q sin 2? , : 当 φ= -450, σ ? max = 4q

τ ρ? = 0

10. 试 检 验 在 平 面 应 变 情 况 下 , 应 变 状 态 εx

= ky( x 2 + y 2 ) , ε = 1 y 3 , y 3

γ xy = 2kxy 2 是不可能存在的应变(k 为常数)。(解题提示:验证是否满足变形协调条件)
变形协调条件
2 2 ? 2 ε x ? ε y ? γ xy + = ?x?y ?y 2 ?x 2

(4 分)

? 2ε y ? 2 γ xy ? 2ε x Q = 6ky , = 0, = 4ky ?x?y ?x 2 ?y 2
2 ? 2γ xy ? 2ε x ? ε y ∴ 2 + = 6ky ≠ = 4ky ?x?y ?y ?x 2

可见不满足变形协调条件,故该应变状态不可能存在。 11. 检验函数 φ( x , y ) = ?
a1 3 a 2 2 y + y 能否作为应力函数;若能,试求应力分量(不计 6 2

体力) ;并画出图示杆件上的面力,指出该应力函数所能解决的问题。

(解题提示:验证是否满足相容方程,写出应力分量,依据边界条件和 Cauchy 方程求解
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CK07 弹性力学基础综合训练 面力,并作图)
(1)检验函数相容方程:

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? 4φ =

? 4φ ? 4φ ? 4φ + 2 2 2 + 4 = 0, ?x 4 ?x ?y ?y

? 4φ ? 4φ ? 4φ Q 4 = 0, 2 2 = 0, 4 = 0 ?x ?x ?y ?y
可见满足相容方程,故该函数可作为应力函数。 (2)应力分量:

σx =

? 2φ ? 2φ ? 2φ = ? a 1 y + a 2 , σ y = 2 = 0, τ xy = ? =0 ?y?x ?y 2 ?x
h , σ y = 0, τ xy = 0, → f x = f y = 0 2

(3)板边面力:上下边界 y = ±

左边界 m = 0, l = ?1 , → f x = ? σ x = a 1 y ? a 2 , f y = 0 右边界 m = 0, l = 1 , → f x = σ x = ? a 1 y + a 2 , f y = 0

a2 ?

a1 h 2 a1 h 2

a2 +

(4)可见,该应力函数可以解决图示两端受梯形荷载作用的拉伸问题。

12. 按要求作图:(1) 画出图 1 中三角形薄板的负的体力和各个边界上负的面力分量的 方向;(2) 画出图 2 中矩形薄板各个边界上正的应力分量的方向。

(解题提示:根据弹性力学各种力的方向规定)

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13. 简述圣维南原理,利用圣维南原理写出悬臂梁自由端的三个积分的应力边界条件。

远处的应力改变极小,其影响可以不计: F x = 0, F y = ? P , M = 0 图示自由端的三个积分的应力边界条件为:



h 2 ?h 2

(σ x ) x = 0 dy = Fx = 0,



h 2 ?h 2

(σ x ) x = 0 ydy = 0,



h 2 ?h 2

(τ xY ) x = 0 dy = ? F y = P

14. 矩形薄板内距边界较远的某一点处,应力分量为 σx =σy=-2q,τ= q,如果在该处开 一个小圆孔,试求孔边的最大与最小应力。

(解题提示:写出主应力,均布荷载下的孔边应力状态,在根据条件求解最直应力) (解答见 20 题) 15. 按应力求解平面问题时,应力分量σx, σy, τxy 应满足哪些条件?检验在不计体力 的情况下,σx = qy, σy = q x2/a2,τxy = 0 是否是图 4 所示问题的解答?并说明理由。

答:按应力求解平面问题时,应力分量σx, σy, τxy 应满足: (1)平衡微分方程; (2)相容方程

? 2 (σ x + σ y ) = ? (1 + ? )(

?f x ?f y ); + ?x ?y

(3)应力边界条件; (4)若为多连体,还应满足位移单值条件。
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将σy = qx /a , σx = qy, τxy = 0 代入相容方程:
2 2

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? 2 (σ x + σ y ) = (

qx 2 2q ?2 ?2 + 2 )(qy + 2 ) = 2 ≠ 0 2 a a ?x ?y

可见,应力分量不满足相容方程,故不是问题的解。

16. 图 示 矩 形 平 板 , 上 边 缘 只 受 正 应 力 作 用 , 下 边 缘 为 自 由 表 面 , 设 应 力 分 量 为

2 1 σ x = qx 2 y ? qy 3 , σ y = qy 3 ? c1 y + c 2 , τ xy = ? qxy 2 + c1 x ,若体力为零,试证明应力 3 3
分量满足平衡微分方程,并确定常数 C1 和 C2。

A

B

D

C

(解题提示:验证是否满平衡微分方程,根据边界条件确定未知系数) (1) 证明: 将应力分量代入平衡微分方程

?σ x ?τ xy + + f x = 0, ?x ?y ?σ y ?τ xy + + fy = 0 ?y ?x

Q

?σ x ?τ xy + + f x = 2qxy ? 2qxy + 0 = 0, ?x ?y ?σ y ?τ xy + + f y = (qy 2 ? c1 ) + ( ? qy 2 + c1 ) + 0 = 0 ?y ?x

所以,满足平衡方程。 (2) 确定常数 根据边界条件来确定 C1、C2 h qh 2 在 y=h/2 边界:τxy=0,得 ? qx ( ) 2 + c1 x = 0, → c1 = 2 4 q h h qh 3 在 y=-h/2 边界:σy=0,得 ( ? ) 3 ? c1 ( ? ) + c 2 = 0, → c 2 = ? 3 2 2 12
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CK07 弹性力学基础综合训练 则应力分量为

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h2 h3 1 h2 2 y ? ), τ xy = qx ( ? y ) 2 σ x = qx 2 y ? qy 3 , σ y = q( y 3 ? 3 3 4 12 4
?ε x = A0 + A1 ( x 2 + y 2 ) + x 4 + y 4 ? 17. 已知下述应变状态 ?ε y = B0 + B1 ( x 2 + y 2 ) + x 4 + y 4 是物体变形时产生的, 试求各系数 ? γ = C + C xy( x 2 + y 2 + c ) 0 1 2 ? xy

之间应满足的关系。 (解题提示:对于应变状态,物体变形必然满足变形协调方程,建立方程组求解系数)
解:Q 所给应变状态是在物体变形时产生的,所以必然满足变形协调方程: .
2 2 ? 2 ε x ? ε y ? γ xy + = ?x?y ?y 2 ?x 2

将所给应变分量代入该方程得:

(12 ? 3c1 ) x 2 + (12 ? 3c1 ) y 2 + ( 2 A1 + 2 B1 ? C 1C 2 ) = 0
则得:

12 ? 3c1 = 0

2 A1 + 2 B1 ? C 1C 2 = 0
即:

C1 = 4 ? ? ? A1 + B1 ? 2C 2 = 0

即为各系数间应满足的关系式。

18. 图示矩形薄板受纯剪切作用, 剪应力为 q, 如果在距板边较远处有一半径为 a 的小孔, 试求孔边的最大与最小应力。

(解题提示:写出矩形板受均布对边拉力作用时圆孔附近的应力状态极坐标表达式,代入 具体应力,根据题设确定最值应力)
解:已知:图示矩形板在两对边受均布拉力作用时,圆孔附近的应力状态为:

σρ =

q1 + q 2 q ? q2 r2 r2 r2 (1 ? 2 ) + 1 cos 2?(1 ? 2 )(1 ? 3 2 ) 2 2 ρ ρ ρ

q1 + q 2 q1 ? q 2 r2 r4 (1 + 2 ) ? cos 2?(1 + 3 4 ) σ? = 2 2 ρ ρ τ ρ? = ? q1 ? q 2 r2 r2 (1 ? 2 )(1 + 3 2 ) sin 2? 2 ρ ρ

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对于纯剪状态,其主应力为

σ1 = ± q ,转换为一对边受均布拉力,一对边受均布压力作用的问题。则 q1 = σ2
a2 a2 )(1 ? 3 2 ), ρ2 ρ a4 ), ρ4

q , q2 = -q 代入上式求得圆孔周围的应力为:

σ ρ = q cos 2?(1 ?

σ ? = ? q cos 2?(1 + 3 τ ρ?

a2 a2 = ? q sin 2?(1 ? 2 )(1 + 3 2 ) ρ ρ

孔边应力为 ρ = a 处:σ ρ = 0, σ ? = ?4q cos 2?, τ ρ? = 0 当 cos 2?= ± 1 时得孔边的最大最小应力为 4q , -4q 。

19. 已知位移分量为: u = by +
们能否满足变形协调方程。

b a 2 2 y x ,v = x 2 y 2 + ax ,试求板内的形变分量,并指出它 2 2

εx =

?u = axy 2 , ?x

εy =

?v = bx 2 y , ?y

γ xy =

?u ?v + = b + ayx 2 + bxy 2 + a ?y ?x

2 2 ? 2 ε x ? ε y ? γ xy 变形协调方程: + = ?x?y ?y 2 ?x 2

? 2ε y ? 2 γ xy ? 2ε x Q = 2ax , = 2by , = 2ax + 2by ?x 2 ?x?y ?y 2 ∴
2 ? 2 γ xy ? 2ε x ? ε y ,可见满足变形协调方程。 + = 2ax + 2by = ?x?y ?y 2 ?x 2

20. 矩形薄板内距边界较远的某一点处,应力分量为 σx =σy=-2q,τ= q,如果在该处开 一个小圆孔,试求孔边的最大与最小应力。 (解题提示:写出主应力,均布荷载下的孔边应力状态,在根据条件求解最直应力) 该点的主应力为:

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σx ?σ y 2 σ1 σ x + σ y ? 3q ) + τ 2 xy = ?2q ± q = = ± ( 2 2 σ2 ?q
于是 q1 =-3q,q2 =-q 。 已知图示矩形板在两对边受均布拉力作用时,圆孔附近的应力状态为:

q1 + q2 r2 q1 ? q2 r2 r2 (1 ? 2 ) + cos 2? (1 ? 2 )(1 ? 3 2 ) σρ = 2 2 ρ ρ ρ

q1 + q2 q1 ? q2 r2 r4 (1 + 2 ) ? cos 2? (1 + 3 4 ) σ? = 2 2 ρ ρ

τ ρ?

q1 ? q2 r2 r2 (1 ? 2 )(1 + 3 2 ) sin 2? =? 2 ρ ρ
r2 r2 r2

将 q1 =-3q,q2 =-q 代入上式得圆孔周围的应力:

σ ρ = ?2q(1 ? σ ? = ?2q(1 + τ ρ? = q(1 ?
当ρ

ρ2
r2

) ? q cos 2? (1 ?

ρ2

)(1 ? 3 )

ρ2

)

ρ

) + q cos 2? (1 + 3 2 r2

r4

ρ4

r2

ρ2

)(1 + 3

ρ2

) sin 2?

= r , 孔壁应力为:σ ρ = 0, σ ? = ?4q(1 ? cos 2? ), τ ρ? = 0

当 cos 2? = -1 时,孔壁最小应力为-8q; 当 cos 2?

= 1 时,孔壁最大应力为 0。

21. 某工程欲在距地表深度为 H 位置开挖一半径为 d 的隧道(d<<H) ,测得该位置的地应 力为水平应力σx = -10MPa,垂直应力σy = -14 MPa,τxy =0。试按弹性理论求隧道周 围岩体中的应力,并说明最大应力和最小应力出现在隧道的什么部位。

地表

H

x y
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(解题提示:写出矩形板受均布对边拉力作用时圆孔附近的应力状态极坐标表达式和主应 力,得出巷道周围应力,根据题设确定最值应力)
解:图示矩形板在两对边受均布拉力作用时,圆孔附近的应力状态为:

q1 + q2 r2 q1 ? q2 r2 r2 (1 ? 2 ) + cos 2? (1 ? 2 )(1 ? 3 2 ) σρ = 2 2 ρ ρ ρ

σ? = τ ρ?

q1 + q2 r2 q ?q r4 (1 + 2 ) ? 1 2 cos 2? (1 + 3 4 ) 2 2 ρ ρ

q1 ? q2 r2 r2 (1 ? 2 )(1 + 3 2 ) sin 2? =? 2 ρ ρ

q1 = σ x = ?10 MPa, q 2 = σ y = ?14 MPa 代入上式得隧道周围的应力:

σ ρ = ?12(1 ? σ ? = ?12(1 + τ ρ? = ?2(1 ?
当 ρ = d , 隧道壁应力为:σ
ρ
0

d2

ρ ρ

) + 2 cos 2? (1 ? 2

d2

ρ

)(1 ? 3 2 )

d2

ρ2

)

d2 d2

) ? 2 cos 2? (1 + 3 2 )(1 + 3 d2

d4

ρ4

ρ2

ρ2

) sin 2?

= 0, σ ? = ?8( 3 + cos 2? ), τ ρ? = 0

当 cos 2? = ?1, 即? = ±90 (顶底)孔壁最大应力为 ? 16 MPa , 顶底) ,

cos 2? = 1, 即? = 0 0,? = 180 0 (两侧)孔壁最小应力为 -32 MPa。 两侧)
可见在隧道两侧的压应力值最大为 32MPa,顶部压应力为 16MPa

22. 设有任意形状的薄板,其表面自由并与 oxy 坐标面平行。若已知各点的位移分量为: u= ?p 1?? 1?? x, v = ?p y ,试求板内的应变分量和应力分量。 E E

(解题提示:利用几何方程、物理方程求解) 由几何方程可求得 oxy 平面内的应变分量为:
εx = 1?? 1?? ?u ?v ?u ?v ,εy = , γ xy = =?p =?p + =0 E E ?x ?y ?y ?x

由物理方程可求得应力分量为:
σx = E E E (ε x + ?ε y ) = ? p , σ y = [ε y + ?ε x ] = ? p , τ xy = γ xy = 0 2 2 2(1 + ? ) 1?? 1? ?
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CK07 弹性力学基础综合训练 而 Z 方向的应变为: ε z = ?
2? ? [σ X + σ Y ] = p E E

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23. 图示为一受均布荷载的简支梁,已知材料力学的解答为

3q( l ? 2 x ) h 2 6qx ( ? y2 ), σ x = 3 ( l ? x ) y , σ y = 0 τ xy = 3 4 h h
试检验上式能否作为弹性力学解答(不计体力)?(18 分)

第 2 题图 解:将应力分量代入平衡微分方程:

?σ x ?τ xy + + f x = 0, ?x ?y ?σ y ?τ xy + + fy = 0 ?y ?x

?σ x ? 6qx 6qly 12qxy [ 3 (l ? x ) y] = 3 ? , = ?x ?x h h h3 ?τ xy ?y
?τ xy ?x
Q

?σ y ?y

=0

=
=

6q( l ? 2 x ) y ? 3q( l ? 2 x ) h 2 [ ( ? y 2 )] = ? 4 ?y h3 h3
6q h 2 ? 3q( l ? 2 x ) h 2 [ ( ? y 2 )] = ? 3 ( ? y 2 ) 4 ?x h3 h 4

?σ x ?τ xy + + f x = 0, ?x ?y ?σ y ?τ xy + + fy ≠ 0 ?y ?x

所以,材料力学解答不满足平衡微分方程,故不能作为弹性力学解答。

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