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【名校专题攻略】2012高考专题复习第一部分 专题一 第1讲 集合与简易逻辑 专题训练

第一部分

专题一

第1讲

集合与简易逻辑

(限时 60 分钟,满分 100 分) 限时 分钟, 一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题 6 分,共 36 分) 选择题 本大题共 个小题, 1.(精选考题 北京宣武质检 设集合 A={1,2,3,4},B={3,4,5},全集 U=A∪B,则集合 . 精选考题 北京宣武质检)设集合 = 精选考题·北京宣武质检 , = , = ∪ , 的元素个数为( ?U(A∩B)的元素个数为 ∩ 的元素个数为 A.1 个 . ) B.2 个 . C.3 个 . D.4 个 .

解析: ∩ = 解析:A∩B={3,4},U=A∪B={1,2,3,4,5},?U(A∩B)={1,2,5},?U(A∩B)的元素个数 , = ∪ = , ∩ = , ∩ 的元素个数 有 3 个. 答案: 答案:C 2.(精选考题 广东高考)“x>0”是“ x2>0”成立的( . 精选考题·广东高考 “ > ” ”成立的 精选考题 广东高考 A.充分非必要条件 . C.非充分非必要条件 .
3 3 3

)

B.必要非充分条件 . D.充要条件 .

成立, 解析: 解析:当 x>0 时, x2>0 成立,但当 x2>0 时,得 x2>0,则 x>0 或 x<0,此时不 > , > < , 能得到 x>0. > 答案: 答案:A 3. . 在命题“若抛物线 y=ax2+bx+c 的开口向下, {x|ax2+bx+c<0}≠?”的逆命题、 的逆命题、 在命题“ = + 的开口向下, 则 + < ≠ 否命题与逆否命题中结论成立的是( 否命题与逆否命题中结论成立的是 A.都真 . C.否命题真 . ) B.都假 . D.逆否命题真 .

解析:对于原命题“ 解析:对于原命题“若抛物线 y=ax2+bx+c 的开口向下,则{x|ax2+bx+c<0} = + 的开口向下, + < ≠?”,这是一个真命题,所以其逆否命题也为真命题.但其逆命题“若{x|ax2+bx+c 这是一个真命题,所以其逆否命题也为真命题.但其逆命题“ + <0}≠?,则抛物线 y=ax2+bx+c 的开口向下”是一个假命题,因为当不等式 ax2+bx+c ≠ = + 的开口向下”是一个假命题, + 的解集非空时 集非空时, <0 的解集非空时,可以有 a>0,即抛物线 y=ax2+bx+c 的开口可以向上,因此否命题也 > , = + 的开口可以向上, 是假命题. 是假命题. 答案:D 答案: 4.已知全集 U=A∪B 中有 m 个元素,(?UA)∪(?UB)中有 n 个元素.若 A∩B 非空,则 . 个元素, ? ∪ ? 中有 个元素. = ∪ ∩ 非空, A∩B 的元素个数为 ∩ 的元素个数为( A.mn . ) B.m+n . + C.n-m . - D.m-n . -

解析:如图, = ∪ 个元素, 解析:如图,U=A∪B 中有 m 个元素, ∵(?UA)∪(?UB)=?U(A∩B)中有 n 个元素, ? ∪? = ∩ 中有 个元素, ∴A∩B 中有 m-n 个元素. ∩ - 个元素.

答案: 答案:D 5.若集合 A={x|x2-x<0},B={x|(x-a)(x+1)<0},则“a>1”是“A∩B≠?”的( . = , = - + , 是 ∩ ≠ A.充分而不必要条件 . C.充要条件 . B.必要而不充分条件 . D.既不充分也不必要条件 . )

解析:A={x|0<x<1}.若 a>1,则 B={x|-1<x<a},则 A∩B=(0,1),故“a>1”能推出 解析: = . , = - , ∩ = , 能推出 因此“a>1”是“A∩B≠?”的充分不必要条件. 的充分不必要条件. “A∩B≠?”;若 A∩B≠?,可得 a>0.因此 ∩ ≠ ∩ ≠ 因此 是 ∩ ≠ 答案: 答案:A 6. . 给出以下四个命题: 若 x2-3x+2=0, x=1 或 x=2; 若 2≤x<3, (x-2)(x ① 给出以下四个命题: + = , 则 = = ; ② ≤ < , 则 - -3)≤0;③已知 x,y∈R,若 x=y=0,则 x2+y2=0;④若 x,y∈N,x+y 为奇数,则 x, ≤ ; , ∈ , = = , ; , ∈ , + 为奇数, , y 中一个是奇数,一个是偶数.其中正确的是 中一个是奇数,一个是偶数.其中正确的是( A.①的否命题为真 . C.③的逆命题为假 . )

B.②的否命题为真 . D.④的逆命题为假 .

解析:因为②的逆命题为假, 解析:因为②的逆命题为假,故②的否命题为假,③④的逆命题可判断为真. 的否命题为假,③④的逆命题可判断为真. 的逆命题可判断为真 答案: 答案:A 二、填空题(本大题共 3 个小题,每小题 6 分,共 18 分) 填空题 本大题共 个小题, 7.(精选考题 江苏高考 设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数 . 精选考题 江苏高考)设集合 = - 精选考题·江苏高考 , = + , , ∩ = , a 的值为 的值为________. . 解析: , + = , = , 解析:由题意知 a2+4>3,故 a+2=3,即 a=1, 经验证, = 符合题意, 经验证,a=1 符合题意, ∴a=1. = 答案: 答案:1 1 2 8.(精选考题 苏州六校联考 已知全集 U=R,集合 M={x|lgx<0},N={x|( )x≥ }, . 精选考题 苏州六校联考)已知全集 = , 精选考题·苏州六校联考 , = , = 2 2 则 (?UM)∩N=________. ? ∩ = 解析: 解析:∵M={x|lgx<0}={x|0<x<1}, = = ,

1 1 2 1 N={x|( )x≥ = ( ) 2 }={x|x≤ }, = 2 = ≤2 , 2 2
(?UM)={x|x≥1 或 x≤0},(?UM)∩N={x|x≤0}. ? = ≥ ≤ ,? ∩ = ≤ . 答案: - 答案:(-∞,0] 9.下列命题中为真命题的是________. .下列命题中为真命题的是 . ” ①“A∩B=A”成立的必要条件是“A ? B”; ∩ = ”成立的必要条件是“

1

2 2 ②“若 x +y =0,则 x,y 全为 0”的否命题; , , ”的否命题;

③“全等三角形是相似三角形”的逆命题; 全等三角形是相似三角形”的逆命题; ④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题. 圆内接四边形对角互补”的逆否命题. 不正确; 解析: ,∴①不正确 解析:①A∩B=A?A?B 但不能得出 A ? B,∴①不正确; ∩ = ? ? ②否命题为:“若 x2+y2≠0,则 x,y 不全为 0”,是真命题; 否命题为: , , ” 是真命题; ③逆命题为:“若两个三角形是相似三角形,则这两个三角形全等”,是假命题; 逆命题为: 若两个三角形是相似三角形,则这两个三角形全等” 是假命题; ④原命题为真,而逆否命题与原命题是两个等价命题, 原命题为真,而逆否命题与原命题是两个等价命题, ∴逆否命题也为真命题. 逆否命题也为真命题. 答案: 答案:②④ 三、解答题(本大题共 3 个小题,共 46 分) 解答题 本大题共 个小题, 3 1 10.(本小题满分 15 分)已知函数 f(x)= x3- x2-10x,且集合 A={x|f′(x)≤0},集合 . 本小题满分 已知函数 =3 , = ′ ≤ , 2 B={x|p+1≤x≤2p-1}.若 A∪B=A,求 p 的取值范围. = 的取值范围. + ≤ ≤ - . ∪ = , 3 1 , 解:由 f(x)=3x3-2x2-10x, = 得 f′(x)=x2-3x-10. ′ = - 由 f′(x)≤0,得-2≤x≤5. ′ ≤ , ≤ ≤ 由 A∪B=A,可知 B?A, ∪ = , ? , + ≤ - , ?p+1≤2p-1, ? ≤ + , 故(1)当 B≠?时,得?-2≤p+1, 当 ≠ ?2p-1≤5, ? - ≤ , 解得 2≤p≤3. ≤ ≤ (2)当 B=?时,得 p+1>2p-1,解得 p<2. 当 = + - , 由(1)(2)可得 p≤3,所以 p 的取值范围是 p≤3. 可得 ≤ , ≤
2 ? + , ?x -4x+3<0, 11.(本小题满分 15 分)已知命题 p:2x2-9x+a<0,命题 q:? 2 . 本小题满分 : 已知命题 : + , 且非 p ?x -6x+8<0, + , ?

的充分条件, 的取值范围. 是非 q 的充分条件,求实数 a 的取值范围. 解:解 q 得:Q={x|2<x<3}, = , 的充分条件, ∵非 p 是非 q 的充分条件, ∴非 p?非 q 即 q?p. ? ? 设函数 f(x)=2x2-9x+a,则命题 p 为“f(x)<0”. = + , . ∴q?p,利用数形结合, ? ,利用数形结合,
2 ?( ) ? × ? ≤ , , × + ≤ , ?f(2)≤0, ?2×2 -9×2+a≤0, ?a≤10, 解得? 应有? 即? 2 ?( ) ? × ? ≤ , × + ≤ , , ?f(3)≤0, ?2×3 -9×3+a≤0, ?a≤9,

∴a≤9. ≤

的取值范围是{a|a≤9}. 故实数 a 的取值范围是 ≤ . 3x 12.本小题满分 16 分)设命题 p: . (本小题满分 上的减函数, 设命题 : 函数 f(x)=(a-2) 是 R 上的减函数, = - 命题 q: : 函数 f(x) 上的值域为[- =x2-4x+3 在[0,a]上的值域为 -1,3],若“p 且 q”为假命题,“p 或 q”为真命题,求 a + , 上的值域为 , ”为假命题, ”为真命题, 的取值范围. 的取值范围. 3 5 3 解:由 0<a-2<1 得2<a<2, - 上的值域为[- ∵f(x)=(x-2)2-1 在[0,a]上的值域为 -1,3], = - , 上的值域为 , 则 2≤a≤4, ≤ ≤ , 为假, 为真, ∵p 且 q 为假,p 或 q 为真, ∴p、q 为一真一假, 、 为一真一假, 3 若 p 真 q 假,得2<a<2, , 5 若 p 假 q 真,得2≤a≤4, ≤ , 3 5 综上可知: 综上可知:a 的取值范围是2<a<2 或2≤a≤4. ≤

1.(精选考题 北京高考 集合 P={x∈Z|0≤x<3},M={x∈Z|x2≤9},则 P∩M=( . 精选考题 北京高考)集合 = ∈ ≤ < , = ∈ 精选考题·北京高考 , ∩ = A.{1,2} . C.{1,2,3} . B.{0,1,2} . D.{0,1,2,3} .

)

解析: ,-2,- 解析:集合 P={0,1,2},集合 M={-3,- ,- = , = - ,- ,-1,0,1,2,3},所以 P∩M={0,1,2}. , ∩ = . 答案: 答案:B 2. . 给定集合 A、 , B, m∈ , n∈ . B= 、 定义 A※B={x|x=m-n, ∈A, ∈B}. A={4,5,6}, ={1,2,3}, ※ = = - , 若 = , , 则集合 A※B 中的所有元素之和为 ※ 中的所有元素之和为( A.15 . B.14 . ) C.27 . D.- .-14 .-

解析: ※ = 解析:A※B={1,2,3,4,5},其元素之和为 15. , 答案: 答案:A 3.(精选考题 皖南八校联考 二))下列有关命题的说法正确的是 . 精选考题 皖南八校联考(二 下列有关命题的说法正确的是 精选考题·皖南八校联考 下列有关命题的说法正确的是( A.f(x)=ax-2(a>0 且 a≠1)的图象恒过点 ,- . = 的图象恒过点(0,- > ≠ 的图象恒过点 ,-2) B.“x=- ”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件 . =-1” =- - = ” C.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的否命题是“若一个数是正数,则 .命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的否命题是“若一个数是正数, 它的平方不是正数” 它的平方不是正数” D.“a>1”是“f(x)=logax(a>0,且 a≠1)在(0,+∞)上为增函数”的充要条件 . ,+∞ 上为增函数” > ” = > , ≠ 在 ,+ 上为增函数 的图象恒过点 ,-1), =-1” 解析: > , ≠ 的图象恒过点(0,- =- 解析:函数 f(x)=ax-2(a>0,且 a≠1)的图象恒过点 ,- ,所以 A 错.“x=- ” = 选项中命题的否定是: 是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件,故 B 错.C 选项中命题的否定是:“若一个数不 - = ”的充分不必要条件, )

是负数,则它的平方不是正数” 是负数,则它的平方不是正数”. 答案: 答案:D 4.A={x|(x-1)2<3x-7},则 A∩Z 的元素的个数为 . = - - , ∩ 的元素的个数为________. . 解析:由(x-1)2<3x-7,得 x2-5x+8<0, 解析: - - , + , ∵?<0,∴集合 A 为?, , 因此 A∩Z=?. ∩ = 答案: 答案:0 5.已知集合 A={x|x2-6x+8<0},B={x|(x-a)·(x-3a)<0}. . = + , = - - . (1)若 A∪B=B,求 a 的取值范围; 若 ∪ = , 的取值范围; (2)若 A∩B={x|3<x<4},求 a 的值. 若 ∩ = 的值. , 解:A={x|2<x<4}, = , (1)∵A∪B=B,∴A?B,a>0 时,B={x|a<x<3a}, ∵ ∪ = , ? , = ,
? ≤ ?a≤2 4 ∴应满足? ≤ ?3≤a≤2. ? ≥ ?3a≥4

a<0 时,B={x|3a<x<a},显然 A ? B. = , a=0 时,B=?,显然不符合条件. = 显然不符合条件. = 4 4 ∴3≤a≤2 时,A?B,即 A∪B=B 时,a∈[3,2]. ≤ ? , ∪ = ∈ . (2)要满足 A∩B={x|3<x<4}, 要满足 ∩ = , 显然 a>0,a=3 时成立. , = 时成立. ∵此时 B={x|3<x<9},A∩B={x|3<x<4}, = , ∩ = , 故所求的 a 值为 3. 6.已知命题 p:方程 a2x2+ax-2=0 在[-1,1]上有解;命题 q:只有一个实数 x 满足 . 上有解; : - = - 上有解 : 的取值范围. 不等式 x2+2ax+2a≤0,若命题“p 或 q”是假命题,求实数 a 的取值范围. + ≤ ,若命题“ ”是假命题, 解:由 a2x2+ax-2=0,得(ax+2)(ax-1)=0, - = , + - = , 2 1 显然 a≠0,∴x=-a或 x=a. ≠ , =- = 2 1 ∵x∈[-1,1],故|a|≤1 或|a|≤1,∴|a|≥1. ∈- , ≤ ≤ , ≥ “只有一个实数 x 满足 x2+2ax+2a≤0”, + ≤ ” 即抛物线 y=x2+2ax+2a 与 x 轴只有一个交点, = + 轴只有一个交点, ∴?=4a2-8a=0,∴a=0 或 2, = = , = , ∴命题“p 或 q”为真命题时,|a|≥1 或 a=0. 命题“ ”为真命题时, ≥ = ∵命题“p 或 q”为假命题, 命题“ ”为假命题, 的取值范围为{a|- ∴a 的取值范围为 -1<a<0 或 0<a<1}. .


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