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2013-2014高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算学案 新人教A版必修1


§2.1.1
学习目标 1. 理解分数指数幂的概念; 2. 掌握根式与分数指数幂的互化; 3. 掌握有理数指数幂的运算.

指数与指数幂的运算

学习过程 一、课前准备 (预习教材 P50~ P53,找出疑惑之处) 复习 1:一般地,若 x n ? a ,则 x 叫做 a 的 为: . 像 n a 的式子就叫做

,其中 n ? 1 , n ? ? ? . 简记

,具有如下运算性质: ; a mp =
np

( a) =

n

n

; a =

n

n

.

复习 2:整数指数幂的运算性质. (1) a m ?a n ? ;(2) (a m )n ? (3) (ab) ?
n



.

二、新课导学 ※学习探究 探究任务:分数指数幂 引例:a>0 时, 则类似可得
3 3 2 3 3

5
3

a10 ? 5 (a 2 )5 ? a 2 ? a 5 ,
a12 ?
2 3

10

; .

a 2 ? (a ) ? a ,类似可得 a ?

新知:规定分数指数幂如下
a n ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1) ;
m

a

?

m n

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1) .

试试: (1)将下列 根式写成分数指数幂形式:
2

35 =
2



3

54 =
2


? 4 ? 5 2

am =

(a ? 0, m ? N ? ) .

(2)求值: 8 3 ;

55 ;

6 3; a

.

-1-

反思: ① 0 的正分数指数幂为 ;0 的负分数指数幂为 ② 分数指数幂有什么运算性质?

.

小结: 规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数 指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂. 指数幂的运算性质: ( a ? 0, b ? 0, r , s ? Q ) a r · a r ? a r ? s ; (a r ) s ? a rs ;
(ab)r ? a r a s .

※ 典型例题
2 4 ? 3 25 ? 2 例 1 求值: 27 3 ; 16 3 ; ( )?3 ; ( ) 3 . 5 49

变式:化为根式.

例 2 用分数指 数幂的形式表示下列各式 (b ? 0) : (1) b 2 ? b ; (2) b3 ?5 b3 ; (3) 3 b 4 b .

例 3 计算(式中字母均正): (1) (3a 3 b 2 )(?8a 2 b 3 ) ? (?6a 6 b 6 ) ; (2) (m 4 n 8 )16 .
2 1 1 1 1 5 1 3

小结:例 2,运算性质的运用;例 3,单项式运算. 例 4 计算:

-2-

(1)

a3 a ?3 a 4
? 3

(a ? 0) ;
1

(2) (2m 2 n 5 )10 ? (?m 2 n ?3 )6 (m, n ? N ? ) ; (3) ( 4 16 ? 3 32) ? 4 64 .

小结:在进行指数幂的运算时,一 般地,化指数为正指数,化根式为分数指数幂,对 含有指数式或根式的乘除运算,还要善于利用幂的运算法则. 反思: ① 3 2 的结果? 结论:无理指数 幂.(结合教材 P53 利用逼近的思想理解无理指数幂意义) ② 无理数指数幂 a? (a ? 0, ? 是无理数) 是一个确定的实数.实数指数幂的运算性质如 何? ※ 动手试试
? 1 练 1. 把 ? x 3 ?3 x ?2 ? ? ? ? ? ?
? 8 5

化成分数指数幂.

8a 3 4 ) . 练 2. 计算:(1) 3 3 ?4 3 ?4 27 ; (2) 6 ( 125b3

三、总结提升 ※ 学习小结 ①分数指数幂的意义;②分数指数幂与根式的互化;③有理指数幂的运算性质. ※ 知识拓展 放射性元素衰变的数学模型为: m ? m0 e ? ?t ,其中 t 表示经过的时间, m0 表示初始质 量,衰减后的质量为 m, ? 为正的常数. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A.很好 B. 较好 C. 一 般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:

-3-

1. 若 a ? 0 ,且 m, n 为整数,则下列各式 中正确的是( A. a m ? a n ? a C.
m n

).

B. a m ? a n ? a mn D. 1 ? a n ? a 0 ? n

?a ?

m n
3

? am?n

2. 化简 25 2 的结果是( ). A. 5 B. 15 C. 25 D. 125 3. 计算 ? ? 2 ? ? A. 2 4. 化简 27
? 2 3

?

?

?2

? 2 的结果是( ? ?

?

1

).
2 2

B. ? 2 =

C. .
3m ? n 2

D. ?

2 2

5. 若 10m ? 2, 10n ? 4 ,则 10 课后作业 1. 化简下列各式: (1) (
36 3 )2 ; 49

=

.

(2)

a2 b

b3 a

a . b3

2. 计算:

3

? b? 3 ?? 1 ? 2 ?. ? a? a 2 ? 2 3 ab ? 4 3 a 4 ? ?
3

a 4 ? 8 3 ab

-4-


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